多边形面积奥数

第十讲 格点与切割

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格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。 格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1

典型例题

【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?

【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?

【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?

【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。

【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?

【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。

【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?

【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?

小试身手

（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。三个多边形的面积分别为多少平方厘米?

（2） 图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积

（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?

星级挑战

（一）夯实基础★★★

1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?

2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?

3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?

4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?

5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。(单位：厘米)

6、如图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积。

7、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?

（二）冲刺名校★★★★

8、下图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点。围成的阴影部分的面积为多少平方厘米?

9、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米?(单位：厘米)

10、如图所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7。问：这个图形的面积最大可能是多少?

（三）勇夺冠军★★★★★

11、正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。

ABC

12、下图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

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书写评价 知识评价 积分 家长签字 第十一讲 平面组合图形

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三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形被称之为基本图形或规则图形。由两个或多个简单的基本几何图形可以组合成一个组合图形，要计算组合图形的面积，就要根据图形的基本关系， 常用的基本方法有：直接计算法、切割法、排空法、添补法等。

典型例题

【例1】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？

9 6

【例2】图中的四边形均为正方形，按图中所示数据，（单位：厘米）求阴影部分的面积？

12

【例3】右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。

【例4】如下图,AB=14cm,BC=11cm，CD=11cm，AD=14cm ,点M到各边的距离都是4.5厘

米,这个四边形面积是多少？

【例5】如图，是长方形与平行四边形组成的图形，阴影部分的面积是168平方厘米，则AB的长度为多少？

【例6】如图，平行四边形ABCD中，BC=10cm，直角三角形ECB的边EC=8cm，已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10cm，求平行四边形ABCD的面积。

2

【例7】如图，三个边长为10，12，8的正方形拼在一起，直线CB将整个图形的面积平分，求线段AB的长度？

【例8】在四边形ABCD中（见左下图），线段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线段ED的长为5cm，则四边形ABCD的面积是 平方厘米。

小试身手

（1）下图是一个五边形，已经AB=AE,BC=CD=8cm，∠A、∠C、∠D都是直角，求这个图

形的面积。

（2） 如图，三角形甲比三角形乙的面积多3cm2，那么a等于多少厘米？

（3）图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

星级挑战

（一）夯实基础★★★

1、王大伯利用一面墙围成一个鸡圈（如图）已知所用篱笆全长12m，请你帮王大伯算出这个鸡圈的面积是多少m？

墙

2、一个平行四边形的周长是74cm（如图），以CD为底时，它的高是18cm，BC是24cm，求它的面积？

鸡圈 3m 2

3、求下列各图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

4、如图，直角梯形ABCD的周长为102cm，高AD=10cm，斜边BC=18cm，求梯形ABCD的面积。

A B D C

5、下图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

6、下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积。

（二）冲刺名校★★★★

7、求下面图形中梯形ABCD的面积。（单位：厘米）BC＝8厘米，∠AED＝90° B

8、下图是一个平行四边形和一个长方形所组成的图形，数据如图所示，求阴影部分的面积？

A 3 E 5 4 C D

9、四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC=18厘米，BD=13厘米，求四边形面积。

10、下图ABCD为直角梯形，AB的长为10cm，求梯形的面积。

（三）勇夺冠军★★★★★

11、如图所示，直角三角形ABC由红、绿两个直角三角形和一个黄色长方形拼成。AE=25cm,BF=20cm.问黄色的长方形的面积是多少平方厘米？

红4绿黄6

12、P是长方形ABCD内一点，三角形PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等于13.问三角形PBD的面积是多少？

数学乐园

隔壁分银

只闻隔壁客分银，不知人数不知银， 四两一份多四两，半斤一份少半斤。 试问各位能算者，多少客人多少银？

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红4绿黄6

12、P是长方形ABCD内一点，三角形PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等于13.问三角形PBD的面积是多少？

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