02199复变函数与积分变换2014年4 月份历年真题

全国2014年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

本试卷满分100分。考试时间l50分钟。 考生答题注意事项：

1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。 2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用28铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。 3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号。使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分 选择题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．设z=3-4i，则argz=

?3?A.arctan???

?4??4?C.arctan???

?3?2．下面方程中表示直线的是 A.z=z0+(1+i)t，-∞

4．若f(z)=y+2λxi解析，则λ=

1A．

2B.ez1ez2?ez1?z2

zD.ln1 =lnz1?lnz2

z2B.z?z0?R D.(z-z0)（z?z0）=R2

3B.arctan

44D.arctan

3B.-1 D.1

1C.?

2

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5．设C是正向圆周|z|=2．下列积分中，积分值为零的是 sinzdz A.??z?1Cez

B. ?dz 2?zC

1dz C．??zC?2?iD.

zdz ??z?3C6．

?2??z?2?2dz?

iA.?

3B.?i D. i

iC. 37．以z=0为本性奇点的函数是

tanzA.f(z)?

zC.f(z)?B.f(z)?1 2z1 z1 zezD.f(z)?sin8．设z0是f(z)的孤立奇点，下列说法正确的是

f(n)(z0)A.当n>0时，f(z)的罗朗级数的系数cn?

n!B.若f(z)=(z-z0)-m φ(z)，φ(z)在z0解析，m是正整数，则z0为f(z)的m阶极点 C.若z0为f(z)的可去奇点，则limf?z?存在

z?z0D.f(z)在z0只有一个罗朗展开式

?f(z)?9．设f(z)=?anzn在复平面解析，k为正整数，则Res?k,0?=

?n?0?z?A.（k-1）!ak-1 C. ak

B.ak-1 D.ak+1

f(z)的 g(z)10．若f(z)，g(z)分别以z=a为m阶与n阶极点，且m

B.（n+m）阶零点 D.（n+m）阶极点

第二部分 非选择题

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在答题卡上作答

11．设z=（1-i）4，则z=______． 12．cosi=______．

13．设L为从点z=0到点z=2+i的直线段，则?Im zdz=______．

L14．设C为右半圆周|z|=2，Re z≥0，起点为-2i，终点为2i，则出?15．罗朗级数16．设f?z??dz=______． 2(1?z)Cn????3??n(z?1)n的收敛域为______．

11，则Res［f(z)，0］=______． ?ze?1z三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本题6分）设z=x+iy，将

z?1?2化为关于x，y的方程，并说明它是何种曲线． z?218．（本题6分）求f(z)=ezsinz在z=0处的泰勒展开式．

z2?z?119．（本题6分）求f(z)=在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式．

(z?2)(z2?1)zdz 20．（本题6分）设C为正向圆周|z|=2，计算?2?z?1C?3??2?1d?，求f ′(i） 21．（本题7分）设C为正向圆周|ζ|=2，f(z)=?2?(??z)C（?2）2的值． 22．(本题7分)求

23．（本题7分）设f(z)=u (x，y)+iv (x，y)解析，其中u(x,y)=x2-y2-x．求v(x，y)

dz24．（本题7分）设C为正向圆周z?(1?i)?2，计算I? ? 22?(z?1)(z?1)C四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）

z

25.(1)求f(z)=在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；

1?z2

(2)求f(z)eiz在以上奇点处的留数；

?? (3)利用以上结果计算I????1?xxsinx2dx

π26．设区域D由z平面上相交于点z=?3和z=3的圆弧和实轴围成，在z=?3处圆弧和实轴的夹角为（如图）．

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(1)w1=?z?3z?3将D映射成W1平面上的区域D1，

问D1是什么区域？

(2)w=w13将D1映射成W平面上的什么区域? 题26图 ?z?3?(3)w=???将D映射成W平面上的什么区域？ ?z?3???e-p(2p-1)27．求函数F(P)?2的拉氏逆变换．

(p?2)(p?1)23

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