高等数学轻松解决高考压轴题，助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈！！！

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内容概要

名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 结论 至少存在一点ξy?f(x)：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导；（3）f(a)?f(b) ?(a,b)使得f/(ξ)?0 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 y?f(x)：（1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)内可导 至少存在一点??(a,b)使得f(b)?f(a) f/(ξ)?b?a?(a,b)使得 f(x)、g(x)：（1）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导；（2）在(a,b)内每点处至少存在一点ξg/(x)?0 00?型未定式 ?f/(ξ)f(b)?f(a)?b?ag/(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 型与通分或取倒数化为基本形式 1）???型：常用通分的手段化为0000型或?型； ??型，即： ?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或0???取对数化为 基本形式 000???或0????； 1/?01/0?01）0型：取对数得0?e0?ln0，其中00??0?ln0?0????或0?ln0?0????； 1/?01/0???2）1型：取对数得1?e??ln1， 其中??ln1???0?00? 1/?0； 或??ln1???0????1/0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 其中0?ln??0???00? 1/?0或0?ln??0??????。 1/0?

以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益！

想要突破140瓶颈的千万别错过！！！

1—2：核心总结

本文的核心就是1—2，建议大家把以上公式记录到自己的笔记本上好好理解，并在自己平时的作业尝试应用。

3—9：重中之重——拉格朗日中值定理深层次剖析

以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益。但是由于篇幅有限，不能一一对其深入剖析，在此向大家致歉。不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！

10—15：拉格朗日中值定理在高考题里的应用

或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。

我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。

重中之重—————拉格朗日中值定理

资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破140的瓶颈，一举成为数学大神！！！

拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。这对于正确的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。

0前言

函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值

定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明.

拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.

拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件： （1） f在闭区间?a,b?上连续； （2） f在开区间?a,b?内可导， 则在?a,b?内至少存在一点?，使得f'???=

f(b)?f(a)[1]

。

b?a对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。

1 对拉格朗日中值定理的理解

拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。 1.1 承上启下的定理

拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。

例：函数

f(x)?x2?3，有f'(x)?2x，当x?(0,??)时，f'(x)?0，

f(x)单调增加；当x?(??,0)时，f'(x)?0，f(x)单调减少；当x?0时，f'(x)?0，f(0)??3

可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。一般在某个区间上，若f'(x)?0，则f(x)单调增加，若f'(x)?0，则f(x)单调减少，若f'(x)?0，则f(x)可能在改点x处取得极值（此亦为定理）。又如例中，如果2?x?6时，

f(6)?f(2)f(6)?f(2)?8，而f'(4)?8，从而有?f'(4)，即函

6?26?2数f(x)?x2?3在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度之比等于该区间内某一点的导数值。这样一来，通过具体实例会让学生容易学地接受定理的内容。

[2]

1.2 定理中的条件

函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定理两个不可缺少的条件，是充分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论，但没有这两个条件，?则无定论。

例 函数f(x)?1在闭区间 [?1,1]上不连续，在开区间(-1,1)内不可导 x?1f(1)?f(?1)??1 x21?(?1)所以x2??1无实根，即在区间(-1,1)内不存在?，使得f'(x)?1 1.3 定理中的?

如果在满足拉格朗日中值定理条件下，结论中的“至少存在”是关键所在。实际上?是方程

f’(?)=

f(b)?f(a) （1）

b?a的所有实数解中属于区间?a,b?的那些解，而这些解的个数正是定理中?的个数。

例 求函数f(x)?2x2?4x?1在区间（-1,1）内的? 解：显然函数在该区间内满足定理的条件,所以

f(b)?f(a)

b?af'(x)?k?即区间?a,b?内任何一点都可取为?，这样的?有无穷多个。但值得注意的是方程（l）一般不是简单的代数方程，不一定能解出?，但这并不影响定理的

应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出?，而是在于确定了?的存在性。 1.4 定理的意义 （1）几何意义:定理中

f(b)?f(a)是连接曲线上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))的弦

b?a的斜率，f'(?)是过曲线上一点(?,f(?))的切线的斜率。那么，定理就可解释为在曲线y?f(x)上至少存在一条平行于弦AB的切线。[1]

（2）物理意义:如果s(t)表示物体的运动规律在定理的条件下，s'(t)表示物体

s(t)?s(t1)运动到时间时的瞬时速度；2表示物体从时间到平均速度，那么

t2?t1s(t)?s(t1)s'(?)?2(t1???t2)表示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻?，

t2?t1其瞬时速度等于它的平均速度。

2 拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥

梁。该定理的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件，这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定理条件的新函数作为辅助函数。

