浙江省温州市第十二中学:3.2 圆的轴对称性(2)教案(浙教版九年级上册)
更新时间:2023-03-13 14:14:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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教学目标
1.使学生掌握垂径定理及其推论,并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题; 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用,培养学生把实际问题转化为数学问题的能
力和计算能力,结合应用问题向学生进行爱国主义教育.
教学重点和难点
垂径定理的两个推论是重点;由定理推出推论1是难点. 教学方法:类比 启发 教学辅助:投影片 教学过程:
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.画图叙述垂径定理,并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式:
题设 结论 指出:垂径定理是由两个条件推出三个结论,即由①②推出③④⑤.
提问:如果把题设和结论中的5条适当互换,情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形,选①③为题设,可得: 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的,但是它们不一定是互相垂直的,所以要使上面的题设能够推出上面的结论,还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.
这个命题是否为真命题,需要证明,结合图形请同学叙述已知、求证,教师在黑板上写出. 已知:如图3-15,在⊙O中,直径CD与弦AB(不是直径)相交于E,且E是AB的中点. 求证:CD⊥AB,.
分析:要证明CD⊥AB,即证OE⊥AB,而E是AB的中点,即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC=BC,AD=BD. 证明:连结OA,OB,则OA=OB,△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点,所以OE⊥AB,即CD⊥AB, 又因为CD是直径,所以
2.(1)引导学生继续观察、思考,若选②③为题设,可得: (2)若选①④为题设,可得:
以上两个命题用投影打出,引导学生自
最后,教师指出:如果垂径定理作为原命题,任意交换其中的一个题设和一个结论,即 可得到一个原命题的逆命题,按照这样的方法,可以得到原命题的九个逆命题,然后用投影 打出其它六个命题:
3.根据上面具体的分析,在感性认识的基础上,引导学生用文字叙述其中最常用的三 个命题,教师板书出垂径定理的推论1.
推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2.
在图3-15的基础上,再加一条与弦AB平行的弦EF,请同学们观察、猜想,会有什么结论出现:(图7-37) 学生答
接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程,然后学生口述,教师板书.)
证明:因为EF∥AB,所以直径CD也垂直于弦EF,
最后,猜想得以证明,请学生用文字叙述垂径定理的又一推论: 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 三、应用举例,变式练习
练习按图3-15,填空:在⊙O中
(1)若MN⊥AB,MN为直径;则 , , ;
(2)若AC=BC,MN为直径;AB不是直径,则 , , ; (3)若MN⊥AB,AC=BC,则 , , ; 此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论. 例3 我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弧的距离,也叫弓形高)为7.2米,求桥拱的半径.(精确到0.1米) 首先可借此题向学生介绍“赵州桥”,对学生进行爱国主义教育,(有条件可放录像)同 时也可激发学生学习数学的兴趣. 关于赵州桥的说明:
赵州桥又名“安济桥”,位于河北省赵县城南交河上,是我国现存的著名古代大石拱桥、
(590~608)由李春创建.桥单孔,全长50.82米,桥面宽约10米,跨径约
为37米,弧形平缓,拱圈为28条并列的石条组成,上设四个小拱,既减轻重量,节省材料,
大在当时亦属首创,反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.
分析:(1)首先说明跨度、拱高等概念,然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题 ,并画出几何图形(图7-42),且一边画图一边解释:桥拱是圆弧形,以O为圆心,R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱,弦AB表示桥的跨度,即AB=37.4米,弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题,参照上图写出数学问题的已知和求解. 解题过程,参考课本.
对于此题,学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD,即过C作CD⊥AB,垂足为D,如果是这样的话,可引导学生根据垂径定理,首先证明直线CD经过圆心O,仍然可利用勾股定理,求出半径R.
说明:此题的解题思路是,经 可以经过弧的中点作弦的垂线,说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时,只要抓住弦长 、弦心距、弓形高及半径之间的关系,已知其中的两个量,可以求出其它两个未知量,这种 思考方法今后要经常用到. 四、师生共同小结
问:这节课我们学习了哪些主要内容?
在学生回答的基础上,用投影出示垂径定理及其推论的基本图形,如图3-15. 指出:若垂径定理或推论中的某一个成立,则
(1) △CAB,△OAB,△DAB都是等腰三角形,弦AB是它们公共的底边,直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.
(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形,直径CD是它们公共的斜边,AE,BE分别是斜边上的高,AO,BO性质.
通过应用题的学习,培养把实际问题抽象成数学问题的意识,从而提高转化能力和计算能力. 六、布置作业
板书设计:
定理1 : 例3 解: 定理2 :
练习 练习
教学反思:
本节课学生对定理都能很好的落实,亮点在于练习设计有针对性,本节例题学生掌握很好。
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