2011年1月全国自学考试线性代数试题

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全国2011年1月自学考试线性代数试题

课程代码：02198

说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(?，?)表示向量?，?的内积，E表示单位矩阵．

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=( ) A．44 C．46

2．已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=( ) A．A+E C．-A-E

B．A-E D．-A+E B．45 D．47

3．设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=( ) A．A-1CB-1 C．B-1A-1C

B．CA-1B-1 D．CB-1A-1

4．设A是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是( ) A．ATA是s×s对称矩阵 C．(ATA)T =AAT

B．ATA=AAT

D．AAT是s×s对称矩阵

5．设?1，?2，?3，?4，?5是四维向量，则( ) A．?l，?2，?3，?4，?5一定线性无关 B．?l，?2，?3，?4，?5一定线性相关 C．?5一定可以由?1，?2，?3，?4线性表出 D．?1一定可以由?2，?3，?4，?5线性表出

6．设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则( ) A．A=0 C．秩(A)=n

B．A=E D．0<秩(A)

7．设矩阵A与B相似，则以下结论不正确的是( ) ．．．A．秩(A)=秩(B)

C．A与B有相同的特征值

B．A与B等价

D．A与B的特征向量一定相同

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?390???8．设?1，?2，?3为矩阵A=?045?的三个特征值，则?1?2?3=( )

?002???

A．10 C．24

B．20 D．30

2229．二次型f(x1，x2，x3)=x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩为( )

A．1 C．3

10．设A，B是正定矩阵，则( ) A．AB一定是正定矩阵 C．(AB)T一定是正定矩阵

B．2 D．4

B．A+B一定是正定矩阵 D．A-B一定是负定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。 ?10?k

?11．设A=?，k为正整数，则A= ．?11???-1

?12?

??

12．设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A=?34?，则矩阵A=__________．

??

13．设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_________. 14．设向量?=(6, -2, 0, 4), ?=（-3，1，5，7），向量?满足2?+?=3?, 则?=____________.

15．实数向量空间V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的维数是_______． ?2??316．矩阵A=?0??1?30??17?的秩=___________.

2?4??4?5??17．设?1,?2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3?1?7?2）=_________. 18．设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=__________. 19．设P为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（x, y）=_________.

22220．设f(x1，x2，x3)=x1?4x2?2x3?2tx1x2?2x1x3是正定二次型，则t满足_____.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

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a?b?c2ab?a?c21．计算行列式2b2c2c2a2bc?a?b

?4??222．判断矩阵A=?0??0?130000560??0?是否可逆，若可逆，求其逆矩阵． 6??7??23．求向量组?1=(1，2，-1，-2),?2=(2，5，-6，-5),?3=(3，1，1，1), ?4=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．

?2x1?3x2?x3?5x4?0?24．求齐次线性方程组??3x1?x2?2x3?4x4?0的一个基础解系及其结构解．

??x?2x?3x?x?01234?32??2??82?的特征值和特征向量． 25．求矩阵A=?1??2?14?3???26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．

22f(x1，x2，x3)=x1?3x2?2x1x2?2x1x3?6x2x3

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27．设方阵A满足(A+E)2=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y3o6.html