教科书上的证明方法正是通过此思想实现的，但所作的辅助函数不是很容易想到，下面提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。 分析：首先由定理的结论知

f(b)?f(a)

b?af'(?)?则可求

f(b)?f(a)x]'1??0

b?a[f(x)?从而可构造辅助函数

f(b)?f(a)x

b?a?(x)?f(x)?证明：先构造辅助函数

?(x)?f(x)?再用罗尔定理证明

f(b)?f(a)x

b?a显然，?(x)在?a,b?连续，在（a,b）可导，

??a??f?a??f?b??f?a?bf?a??af?b??a?

b?ab?af?b??f?a?bf?a??af?b??b?

b?ab?a??(a)??(b)

??b??f?b??有罗尔定理知，?(x)在[a,b]连续，在（a,b）内可导，且?(a)??(b)，则?(x)在（a,b）内至少存在一点??(a,b)，使?'(?)?0. 从而可证

f(b)?f(a)

b?af'(?)?即证

3 拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函

数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。 3.1求极限 3.2证明不等式 3.3证明恒等式 3.4证明等式

3.5研究函数在区间上的性质 3.6估值问题 3.7判定级数的收敛性 3.8证明方程根的存在性 3.9误用拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理在高考题里的应用

近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.

[1]拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件： （i）f在闭区间[a,b]上连续；（ii）f在开区间(a,b)内可导；

则在?a,b?内至少存在一点?，使得 f'????一、证明

[2]f?b??f?a?b?a.

f?x?f?x??a或?a成立（其中x?0） xx例：（2007年高考全国卷I第20题）

设函数f?x??ex?e?x.

（Ⅰ）证明：f?x?的导数f'?x??2；

（Ⅱ）证明：若对所有x?0，都有f?x??ax ，则a的取值范围是(??,2]. （Ⅰ）略.

（Ⅱ）证明：（i）当x?0时，对任意的a，都有f?x??ax

ex?e?x(ii)当x?0时，问题即转化为a?对所有x?0恒成立.

xf?x??f?0?ex?e?x令G?x??，由拉格朗日中值定理知?0,x?内至少存在一点??xx?0f?x??f?0?（从而??0），使得f'????，即G?x??f'????e??e??，由于

x?0f''????e??e???e0?e?0???0?，故f'???在?0,x?上是增函数，让x?0 得

G?x?min?f'????e??e???f'?0??2，所以a的取值范围是(??,2].

评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令g?x??f?x??ax，再分a?2和a?2 两种情况讨论.其中，a点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次，方程g'?x??0求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. 二、证明g?a??g?b??2g??2又要去解方程g'?x??0.但这有两个缺

?a?b????(b?a),?b?a?成立 ?2?例：（2004年四川卷第22题）

已知函数f?x??ln(1?x)?x,g?x??xlnx. （Ⅰ）求函数f?x?的最大值；

（Ⅱ）设0?a?b?2a，证明：g?a??g?b??2g?（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：依题意，有g'?x??lnx?1

?a?b???(b?a)ln2. ?2???a?b??a?b???a?b?g?a??g?b??2g??gb?g?g?ga?????? ?????222????????由拉格朗日中值定理得，存在???a,??a?b??a?b?,??,b?，使得 ??2?2???b?ab?a?a?b???a?b?'' g?b??g??g?ga?g??g???ln??ln?????????????????2222???????b?abb?a4ab?a?ln??ln??ln???b?a?ln2

?2a2a2

?a?b???a?b?的形式，我们往往可以把2???a?b??a?b??a?b??a?b?和，分别对和g??gagb?gg?gagb?g???????????????两

?2??2??2??2?评注：对于不等式中含有g?a?,g?b?,g?次运用拉格朗日中值定理.

三、证明f?x1??f?x2????x1?x2?成立

[3][4]例： (2OO6年四川卷理第22题)

已知函数f?x??x2?正数x1,x2，证明： （１）当a?0时，

2?alnx(x?0),f?x?的导函数是f'?x?，对任意两个不相等的xf?x1??f?x2?2?x?x2?f?1?2?? ?（２）当a?4时，f'?x1??f'?x2??x1?x2.

