导数乘除法则和复合函数求导1

* 导数公式：(1) C 0 (C为常数)n n 1 ( x ) nx (n R ) ( 2)

(3) (sin x ) cos x (4) (cos x) sin xx x ( a ) a ln a ( a 0, a 1) ( 5)

(e x ) e x

(6) (log a x ) 1 (ln x ) x

1 ( a 0, a 1) x ln a

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三、导数的运算法则法则1: 两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差),即：

[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x).特别地：

[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)

动手做一做1. 求下列函数的导数：

y

2 3 xx

3

2

(1) y 3 x 2 2 x ( 2) y 4 log 3 xx

1 y 4 ln 4 x ln 3

( 3) y sin x e

x

y cos x e x1 y 2 2 x cos x 1

(4) y x 0.5 tan x2. 使得函数 y 个？3

2 x 6 x 的导数等于0的 x 值有几两个，±1 例2

法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一个

函数的导数乘以第二个函数 数

加上第一个函

乘以第二个函数的导数[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).

例1 求下列函数的导数：

(1) y x e ;2 x

( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x解析

解：(1)设

f ( x) x , g ( x) e2

x

,可知

x f ( x ) 2 x, g ( x ) e

由导数的乘法法则：

f ( x ) g ( x ) 可得：2 x

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )x 2 x 2 x

( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e

(2)由导数的乘法法则

f ( x ) g ( x ) 可得：

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x(3)由导数的乘法法则可得：

1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x例2

法则3 :两个函数的商的导数，等于分

子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：

f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)

其中g ( x) 0

例2 求下列函数的导数：

sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x解析

解： (1)设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ,则可知

f ( x ) cos x, g ( x ) 1由导数的除法运算法则

f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x) 可得

sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x

(2)由导数的除法运算法则可得：2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x

练习

2.求y tan x的导数 sin x 解 y cos x' ' sin x ( sin x ) cos x sin x (cosx) y' =( ) cos x cos 2 x

1 cos x cos x sin x ( sin x) 2 2 cos x cos x

1 ( tan x) . 2 cos x

例3 求下列函数的导数：

co

s x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x22

解析

解： (1)可设

f ( x) x , g ( x) ln x sin x2

1 则有：f ( x ) 2 x, g ( x ) cos x x根据导数的乘法法则，得：

x (ln x sin x) 2

1 2 x(ln x sin x) x ( cos x ) x x 2 x ln x 2 x sin x x 2 cos x2

本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。

例3 求下列函数的导数：

cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y x22

解析

(2)由导数的除法法则，可得：

cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 2 x cos x 2 x 2 4 x x sin x 2 cos x x 例4 x3

1. 计算下列函数的导数：

x (1) y 1 cos x

1 cos x x sin x y (1 cos x )2

3x2 4x x 1 x 1 y ( 2) y 2 2 2 2 x ( x 1 ) x 1 x x e 1 2 e ( 3) y x y x e 1 (e 1) 2 x 2. 求曲线 y 在 x 处的切线方程。 sin x 32 3 k y 3 62 3 2 y ( )x 3 6 18

3 .用两种方法求y (2x的导数2

2

3)(3x 2)2

解： y (2x 3) (3x 2) (2x 3)(3x 2) 法一：

4 x ( 3 x 2) ( 2 x 3) 32

18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6) 2

18 x 8 x 92

1. 计算下列函数的导数：

(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)2

y 18 x 2 4 x 9

( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2

2 y 1 x

1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。k y 27y 27 x 18

例3

小结* 导数的乘除法法则：

f ( x ) g ( x )

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

kf ( x) kf ( x) f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)

结束

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