2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

2

2．（5分）（2015 山东）若复数z满足

=i，其中i为虚数单位，则z=（ ） 3．（5分）（2015 山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象

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4．（5分）（2015 山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（ ）

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6．（5分）（2015 山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则

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7．（5分）（2015 山东）在梯形ABCD中，∠ABC=

，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将

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8．（5分）（2015 山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ

2

9．（5分）（2015 山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）+（y

2

2

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，则满足f（f（a））=2

f（a）

10．（5分）（2015 山东）设函数f（x）=的a

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015 山东）观察下列各式：

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CCCC…

=4； +C+C+C

=4； +C+C

=4； +C

=4；

3

2

1

照此规律，当n∈N时， C*

+C+C+…+C=n﹣1

．

12．（5分）（2015 山东）若“ x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．

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13．（5分）（2015 山东）执行如图程序框图，输出的T的值为

．

14．（5分）（2015 山东）已知函数f（x）=a+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ﹣ ．

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15．（5分）（2015 山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

2

﹣=1（a＞0，b＞0）

的渐近线与抛物线C2：x=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为

．

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16．（12分）（2015 山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos（x+（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

2

）．

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC

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17．（12分）（2015 山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

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18．（12分）（2015 山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn

}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn． n

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19．（12分）（2015 山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

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20．（13分）（2015 山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的

离心率为

，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1

为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：

+

=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E

于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求|

|的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值．

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点：考直线与锥曲线圆综合问题的；椭圆的标准方程曲；与方程线.菁优网权版有所专题 分 析：:新创题型直线与；圆；圆锥曲线的义定性质、方程与 (.Ⅰ)用椭运的圆心率离式和公 ，ab,c 的关系计算即可，得到 ，b而得到进圆椭 C 方的程 ；(Ⅱ求得)椭 圆 的E程方， i)设 P(x(0y,0 ),| |λ,求= 得 Q的标坐分别，入椭圆代C, E

的程方化，整理简即可，得所求值到 ；i(i) 设(A1,yx1), (B2,x2y), 将直线y= k+m x代入椭圆E 方的，运程韦用达定，三 角形理的积公式，将直面 y=线k+xm代 椭入 圆C的方 ，程判别式由大于 ，0得可 t的围，范结合二次 函数最的，又△值A BQ的面积 为S,即可得到所3的最求值大. 解答 ：解 ：( )由Ⅰ题意知可2a,4=可， a得=2 ,又= , ﹣a cb= ,y+ =1;2 2 22

可得b= 1,即椭圆有 C方程的为(Ⅱ)(由)Ⅰ知椭 圆E的方程为 (i设 P(x)0,y) ,|0

+

=1,|=λ由题，可意知，Q(﹣λx0﹣,λ0y), 由

+于y 0=1,2

又 所 以λ2,=|

即+ |=2;1=,

即(+y 0=1,)

2(i)设 A(xi1,1y) B(x2,,y2),将 线 y直=xkm +入椭代 E圆的 方，可程得 2 222 2 ( 14k+ x )+km8x+m4﹣1 =0,6△ >由，0得可 <m41+6 ,k① 则 有1+x2x=﹣ ,1xx=2 ,以所x|﹣x12| =

,直线 由y=xk+ m与 y轴 于交0(m, ) ,△则AO B 的面为积S |m= |x|1﹣2|x= |m| =

2,

=t,设则 =S22 22

,

直将 y=线xk+m代入椭圆 C方程，的得(1+4k可) x+8k mx4m ﹣4=+0,

由△ ≥

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2

21．（14分）（2015 山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

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无极值. ②当 a ∵点1+x2x ∴=时 ，△ >,设方0程2 xa+a ﹣ax1=0+ 的两实个根分数别 x为，x1,2x1x<2., , ..

由2 g(﹣1)0,可>﹣1得x1

<∴ 当∈x(﹣,1x1时，g)x(>)0,′f()x>0函，数 (x)单调f递； 当 增∈x(1,xx)2时g(x,)<0f,(′x<0,函数)f( x单调)递；减 当x ∈(x,+2∞时，)gx()0,>f′x)(>0,函 f(数)单调x递增. 因此数函f(x 有两个)值点极.(3 )当 <a 0时， >0.由△ (g1﹣=1>)0可，得 x<﹣1<x1.2 当 ∴x(∈1,x2)﹣,时(x)g>0f′(x,>)0函， 数fx)单调递增； ( x∈(当x2+,)∞时g(,)<0xf,′()x<,函数0 (x)f单调递减. 因函数此f( x有一)个值极点.综 上所述当：a< 0 时，数 函(f)x有一个值极点 当 0≤a 当a;时， 函 f(数x无)极点值；0 时函数 ，fx)有(个极值两点.

(II由())可知：I( 1) 当≤0 a时，函 数(f)x在0(,+∞上单调)增递.∵f0()0=,∴x ∈(0+,∞),f(时x>)0,符合意. (2)题当 a<1 ≤,时由 g0)≥(0,可得x2 ≤0,数 f(函x在(),+∞)上0调单增.递 又f0(=)0 ,∴∈x0(,∞)时+f(,x>),符合题意. 0()当 3<1a时，由 (0)g<,0得 可x>2,0∴x∈ 0(,2x)时函数，f(x 单调递减). f又0(=0),∴x (0,∈2x),f(x时<),0符合题不，舍去；意( 4) a当0 时，设 h(<x)=﹣lxnx(1+) ,x∈(,0+) ∞,h(′)=x h(∴)x(0在，+)∞单调

上递增 因. 此∈(x0,+∞时),(h)>h(0)=0x, ln即x(+1<)x , 2 可2:f(x得<)xa+x (﹣x=ax)+ 1(a﹣)x, x当>

>20.时

,点a x+1﹣(a)<x,0此时 f(x<),不0合题，意去舍. 本题考查了数导的运算法则利用导、研数函数究的调单极性，值查了分考析题问解与决问

题评：

的能力

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,考了查分讨论类思方法、推想能理力与计算力能，属难于题.

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一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

2

（ ）

2．（5分）（2015 山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

3．（5分）（2015 山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象

4．（5分）（2015 山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（ ）

6．（5分）（2015 山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则

7．（5分）（2015 山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将

）

8．（5分）（2015 山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），

从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）

2

2

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2

9．（5分）（2015 山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）+（y

2

10．（5分）（2015 山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2

f（a）

的a

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015 山东）观察下列各式： CCCC…

照此规律，当n∈N时， C

12．（5分）（2015 山东）若“ x∈[0，

]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值

+C

+C

+…+C

= ．

*

=4； +C+C+C

=4； +C+C

=4； +C

=4；

3

2

1

为 ． 13．（5分）（2015 山东）执行如图程序框图，输出的T的值为

2015年山东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

14．（5分）（2015 山东）已知函数f（x）=a+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．

15．（5分）（2015 山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

2

x

﹣=1（a＞0，b＞0）

的渐近线与抛物线C2：x=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．

三、解答题

16．（12分）（2015 山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos（x+（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 17．（12分）（2015 山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

2

）．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y3mj.html