第十二章无穷级数练习题含答案

第十二章 无穷级数练习

1.判别下列级数的敛散性：

??n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1

2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？

?

?(?1)n?1n?1n1；[n?]

3n2??n?1ncosn3n2?；

?n?1(?1)n?11n?lnn。

?3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。

?4.证明级数?n?1n!nnx当|x|?e时绝对收敛，当|x|?e时发散。 1n)单调增加，且limxn?e。

n??nn注：数列xn?(1?

?5.在区间(?1,1)内求幂级数

??n?1xn?1n 的和函数。

6.求级数?n?21(n?1)22n的和。

。

1

7.设a1?2,an?1?12(an?1an) （n?1,2,?）证明

?1）liman存在； 2）级数?(n??anan?1?1)收敛。

n?1

?8.设an??40?ntanxdx，

1） 求?n?11n(an?an?2)的值；

?2） 试证：对任意的常数??0，级数?n?1ann?收敛。

?1??9.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问???a?1?是否收敛？并说明理

n?1?n?1n???n由。

1211??11?xlndx。 10.已知1?2?2???[参见教材246页]，计算??1?x3580x 。

2

无穷级数例题选解

1.判别下列级数的敛散性：

??n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);??n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1

解：1）?sin1n2??，而?n?11n收敛，

由比较审敛法知 2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。

?)~1n(n??)，而?n?1?1n发散，

由比较审敛法的极限形式知

un?1un?n?1ln(1?1n)发散。

n3） ??lim?n???lim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?n???lim???，

n??n?1n!e??nnn??1，由比值审敛法知

?n?1n!n2收敛。

14） ??limnn??un4?2n?1??2n?1?n?lim?????， n??3n?29???3n?2??2n?1?2n?1?收敛。 ???1，由根值审敛法知 ???3n?2?n?1?2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？

?

?n?1(?1)n?1n1；[n?]

3n?n?12??n?1ncosn3n2?；

?n?1(?1)n?11n?lnn。

解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，

?n?1由??lim?|un?1||un|n?1n???13，知级数?(?1)n?1?n32n绝对收敛，

n1[n?]条件收敛。 3n?2易知?(?1)n?11n条件收敛，故

2n?(?1)n?1n?12）|?ncosn322n|?n3?un，由??limun?1unn???13，知级数?n?1n32n收敛，

故?n?1ncosn3n绝对收敛。 13）记un?n?lnn，?un?1n1x?，而?n?11n?发散，故?un发散，

n?1令f(x)?x?lnx，f?(x)?1?，当x?1时，f?(x)?0，故f(x)在区间(1,??)内单

3

?调增加，由此可知 un?un?1，又m故?(?1ilun?0，)n??n?1n?11n?lnn收敛，但非绝对收敛，

即为条件收敛。

?(x?1)n3.求幂级数?的收敛区间。

n?1n?0解：收敛半径为 R?lim|n???anan?1|?limn?2n?1n???1，

当x?2时，得级数?n?01n?1?，发散； (?1)n当x?0时，得交错级数?n?0，收敛。

n?1所求收敛区间为[0,2)。

?4.证明级数?n?1n!nnnx当|x|?e时绝对收敛，当|x|?e时发散。

注：数列xn?(1?1n)单调增加，且limxn?e。

n??nn!(n?1)1??证：收敛半径 R?limn??lim?1???e，

n??nn??(n?1)!n??当|x|?e时幂级数绝对收敛，当|x|?e时幂级数发散，

?n?1n当|x|?e时，得级数?n?1n!nnn(?e)，|un|?n!nne，

n|un?1||un|?(1?e1n)n，因xn?(1?1n)单

n调增加，且limxn?e，故xn?e，于是得|un?1|?|un|，由此limun?0，故级数

n??n????n?1n!nn(?e)发散。

n

?5.在区间(?1,1)内求幂级数

??n?1xn?1n 的和函数。

解：设s(x)? s?(x)??n?1?xnnn?1 （?1?x?1），s(0)?0，

?x0?n?1x11?x，

s(x)?s(0)???s?(x)dx??x011?xdx??ln1(?x)，

?n?1xn?1n??xs(x)??xln1(?x) （?1?x?1）。

1(n?1)22n6.求级数?n?2的和。

4

?解：设s(x)??n?2x2?nn?1 （?1?x?1），则

s(x)???n?21?11?n???x，

2?n?1n?1?其中

?n?2xn?n?1?x?n?1?xn?n，

?n?2xnn?1??x1??x?x0xnn?3n1 （x?0）。 ，

设f(x)??n?1xnn，则f?(x)??n?1n?11?x1于是 f(x)?f(0)?从而 s(x)? ???x0f?(x)dx??1?xdx??ln1(?x)，

x2[?ln(1?x)]??1?x212x[?ln1(?x)?x?x22]

