自动控制原理(胡寿松版)课件第二章 (1)

自动控制理论

信息与通信工程学院

第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型内容提要：建立系统输入输出模式数学模型： a、微分方程 b、传递函数 c、方块图 d、信号流图

本章重点:动态结构图的绘制,等校变换方法；各种模型 表达形式之间的相互转换；梅逊公式的应用

第二章 控制系统的数学模型

第一节 控制系统的时域数学模型 第二节 控制系统的复数域数学模型 第三节 控制系统的结构图与信号流图

第二章 控制系统的数学模型

问题：何为数学模型? 数学模型的种类?

描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式就称为数学模型常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型

第二章 控制系统的数学模型数学模型表示的是各阶倒数均为零的 静态下各变量之间的关系，则为静态数 学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关 系， 则为动态数学模型 分析和设计任何一个控制系统，首要任务 是建立系统的数学模型。 建立数学模型的方法分为解析法和实验法

第二章 自动控制系统的数学模型

解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。

实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号(阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等),根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。

第二章 自动控制系统的数学模型

第一节控制系统的时域数学模型

第一节控制系统的时域数学模型

一、建立系统微分方程的一般步骤系统通常由一些环节连接而成，将系统中 (3 )消除中间变量，将式子标准化 的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系 将与输入量有关的项写在方程式等号右 统的微分方程。 边，与输出量有关的项写在等号的左边。 列写系统微分方程的一般步骤： (1) 确定系统的输入变量和输出变量 下面举例说明常用环节和系统的微分方 (2) 建立初始微分方程组 程的建立

根据各环节所遵循的基本物理规律， 分别列写出相应的微分方程组。

第一节控制系统的时域数学模型

二、常见环节和系统微分方程的建立 1. RLC电路R

L +

(1)微分方程中只能留下输入、 确定输入量和输出量输出变量，及系统的一些常 输入量： u r 数。 输出量： uc

+

ur-

i

C

uc-

2u du d (2)RC 建立初始微分方程组 c c +u =u +LC 2 c r dt dt

di ur= R i + L dt + uc duc 根据基尔霍夫定律得： i = C dt (3) 消除中间变量，使式子标准化 RLC 电路是二阶常系数线性微分方程。

第一节控制系统的时域数学模型

2.机械位移系统 F(t) – F1(t) – F2(t) = ma

系统组成：中间变量关系式 : 质量 弹簧 阻尼器 (1) 确定输入和输出 F2(t) = k x(t)

弹簧系数k

F(t)

dx(t) m 输入量 输出量 F1(t) = f dt x(t) 系统工作过程： d2x(t) a= (2) 初始微分方程组 dt2 阻尼系数f 2x(t) 消除中间 d 根据牛顿第二定律 dx(t) m +f + kx(t) = F(t) 变量得:F = ma 2 dt dt

第一节控制系统的时域数学模型

3.电枢控制直流电动机工作原理： 系统组成： 直流电机 电枢电 负载 压作用下产生 电枢电流，从 电磁转矩 而产生电磁转 负载转矩 矩使电动机转 摩擦转矩 动. 励磁电流 输入:电枢电压

Mm Tf Mc Ua Ia输出:电动机速度 m (t )

第一节控制系统的时域数学模型

由图，直流电动机的运动 方程由三部分组成：1、电枢回路电压平衡方 程：dia (t ) Raia Ea ua (t ) La dt Ea Ce m (t )

2、电磁转矩方程：M m (t ) Cmia (t )

3、电动机轴上的转矩平衡方程d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) dt

第一节控制系统的时域数学模型

消除中间变量得到直流电动机的微分方程d 2 m (t ) d m (t ) La J m ( La f m R a J m ) 2 dt dt ( Ra f m C m C e ) m (t ) dM c (t ) C m u a (t ) La Ra M c (t ) dt

第一节控制系统的时域数学模型

d m (t ) Tm m (t ) K1u a (t ) K 2 M c (t ) dt式中： Tm Ra J m /(Ra f m CmCe ) K1 Cm /(Ra f m CmCe ) K 2 Ra /(Ra f m CmCe ) 如果忽略 Ra 和 J m ,上式可进一步简化为：

由于电枢电感 式可简化为：

La 较小，通常可忽略不计，上

Ce m (t ) u a (t )

第一节控制系统的时域数学模型比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程

LC

d 2 uC (t ) dt 2

duC (t ) RC uC (t ) u r (t ) dt

m

d 2 x(t ) dt 2

dx(t ) f Kx(t ) F (t ) dt

相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。

第一节控制系统的时域数学模型

二、控制系统微分方程的建立基本步骤： (1)由系统原理图画出系统方框图或直接确定 系统中各个基本部件(元件) (2)列写各方框图的输入输出之间的微分方程， 要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级 元件的负载效应 (3)消去中间变量

第一节控制系统的时域数学模型

举例4: 速度控制系统的微分方程

第一节控制系统的时域数学模型控制系统的主要部件(元件):给定电位器、 运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、 测速发电机

运放1

u1 K1 (u g u f ) K1u e

运放2功放

du1 R2 u 2 K 2 ( u1 ) , R1C , K 2 dt R1

R2 , K1 R1

u a K 3u 2 d 直流电动机 Tm m m K m u a K C M C dt

第一节控制系统的时域数学模型

1 减速器(齿轮系) m i测速发电机消去中间变量

ut K t

ut u1 u 2 u a m

得微分方程如下：(其中系数由已知参数构成)

du g d MC Tm K K g ug KC g dt dt

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