汕头市2011-2012学年度第二学期高三数学综合测练题

汕头市2011-2012学年度第二学期高三数学综合测练题

（文一）

本试卷满分150分。考试时间120分钟。

Q ，则m等于（ ）

1．已知集合P {0,m},Q {x|2x2 5x 0,x Z}，若P

A．1 B一、选择题： （共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个是符合题目要求，请将正确选项填在答卷相应的位置上）

选项中，只有一项．2

C．1或

52

D．1或2

2．已知向量a (2,1),b (x, 2)，且a b与2a b平行，则实数x的值等于（ ）

A. 6 B.6 C. 4 D.4

4．以下有关命题的说法错误的是

A．命题“若x2

3x 2 0，则x 1”的逆否命题为“若x 1,则x2 3x 2 0”

B．“x 1”是“x2 3x 2 0”的充分不必要条件 C．若p q为假命题，则p、q均为假命题

D．对于命题p: x20 R，使得x0 x0 1 0，则 p: x R，则x2 x 1 0

5．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1 面A1B1C1，正

C1

视图是边长为2的正方形，则左视图的面积为 （ ） A 1B 1

A．4 B．23 C．22 D．

6．已知等差数列{ax2

n}中, a3,a15是方程 6x 1 0的两根, 则

a7 a8 a9 a10 a11等于（ ）

A

B

A. 18 B. 18 C. 15 D. 12

7．将函数y sin2x的图象向左平移

4

个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( ) A.y 2cos2x B.y 2sin2x C.y 1 sin(2x

4

) D.y cos2x

8．若过点A(3,0)的直线l与曲线 (x 1)2 y2 1有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ( )

A. ( 3, ) B. [ 3, 3 ] C. (

33, 3 ) D. [ 3333

] 9．连续掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量a (m,n)与向量b ( 1,1)的夹角

2

的概率是（ A．

12 B．13 C．712 D．5

12 10．若函数y f(x)的导函数．．．在区间[a,b]上是增函数，则函数y f(x)在区间[a,b]上的图象可能是（

y

） ）

a

b a

A ． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）(一)必做题（11—13题）

11．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态 奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中 抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则 抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是 。

x y 2 0

12．已知x,y满足约束条件： x 0，则z x 3y的最小值 。

3x y 6 0

13．考察下列一组等式：

223939416416

2 4; 2 4; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ；…，根据这些等式反映的结果，可以得1122223333

出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为 。 ★（请考生在以下两个小题中任选做一题，两题全答的，只计算第一个题得分．） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的极坐标方程 2cos ，则圆C上点到直 线l: cos 2 sin 7 0的最短距离为 。

15．（几何证明选讲选做题）如图所示, 圆O上一点C在直径AB上的射影为D, CD 4,BD 8, 则圆O的半

C径等于 。

A B D O

（第15题图）

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（文一）答题卷

学校 班级 姓名 座号 评分 一、选择题：（５分×10＝50分） 题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题：（５分×4＝20分）

第11题 第12题 第13题 第（ ）题答

三、解答题：（共６小题，共80分，解答题应写出文字说明，以及必要的证明过程或演算过程） 16.（本小题满分12分）等比数列{an}中，已知a1 2,a4 16. （1）求数列{an}的通项公式；

（2） 若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

（1）求常数 a 的值；

（2）求函数 f ( x )的最小正周期和最大值．

17.（本小题满分12分）已知函数 f ( x ) a sin x cos x 4cos 2 x，x R，f () 6 ．

6

18．（本小题满分14分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株. 现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查结果绘成频率分布直方图如右：（直方图中每个区间仅包含左端点） （1）求直方图中的x值 ;

（2）若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害,现要对这 4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为2株的概率.

0.045

0.02

0.015

0.01

树干周长（cm）

19.（本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为 正方形，PD 平面ABCD，EC//PD，且

P

PD AD 2EC=2 .

（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何 体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主) 视图和侧(左)视图；

（2）求四棱锥B－CEPD的体积； （3）求证：BE//平面PDA．

A

B

D

E

C

DC

A

俯视图

B

x2y220．（本小题满分14分）已知椭圆C1 2 1 0 b

2 抛物线C2：x2 2py p 0

4b的焦点在椭圆的顶点上。 （1）求抛物线C2的方程；

（2）过M 1,0 的直线l与抛物线C2交与E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切 线l1、l2，当l1 l2 时，求直线l的方程。

21．(本小题满分14分)已知函数f(x) x ax (2a 3)x a（a∈R）. （1）若函数f(x)在区间(1, )上有极小值点，求实数a的取值范围； （2）若当x [ 1,1]时，f(x) 0，求实数a的取值范围．

3

2

2

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（文一）参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D

C

A

C

B

C

A

D

D

A

解析：

１．Q {x|0 x

5

2

,x Z} {1,2}，因为PQ ，故m 1或2。 2． a b (2 x, 1)，2a b (4 x,4)，

因为a b与2a b平行，故4(2 x) (4 x) 0，即x 4。

3． z

2 3i

i

3 2i。 4．若p q为假命题，则只需p,q至少有一个为假命题即可。

5

2的矩形，

故S 。 6．a3 a15 a7 a11 a8 a10 2a9 6，

故a7 a8 a9 a10 a11 15

。

7．将函数y sin2x的图象向左平移

4

个单位,得到函数y sin2(x

4)即y sin(2x 2) cos2x再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2

x。

,

的图象

8．显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y k(x 3)，由

y k(x 3)

，得 22

(x 1) y 1

(1 k2)x2 (6k2 2)x 9k2 0， (6k2 2)2 36k2(1 k2) 4 12k2 0

故。 k

9．总的基本事件有6 6 36种，

2

，即ab 0，∴n m 0 事件“n m”包含15个基本事件。故

P(

2

)