?x1?x2??x1?x2??f????f?x1?．由拉

?2??2??x?x2??x1?x2?格朗日中值定理知，存在?1??x1,1,??,x2?，则?1??2且 ?2?22????证明：（１）不妨设x1?x2，即证f?x2??f?x?xx?x?x?x??x?x?f?x2??f?12??f'??2??21，f?12??f?x1???f'??1??21又

22?2??2?2a4af'(x)?2x?2?， f''?x??2?3?2.当a?0时，f''?x??0.所以f'(x)是一个

xxxx?x?x2??x1?x2?单调递减函数，故f'??1??f'??2?从而f?x2??f?1?f????f?x1?成立，

?2??2?因此命题获证．

22a?alnx得，f'(x)?2x?2?，令g?x??f'?x?则由xxx拉格朗日中值定理得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)

（２）由f?x??x2?下面只要证明：当a?4时，任意??0,都有g'????1，则有

g'?x??2?4a4422a?4??1a?x?x?，即证时，恒成立.这等价于证明的最

xxx3x2小值大于4.

422?x2???334，当且仅当x?32时取到最小值，又xxx4aa?4?334，故a?4时，2?3?2?1恒成立.

xx由于x2?所以由拉格朗日定理得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)?g'???x1?x2?x1?x2. 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性. 四、证明f?x1??f?x2????x1?x2?或f?x1??f?x2????x1?x2?成立

例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数f?x??（Ⅰ）求f?x?的单调区间；

sinx.

2?cosx（Ⅱ）如果对任何x?0，都有f?x??ax，求a的取值范围. （Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：当x?0时，显然对任何a，都有f?x??ax；当x?0时，

f?x?f?x??f?0?? xx?0f?x?f?x??f?0???f'???.由（Ⅰ）由拉格朗日中值定理，知存在???0,x?，使得xx?02sinx?2?cosx??cosx?1?2cosx?1''''fx?知f'?x??，从而.令f???x??0得，22?2?cosx??2?cosx?''x????2k?1??,?2k?2????；令f?x??0得，x???2k?,?2k?1????.所以在

1'''2k?1?,2k?2?fx?f2k?2????上，的最大值在 fx??????????????max3'2k?,2k?1???上，f???x?的最大值f??'?x?max?f'?2k???1.从而函数f'?x?在31.由k?N知，当x?0时，f'?x?的最大3'11值为f?x?max?.所以，f'???的最大值f'???max?.为了使f'????a恒成立，应

33?1?有f'???max?a.所以a的取值范围是?,???.

?3???2k?,?2k?2????上的最大值是f'?x?max?值g?x?min?0.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参个求解涉及到反余弦arccos3a,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.

五、证明f?x??0,(x?a)成立，（其中f?a??0） 例：（2007年安徽卷18题）

设a?0,f?x??x?1?ln2x?2alnx?x?0?.

（Ⅰ）令F?x??xf'?x?，讨论F?x?在?0,???内的单调性并求极值；

评注：这道题的参考答案的解法是令g?x??ax?f?x?,再去证明函数g?x?的最小

数a进行分类讨论;其次为了判断g?x?的单调性,还要求g'?x??0和g'?x??0的解,这

（Ⅱ）求证：当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1. （Ⅰ）略；

（Ⅱ）证明：即证f?x??0，由于x?1，则理得，存在???1,x?，使得

f?x??f?1??f'???.由（Ⅰ）的解题过程知

x?122a222a2f'?x??1?lnx?，所以f''?x???2?2lnx?2?2?lnx?1?a?.令

xxxxxx1?af?x?f?x??f?1??.由拉格朗日中值定x?1x?1f''?x??0得，x?e小值

f'?x?min?f?e1?a?

.令f''?x??0得，1?x?e1?a.故f'?x?在x??1,???上最

2?1?a?2ae1?a?2f?x?''?1????0?0.又x?1，.所以.从而f??fx?0????mine1?ae1?ae1?ax?1则f?x??0成立，从而当x?0时，x?ln2x?2alnx?1成立.

评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中F?x?在?0,???内的极小值F?2??0得到

F?x??xf'?x??0.又x?1，所以f'?x??0.从而f?x?在?1,???上单调递增,故f?x?的最小值f?x?min?f?1??0，所以x?ln2x?2alnx?1.但是如果没有（Ⅰ），很难这个问题. 六、证明

想到利用F?x??xf'?x?来判断f?x?的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在

f?x1??f?x2?f?x1??f?x2???或??（其中x1?x2）

x1?x2x1?x2例：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：若a?5，则对任意x1,x2??0,???，x1?x2，有（Ⅰ）略；

f(x1)?f(x2)??1.

x1?x2a?1f(x1)?f(x2).所以要证?f'???.由（Ⅰ）得，f'?x??x?a?xx1?x2a?1f(x1)?f(x2)??1.下面即证之. ??1成立，即证f'??????a??x1?x2（Ⅱ）

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