毕业论文 幂零矩阵的性质与应用 曹彦辉

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摘 要

在高等数学研究中，矩阵不仅是研究问题的一种重要工具而且在实际生活中具有广泛的应用,幂零矩阵是矩阵中满足Ak?0的一类比较特殊的矩阵，所以幂零矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位，同时在实际应用方面也具有特殊的意义。幂零矩阵具有很多很好的性质，本文归纳总结18条性质，共用到定理或引理14条，系统说明这些性质并给出相应的证明；如在求特殊矩阵的逆以及在若尔当标准型的计数方面等，本文深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析、论证这些性质。同时本文幂零矩阵自身具有的一些特殊性质给出了论证，并举例加以说明。

本文同时探讨了2个矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的方便化与简单化，体现了幂零矩阵的实用性以及研究的必要行；同时探讨了数域K上n阶矩阵与幂零矩阵简单的联系，比如可以利用n阶矩阵与幂零矩阵的运算解决需许多实际问题，即每一个奇异方阵均可表示成一个幂零方阵加上两个幂零方阵的乘积. 利用幂零矩阵的性质，可以把一个n阶方阵变为两个可逆矩阵与一个对角矩阵之和，进而方便研究矩阵的其他性质,并通过具体例子说明其在实际应运中的作用。

关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值

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Abstract

Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.

Key words: Nilpotent matrix；Linear transformation；Inverse matrix；Jordan canonical form； Characteristic

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目 录

摘要 ·································································································································································· I Abstract ·························································································································································· II

绪论 ································································································································································· 1 第一章 预备知识 ··········································································································································· 3

1.1 概念 ·················································································································································· 3 1.2 引理 ·············································································································································· - 4 - 1.2 幂零矩阵的判别与构建 ·················································································································· 5

1.2.1幂零矩阵的判别 ·············································································································· - 6 - 1.2.2幂零矩阵的构建 ·············································································································· - 7 -

第二章 幂零矩阵的性质 ··························································································································· - 9 -

2.1 幂零矩阵的特性 ·························································································································· - 9 - 2.2 矩阵是幂零矩阵的若干个充要条件 ························································································ - 11 - 2.3 幂零矩阵和若尔当块 ···················································································································· 11 2.4 幂零矩阵的其他性质 ················································································································ - 13 - 2.5幂零矩阵的一些重要结论 ········································································································· - 20 - 第三章 幂零矩阵的应用 ························································································································· - 22 -

3.1幂零矩阵在矩阵求逆过程中的应用 ························································································· - 22 -

3.1.1在求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆的应用 ························································ - 22 - 3.1.2 在主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆的应用 ··············································· - 24 - 3.2 幂零矩阵在其他方面的应用 ···································································································· - 26 -

结论 ··························································································································································· - 31 - 参考文献 ··················································································································································· - 32 - 致谢 ··························································································································································· - 33 -

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绪 论

随着科学技术与人类进步的快速发展，原有的线性代数知识已不能满足现代科技生活的需要，矩阵的科学理论与研究方法渐渐成为现代科技领域不可或缺的基础理论与方法。例如积分方程数值分析、网络科学与风险评估、航空力学等学科都与矩阵理论有着重大的联系，甚至在能源计算分析、金融行业投资与回报、社会人文科学的领域，矩阵理论体现其强大的作用，同时可以发现矩阵与我们的生活息息相关。对于上述的方面和领域同样发挥着关键的作用，随着矩阵学科的慢慢发展，人们会越来越习惯用矩阵的思维描述身边的一切，做为矩阵中的特殊阵，幂零矩阵的应用会越来越广。

自1960年以来，大量学者开始研究幂零矩阵的性质，并且获得了许多重要的研究成果同时发展了幂零矩阵的学科知识。从20世纪60年代Give论证了n阶矩阵A是幂零矩阵的充分必要条件是Ak?0，拉开了幂零矩阵研究热潮，通过近几十年来一代代数学家不懈努力，幂零矩阵又得到了飞速发展。虽然在高等数学中学到矩阵的运算时尤其是乘法运算提出过幂零矩阵的概念与定义，但对其深入的研究比较少，在这种情况下我们应加强在幂零矩阵的发展和推广方面的的探究与归纳。本文继续归纳总结幂零矩阵的一些性质，采用系统而缜密的思维，把近几年前人研究成果归纳并进行简单的应用，本文共总结性质18条，其中包含幂零矩阵自身性质4条，充分必要条件2条，深入研究幂零矩阵与其他方面的联系和结合12条，这些方面具体有比如幂零矩阵和线性变换、jrodan标准型等方面的关系及某些联系，，在本文的后面具体应用中我们体统的研究和总结了幂零矩阵的性质在特殊矩阵的求逆过程中以及和其它矩阵的联系上的优越性。

