最新人教版高一数学必修1第一章《函数的图像与性质》

专题一 函数的图像与性质

3·2看吧

对闭眼打转问题的探讨

公元1896年,挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究.他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯,使每个人一只脚伸出的步子,要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离,而正是这一段很小的步差x,导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！

现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：假定某个两脚踏线间相隔为d.很明显,当人在打圈子时,两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为l.那么,一

dd)-2π(y-)=2πd;另一方面,这段路程又等于这个人222?y2dl走一圈的步数与步差的乘积,即2πd=·x,化简得y=.

2lx0.14 对一般的人,d=0.1米,l=0.7米,代入得(单位:米)y=.这就是所求的迷路人打圈子的半

x方面这个人外脚比内脚多走路程2π(y+

径公式.今设迷路人两脚差为0.1毫米,仅此微小的差异,就足以使他在大约三公里的范围内 绕圈子！

上述公式中变量x,y之间的关系,在数学上称为反比例函数关系.所谓反比例函数,就是形如y=

k(k为常数)这样的函数.它的图像是两条弯曲的曲线,数学上称为等边双曲线,在工业、x国防、科技等领域都很有用场. 3年高考平台

2006高考题

一、选择题

1.(2006全国高考卷１,理2文3)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则（ ）

A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2·lnx(x＞0) C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x＞0) 答案:D

解析:∵y=ex与y=f(x)的图象关于y=x对称, ∴y=ex与y=f(x)互为反函数. ∴f(x)=lnx(x＞0).

故f(2x)=ln(2x)=lnx+ln2(x＞0).

2.(2006全国高考卷Ⅱ,理6)函数y=lnx+1(x＞0)的反函数为( ) A.y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C.y=ex+1(x＞1) D.y=ex-1(x＞1) 答案:B

解析:y=lnx+1(x＞0),y∈R. ∴y-1=lnx. ∴ey-1=x.

∴y=ex-1,x∈R. ∴选B.

3.(2006全国高考卷Ⅱ,理8)函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x＞0)的图象关于原点对称,则f(x)的表达式为( )

A.f(x)=

1(x＞0)

log2x1(x＜0)

log2(?x)B.f(x)=

C.f(x)=-log2x(x＞0) D.f(x)=-log2(-x)(x＜0) 答案:D

解析:设y=f(x)上任一点(x,y)关于原点的对称点(-x,-y)在g(x)=log2x上, ∴-y=log2(-x). ∴y=-log2(-x).

∴f(x)=-log2(-x)(x＜0). ∴选D.

4.(2006北京高考,理5)已知f(x)=?范围是( )

A.(0,1) B.(0,

?(3a-1)x?4a,x?1,是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值

?logax,x?11111) C.［,) D.［,1) 3737答案:C

解析:当x＜1时,f1(x)=(3a-1)x+4a为减函数,需3a-1=0, ∴a＜

1. ① 3当x≥1时,f2(x)=logax为减函数,需0＜a＜1. ②

又函数在(-∞,+∞)上为减函数,则需［f1(x)］min≥［f2(x)］max,即f1(1)≥f2(1), 代入解得a≥

1. ③ 7①②③取交集, ∴

11≤a＜. 735.(2006辽宁高考,理2文3)设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 答案:D

解析:据奇偶函数性质,易判定 f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数. f(x)·|f(-x)|的奇偶取决于f(x)的性质. 只有f(x)+f(-x)是偶函数正确.

6.(2006福建高考,文12)已知f(x)是周期为2的奇函数,当0＜x＜1时,f(x)=lgx.设a=f(

635),b=f(),c=f(),则( )

252

A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b 答案:A

解析:∵f(x)为周期是2的奇函数且0＜x＜1时,f(x)=lgx,

6644)=f(-2)=-f()=-lg, 55553311b=f()=f(-2)=-f()=-lg,

22225511c=f()=f(-2)=f()=lg.

2222则a=f(∴c＞b＞a.

7.(2006湖北高考,理4文7)设f(x)=lg

2?xx2,则f()+f()的定义域为( ) 2?x2xA.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4)

C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 答案:B 解析:∵

2?x＞0, 2?x∴-2＜x＜2.

?-2???∴??-2???x?2,2 2?2.x解得x∈(-4,-1)∪(1,4).

8.(2006湖南高考,理1)函数y=log2x?2的定义域是( )

A.(3,+∞) B.［3,+∞) C.(4,+∞) D.［4,+∞) 答案:D

解析:y=log1x?2的定义域是?2?log2x-2?0,

?x?0,解这个不等式得x≥4. 9.(2006广东高考,1)函数f(x)=

3x21?x+1g(3x+1)的定义域是( )

A.（-

11111,+∞） B.（-,1） C.（-,） D.（-∞,-） 33333答案:B

?x?1?1-x?01?解析:x应满足???1?-＜x＜1.

3x???3x?1?0?3?10.(2006广东高考,3)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A.y=-x3,x∈R B.y=sinx,x∈R

C.y=x,x∈R D.y=(

1x

),x∈R 2答案:A

解析:B.y=sinx,x∈R,是奇函数,但不单调. C.y=x,x∈R是奇函数,增函数. D.y=(

1x

),x∈R是减函数,但无奇偶性. 2的长为x,f(x)表示

与弦AB所围成的弓

11.(2006重庆高考,理9)如图所示,单位圆中形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是( )

答案:D

解析:特殊值法,当弓形所对圆心角为

?3?、时,易验证D正确.

221,1),则212.(2006重庆高考,文6)设函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且y=f(2x-1)的图象过点(y=f-1(x)的图象必过点( ) A.(

11,1) B.(1,) C.(1,0) D.(0,1) 221,1)点可知f(0)=1, 2答案:C

解析:由y=f(2x-1)过(

∴y=f-1(x)过(1,0)点.

13.(2006山东高考,理2文3)函数y=1+ax(0＜a＜1)的反函数的图象大致是( )

答案:A

解析:∵0＜a＜1, ∴y=1+ax单调递减.

故其反函数在相应区间上单调递减. ∴排除C、D. 又∵ax＞0,

∴y=1+ax＞1,即反函数定义域为(1,+∞). ∴选A.

14.(2006山东高考,理6文5)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )

A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:B

解析:∵f(x+2)=-f(x),∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0). 又f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0. ∴f(6)=0.

15.(2006江西高考,理12)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图(1)所示,已知该年的平均气温为10℃.令C(t)表示时间段［0，t］的平均气温，C（t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则正确的应该是( )

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