2?x4因此

?n?21(n?1)22n。 ln1(?x) （|x|?1,x?0）

2x153?s()??ln2。

2841an) （n?1,2,?）证明

?7.设a1?2,an?1?12(an?1）liman存在； 2）级数?(n??anan?1?1)收敛。

n?1证：1）因 an?1?12(an?121an)?1an?1an?1，

2an?1?an?(an?an)?an?1?an2ann???0，

故{an}是单调减少有下界的数列，所以liman存在。 2）由（1）知 0?nanan?1?1?an?an?1an?1?an?an?1，

?记sn??(ak?1k?ak?1)?a1?an?1，因liman?1存在，故limsn存在，所以?(an?an?1)收

n??n??n?1?敛，由比较审敛法知?(n?1anan?1?1)收敛。

?8.设an??40?tanxdx，

1n(an?an?2)的值；

?n3） 求?n?14） 试证：对任意的常数??0，级数?n?1ann?收敛。

2证：1） 因为

1n(an?an?2)?1n??40tanx(1?tanx)dx

n 5

?40n ?1?ntanxsecxdx?1(ak?ak?2)?n21n(n?1)n，

?1?1n?1 sn???kk?1?k(k?1)k?11，

所以

?n(an?11n?an?2)?limsn?1。

n??2） 因为 an?an?an?2??1n?1，所以

?ann??1n(n?1)??1n??1，

由??1?1知?n?11n??1收敛，从而?n?1ann?收敛。

?1?n?9.．设正项数列{an}单调减少，且?(?1)an发散，试问???a?1?是否收敛？并说明

n?1?n?1n???n理由。

?1??解：级数???a?1?收敛。

n?1?n??n理由：由于正项数列{an}单调减少有下界，故liman存在，记a?liman，则a?0。

n??n???若a?0，则由莱布尼兹定理知

11?(?1)n?1nan收敛，与题设矛盾，故a?0。

?n?1??收敛。 因为 lim??1，由根值审敛法知级数????n??a?1a?1n?1?an?1?n

1211??11?xlndx。 10．已知1?2?2???[参见教材246页]，计算??0x1?x358?解：由 ln(1?x)?得 ln1?x1?x1?n?1(?1)nn?1x （|x|?1），

?n?ln1(?x)?ln1(?x)?1?n?1(?1)nn?1?x?n?n?11n?xn?2?n?012n?1x2n?1

??11??2n?11?xx]dx?2?lndx?2?[??。 ?2?0x1?x42n?1(2n?1)?0n?0n?02

6

1??4（选作部分）11*．计算

5!?7?89!???3?解：由 sinx???(2n?1)!xn?0n2n?13!n(?1)??7!??11。 ??11!2n?1，

得 于是

?(2n?1)!?n?0?(?1)1?sin??0，

??(4n?1)!n?0?4n?1??(4n?3)!?n?014n?3，

1??4从而

5!?7?8?9!???1??n?0???4n?1(4n?1)!4n?3?33!??7!??1111!????1?n?0?。

(4n?3)!?12*.把f(x)?arctanx展开成 x 的幂级数，并求级数 解：f?(x)?11?x2??3n?0(?1)nn(2n?1) 的和。

??(?1)n?0nx2n （|x|?1），

x?n? f(x)?f(0)??x0f?(x)dx??[?(?1)0n?0?nx2n]dx??(?1)n?0nx2n?12n?1 （|x|?1），

因f(x)在点x??1处连续，而?(?1)n?0?x2n?12n?1在点x??1处收敛，

从而 f(x)???(?1)n?0nnx2n?12n?1? （|x|?1）。

n2n?1于是

?n?0?n3(2n?1)(?1)3?n?0?1??????2n?1?3?(?1)?3f(13)?36?

7

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