幂零矩阵的研究也经历了比较漫长的时间，近几年比较有影响力的作品与文献如下 1，在玉林师范学院学报,2003,中由韩道兰,罗雁,黄宗文研究给出了幂零矩阵的一些性质，对现在幂零矩阵的研究奠定了基础，并通过证明，发展和论证了幂零矩阵的性质；

2，在泰州职业技术学院学报,2004,中由姜海勤归纳总结了对于几类利用幂零矩阵的性质简化了矩阵求逆过程中的计算，还有用幂零矩阵的特殊性质求其他特殊矩阵的n次幂，使幂零矩阵的应用走上一个新的高度。

3，在徐州师范大学学报(自然科学版),2006, 中由胡秀玲,张秀福.证明了对于n维线性空间V ,必存在V的一组基底使得由V的幂零线性变换生成的幂零代数N中任何元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵，从而使幂零矩阵与线性变换建立了联系。

4，在齐齐哈尔大学学报,2007,由吴险峰利用幂零矩阵的相似性，以及矩阵多项式中的特征值、特征多项式等性质，给出了判别和构建幂零矩阵的几种方法，这样使幂零

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矩阵在可操作化和识别化方面更加有了依据。

5，在河北北方学院学报，2008,中由王兆飞利用幂零线性变换的概念，在一般数域上论证了幂零线性变换一定存在一组基使其在这组基下的矩阵是若当形矩阵，从而给出幂零矩阵的Jordan标准形，这样使幂零矩阵的发展打开一个新的界面与思路。

6，杭州师范大学学报(自然科学版),2009,由杨浩波讨论了数域 K上 n?n矩阵与幂零矩阵的运算联系，得到每个奇异方阵可写成一个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和的结论。

综上所述，幂零矩阵的发展经历了鲜活的演变，感谢在这方面尽力探究的前辈，幂零矩阵的性质与应用发展到今天已颇具规模，在本文18条性质中涵盖了矩阵理论的各个方面，显示出幂零矩阵的生命力，本文继续研究总结幂零矩阵的应用，并且归纳前人的科研成果，使之更加具体化、系统化。

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第1章 预备知识

1.1 概念

为了更好的认识和了解幂零矩阵，在本小节中主要说明本文在研究幂零矩阵所用到的定义，同是实用一些简单的便是符号，为了下文更好书写与阅读。

定义1.1 设A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，则A称为幂零矩阵。 定义 1.2 设A为幂零矩阵，满足Ak?0其中k为整数，k称为A的幂零指数，并称

A是k次幂零矩阵。这样我们就可以说，n阶零矩阵也是是幂零矩阵，并且属于一类特

殊幂零矩阵，其幂零指数为1，当然幂零指数是1的不仅是零矩阵还有其他矩阵。

前两个定义直接给出幂零矩阵的所满足的条件和特点，同时需要说明的是定义1.2给出了幂零指数，在本文中主要研究指数是1或2的幂零矩阵，但是对于k次幂零矩阵在后面也有一些涉及，但是不是特别系统与丰富。

?a11?定义1.3 设A???a?n1a1n??a11????A，称???a?ann??1nan1???为A的转置， ann???A11??*A?????A?1nAiiAn1??????Ann??

（1-1）

称为A的伴随矩阵，这里的Aij(i,j?1,2,n,n)为A中元素aij的代数余子式。

定义 1.4 n阶矩阵A?(aij)，?aii称为A的迹，记为Tr(A)。显然，A的全体特

i?1征值的和等于Tr(A)。

定义1.3与定义1.4两个定义属于矩阵理论的基本理论也是后面研究的重要理论依据。

定义 1.5. 形为

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??0??1?J(?,t)????00?00?0??00?? ??0?1??? （1-2）