5

。 12

10．由y f'(x)在区间[a,b]上是增函数，知y f(x)图象的切线斜率在[a,b]递增，即y f(x)图象越来越陡。 二、填空题

11．6 12．6 13．解析：

11．抽取比例k

n 1n 1 (n 1) (n 1)(n N ) 14

1 15．5 nn2011

，故抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是(10 20) 6。

40 10 30 2055

12．约束条件表示的平面区域如图阴影所示z在点A(0,2)处取得最小值6。

n 1n 1 (n2 n)(n 1)2n 1(n 1)2 (n 1) , (n 1) 13．由于， nnnnn

所以得出结论

n 1n 1

(n 1) (n 1)(n N*)。 nn

2

2

14．圆C的直角坐标方程为：(x 1) y 1，直线l的直角坐标方程为：

x 2y 7 0，圆心C到直线l

的踽距离d

线l

，故圆C上的点到直 第12题 51。 CD2

2，2r AD BD 10，故r 5。 15．AD BD

三、解答题（本部分共计6小题，满分80分） 16．解：（1）设{an}的公比为q,

由已知得16 2q，解得q 2.所以an 2n. 5分 （2）由（1）得a3 8，a5 32，则b4 8，b16 32,

3

b1 3d 8, b 2,

设{bn}的公差为d，则有 解得 1 8分

b 15d 32,d 2. 1

bn b1 (n 1)d 2 (n 1) 2 2n. 10分

且数列{bn}的前n项和Sn nb1

n(n 1)n(n 1)

d 2n 2 n2 n. 12分 22

17．解：（1）依题意， f ( ) a sin cos 4cos 2 6 1分 6666

1即 a

4 2 6

3分 2解得 a 5分 （2f ( x ) x cos x 4cos 2 x 2 x x 1 ) 8分 2(cos2

x ) 的最小正周期 T 2 12分 4sin(2x ) 2 10分，所以 f (

62最大值 M 2 14分 4 618．解：（1）因为用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株， 所以应该抽取银杏树100

400

40株 -----------------3分 1000

由直方图可得银杏树树干周长在 30,40 、 40,50 、 60,70 分别有4、18、6株， 所以树干周长在 50,60 有40－(4 18 6)＝12株， 所以x

3

0.03 ------------------------------------- 6分 100

（2）记这4株树为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树，

记恰好在排查到第二株时发现患虫害树为事件A，则A是指第二次排查到的是树4--8分

因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件为：

(树1,树2),(树1,树3),(树1,树4),(树2,树1), (树2,树3),(树2,树4)

(树3,树1), (树3,树2),(树3,树4),(树4,树1), (树4,树2),(树4,树3)共计12个基本事件-------------12分

而事件Ａ中包含的基本事件有3个 所以恰好在排查到第二株时发现患虫害的概率P(A)

31

-------------------14分 124

19．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 (2)∵PD 平面ABCD，PD 平面PDCE ∴平面PDCE 平面ABCD ∵BC CD

∴BC 平面PDCE----------5分 ∵S梯形PDCE

11

(PD EC) DC 3 2 322正视图

-------6分

∴四棱锥B－CEPD的体积

侧视图

俯视图

11

VB CEPD S梯形PDCE BC 3 2 2----------8分

33

(3) 证明：∵EC//PD，PD 平面PDA， EC 平面PDA

∴EC//平面PDA,------------------------------------10分 同理可得BC//平面PDA----------------------------11分 ∵EC 平面EBC,BC 平面EBC且ECBC C

∴平面BEC//平面PDA -----------------------------13分 又∵BE 平面EBC ∴BE//平面PDA ------------------------------------------14分

20．解：（1）已知椭圆的长半轴为

2，半焦距

为c ，由离心率等

于

c 2分 e

a222

b 1， 椭圆的上顶点 0,1 ，

抛物线的焦点为 0,1 ，

抛物线的方程为x2 4y 6分

121

（2）由已知，直线l的方程为y k x 1 ，E x1,y1 ，F x2,y2 ，y x， y x，

42

xx

切线l1、l2的斜率分别为1、2 8分

22xx

当l1 l2时，1 2 1即 x1x2 4 9分

22

2 y k x 1 2

由 得：x 4kx 4k 0， 4k 4 4k 0解得k 1或k 0①

2 x 4y

x1x2 4k 4即 k 1 12分 此时k 1满足①，

直线l的方程为x y 1 0 14分

21． (本题满分14分)

解：（1）f (x) 3x 2ax (2a 3) (3x 2a 3)(x 1) 令f (x) 0, 得x 1,或x

2

2a 3

， 3

使函数f(x)在区间(1, )上有极小值点，

则

2a 3

1,解得：a 3 ． 6分 3

（2）由题意知，即使x [ 1,1]时，(f(x))min 0． ①当

2a 3

1，即a 3时，f(x)在x [ 1,1]上单调递增， 3

2

(f(x))min f( 1) a 3a 2 0，得a 1或a 2，

由此得：a 3；

②当 1

2a 3

1，即 3 a 0， 3

2a 32a 3

]为增函数，在[ ,1]上为减函数， f(x)在[ 1, 33

所以(f(x))min min f( 1),f(1) ，

2

f( 1) a 3a 2 0

a 2或a 2 得 2

f(1) a a 2 0

由此得 3 a 2； ③当

2a 3

1，即a 0， 3

2

f(x)在x [ 1,1]上为减函数，所以(f(x))min f(1) a a 2 0

得a 2或a 1，由此得a 2；

由①②③得实数a的取值范围为a 2或a 2． 14分

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