0??C，的矩阵称为若当尔块其中，其中t代表的是若尔当块的阶数，若干个Jordan块组成的对角矩阵称为若当形矩阵。

定义1.6.若f(?)??E?A则称f(?)为矩阵A的特征多项式。满足

f(?)??E?A?0的?的值称为矩阵A的特征值。定义 1.7.设

若?k?z?，满足

表示为

,那么就称A是幂零指中的K-幂零矩阵的集合。

数为k的幂零矩阵，记为K-幂零矩阵，记

1.2 引理

引理也是我们要用到的一些性质和定理，我问用引理来命名一些比较常用的性质和定理，也是为了更好的服务下文的理解，对于下文的一下证明可以用引理做为理论依托，使证明更具说服力与科学行。同时许多引理的证明比较简单，所以在本文没有具体给出。

*引理1.1.设A，B为n阶方阵，则?AB???B?A?,?AB??B*A*。

引理 1.2.（哈密耳顿—凯雷定理）设A是n阶方阵，f(?)??E?A是A的特征多项

式，则有f(A)?0。

引理 1.3.相似矩阵具有相同特征值。 引理 1.4.令?1,?2,,?n为n阶矩阵A的特征值，那么 trA??1??2???n，A??1?2???n

（1-3）

对任意的多项式f(x)必然有f(A)的特征值为f(?1),f(?2),,f(?n)。

引理 1.5.若尔当形矩阵(Jordan)的主对角线上的和元素是其特征值。

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引理 1.6.每一个n阶的复数域上的矩阵A都与一个若当形矩阵（Jordan）相似，如果这个若当形矩阵（Jordan）若当块的排序被矩阵A唯一决定的，则称它为A 的若当标准形。

引理 1.7.设A,B为n阶复数域上的矩阵，如果AB=BA，那么存在可逆矩阵T，使得

??1??2?1TAT?????????1???1? ，TBT???????n????????n? （1-4）

?2??a?1引理 1.8.k阶若当块Jk?????1???的最小多项式是(x?a)k并且有 ??a?(Jk?aE)k?0。

引理 1.9. 如果满足n 阶矩阵A的所有特征根都为零，那么A是幂零矩阵， 引理 1.10.令 n 阶矩阵A = （

）的特征多项式为

（1-5）

则为A的一切k阶主子式的和乘以,即

（1-6）

以上引理基本上奠定了矩阵理论的基础，这些引理不仅显示出幂零矩阵的自身特性，同时也与许多方面建立起来联系例如引理1.5、引理1.6、引理1.8，建立了与若尔当标准型的联系，引理1.5、1.9、1.10建立了幂零矩阵与矩阵多项式以及一些相关的概念的联系

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1.2 幂零矩阵的判别与构建

1.2.1幂零矩阵的判别

定理 1.1 当且仅当A的一切k（k?z?）阶主子式之和为零，则称数域F上 n阶矩阵A为幂零矩阵，

证明

（必要性）由引理1.10知，设A=

有，

(1-6)

则为A的一切k阶主子式的和乘以,即

由上面的条件知A为幂零矩阵，那么样就能明显看出A的所有k（k

对于所有的

,这

）阶主子式之和为0

）阶主子式之和为0， ，那么可以得到

，这样就可以说明

（充分性） 已知A的一切k（k由引理1.10知，

A的特征根为0，再由引理1.9知A是幂零矩阵，故定理1.1在充分性和必要性方面都得到了充分的证明。

我们知道严格上（下）三角形矩阵的所有k 阶主子式的和为0，那么我们通过上面的定理1.1就可以说明：严格上(下)三角形矩阵是幂零矩阵。

推论 1.1对于数域 F上的A的一切k ( k =1,2,3)阶主子式之和为零的充分必要条件是阶数为三的矩阵 A是幂零矩阵。

推论 1.2 对于数域F上的A的一切k ( k =1,2)阶主子式之和为零的充分必要条件是阶数为二的矩阵 A是幂零矩阵 。

定理 1.2 对于数域 F 上 阶数为n的矩阵 A是幂零矩阵，充分必要条件是 A与严格上(下)三角形矩阵相似。

由引理 1.9 不难证明定理 1.2。证略。

通过上面的定理1.1与定理1.2我们就可以快速的判别一个矩阵是否为幂零矩阵，

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这样可以快速的去理解和挖掘题中的隐含意义，从而可以快速寻找解题方法。

1.2.2幂零矩阵的构建

（方法 1）应用定理 1.1 的必要条件，可以快速的解决阶数为二或三的幂零矩阵的构建。

?a11A?阶数为二的矩阵??a21a12??为幂零矩阵的充分必要条件是a22? 并且

满足 A =0，也就是说主对角线上的元素之和等于零，也必须满足它的两列(或行)的比是定值或

A?0。

a12a22a32a13??a23? 为幂零矩阵的充分必要条件是 a33???a11?阶数为三的矩阵A??a21?a?31

(1-7)

并且满足 A =0，也就是说 A的元素之和为零，也必须满足主对角线上的两元素乘积的和等于所在位置，关于主对角元素对称的两个元素乘积之和，并且满足A?0。

（方法 2） 利用定理 1.2的必要条件，可以快速的解决阶数为三或三以上的幂零矩阵的构建。

由定理 1.2 知，对于数域 F 上 阶数为n的矩阵 A是幂零矩阵，充分必要条件是 A与严格上(下)三角形矩阵相似，所以我们可以通过矩阵相似来构建新的幂零矩阵。

我们都知道所有可逆矩阵都是若干个初等矩阵相乘得到的，故可逆矩阵P 可以选择为各类初等矩阵或初等矩阵之积。

?10??0?1A?,B?例1.1 说明二阶矩阵????,为

?2?1??20??21?1???C??101?,也为幂零矩阵

?4?1?2???

解 由方法1可知二阶矩阵A 与B 满足

幂零矩阵，三阶矩阵

，

所以A与B为幂零矩阵，同样的道理，对于三阶矩阵C来说，用方法2比较简单，

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显然满足（1-7）故C为幂零矩阵

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第二章 幂零矩阵的性质

2.1 幂零矩阵的特性

幂零矩阵作为一种特殊的矩阵，其本身就具有一些特点和特性。本章主要说明近几年前人的研究成果，同时归纳总结18条有关幂零矩阵的性质，从性质2.1—2.4为幂零矩阵的自身特性，从这些性质可以看出幂零矩阵的许多优点，例如如果一个矩阵是幂零矩阵那么和它有关系的矩阵基本都是幂零矩阵，具体的介绍可以参看性质2.2。

性质 2.1.若

A为幂零矩阵那么A的行列式的值为零，即

A?0，而且所有的幂

零矩阵都是不可逆矩阵。

证明 设A是任一n阶幂零矩阵，?k?Z? 使得Ak?0，由行列式的性质得

A?Ak?0

k?A?0，A是退化的，A不可逆。

性质 2.2.如果A为幂零矩阵，那么A?,A*,?A,An(n?N),mA(m?Z?)都是幂零矩阵。 证明 由于A为幂零矩阵，?k?Z? Ak?0，通过引理1可以看出

(A?)k?(Ak)??0??0 (?A)k?(?1)kAk?(?1)k0?0

所以A?,?A为幂零矩阵。

由于A为幂零矩阵，故A?0，可知A*的秩r(A)=1，0而且只能为0或1。 当r(A*)?0时，A*?0是幂零矩阵；

当r(A*)?1时，有r(A)?n?1。通过上面的性质2.1知A的全部特征值为0，这样的话就一定存在一个可逆阵T，使得

?0??1?A?T???1??0???1?T?TJT， J???1???0??1??? ?1?0? （2-1）

通过A*B*?B*A*，可知A*?T*J*(T*)?1，很明显J*的特征值全为0，

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所以A*是幂零矩阵。又

(An)k?(Ak)n?0n?0

所以An(n?N)是幂零矩阵；因为

(mA)k?(m)kAk?(m)k?0?0

所以mA(m?Z?)也为幂零矩阵。

性质 2.3.与幂零矩阵相似的矩阵都是幂零矩阵。

证明 设A是幂零矩阵，存在k属于正整数，使Ak?0，令B是A的相似矩阵，则存在可逆阵T，使得B?T?1AT，有Bk?(T?1AT)k?T?1AkT?0．即B也是幂零矩阵。

性质 2.4.令A,B为n阶幂零矩阵，如果AB?BA，那么A?B和AB都为幂零矩阵。 证明 因为A,B为n阶幂零矩阵，设k1,k2分别为A，B的幂零指数,再令m?k1?k2。 由AB?BA，有

（2-2）

当k?k2时，m?k?k1，从而Am?k?0，得到当k?k2时，显然有Bk?0，得到

所以(A?B)m?0，即A+B是幂零矩阵。取m?max{k1,k2}，因为 AB?BA ，有

(AB)m?AmBm?0

即AB也是幂零矩阵。

性质 2.5.对于数域F上的一切满足幂零指数为n?1的n阶幂零矩阵互相相似。 证明 因为A是数域F上的任意一个n阶幂零矩阵，并且A的指数是n-1，那么一定有An?1?0。

n?1rd(?)??0?r?n?1当时，A?0,所以A的最小多项式是n。所以特征矩阵

f(?)??E?A的不变因子如下：

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d1(?)?dn?2(?)?1，dn?1(?)??，dn(?)??n?1．

通过A的任意性得知，一切满足指数为n?1的n阶幂零矩阵的特征矩阵的不变因子在理论上是一致的，对于数域F上的一切满足幂零指数为n?1的n阶幂零矩阵互相相似。

2.2 矩阵是幂零矩阵的若干个充要条件

性质 2.6.若A为幂零矩阵，那么其充要条件是A的特征值全部为零。

证明 （必要性） 由于A为幂零矩阵， 存在k?Z? 使Ak?0，设?为A的任意一个特征值，那么存在n维列向量X?0，可以的到AX??X．也就是

AkX?Ak?1(AX)?Ak?1(?X)??Ak?1X???kX

由Ak?0，所以?kX?0。又由X?0 知?k?0，得??0，即A的特征值为0。

（充分性） 由已知我们可以了解到A的全部特征值都为0，A的特征多项式

f(?)??E?A??n

通过引理1.3可得， f(A)?An?0 故A为幂零矩阵。

性质 2.7.A为幂零矩阵的充要条件是对于?k,k?z?，矩阵A的迹Tr(Ak)?0。 证明 必要性 由已知A是幂零矩阵可得，A的全部特征值为0。从而对于任何正整数k，Ak的全部特征值也为0，有

Tr(Ak)??1k??2k?充分性 设A的一组特征值为?1,?2,??nk?0

,?nk，

,?n，那么Ak的特征值为?1k,?2k,k?Z?，则

Tr(Ak)??1k??2k???nk

（2-3）

如果Ak有不为0的特征值，设?1k,?2k,c1,c2,,?sk为其中的相互不同的特征值，,cs

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为其相应的重数，那么Tr(Ak)?c1?1k?c2?2k?量c1,c2,?cs?sk?0，k?Z?；把上式看成关于变

,cs的奇次线性方程组，那么

B??1?2?12?22?1s?2s?s?s2?ss1??1?211?s?1?2?s?ss?1

?1s?1?2s?1??1?2?s?(?i??j)?0

1?j?i?s所以我们了解到ci?0，i?[1,s]与假设矛盾，那么A的全部特征值都为0，这样明显知道A为幂零矩阵。

2.3 幂零矩阵和若尔当块

性质 2.8.如果n?n幂零矩阵的幂零指数??n，那么幂零指数?与Jordan 矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数相等。

证明 设A为n?n幂零矩阵，通过引理1.5我们可以知道，一定存在一个可逆矩阵

T ，满足

?J1?T?1AT?????J2?????Js?

?0?1其中Ji?????1???的阶数为n(i?1,2,i??0?,s)．并且

,(Ji)ni?0 1?ni?n(i?1,2,s再取k?max(n1,n2,?J1?Ak?(T????,ns)，则k?n并且有

?J1k????T?1)k?T??????Js??J2k???T?1 ??Jsk??J2?T0T?1?0

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（2-4）

也就是Ak?0。

若设k0为A的幂零指数，则k0?k?n Ak0?0。 若k0?k，则?i0s.tni0?k0 且Ji0k0?0，由(3?1)式，得

J2?J1k0???k?1?T)0?T??????Js??J2k0???T?1?0 ??Jsk0???J1?k0A?(T????这与Ak0?0矛盾。 故 k0?k?n。

性质 2.9.如果A为幂零矩阵，那么A的若当尔标准形J的若当块为幂零若当尔块，并且满足J和主对角元全部为零。

证明 由已知我们知道A为幂零矩阵，通过性质2.6可以得到下面内容：矩阵A的全部特征值都为0。又通过引理1.5可知，在复数域上，存在一个可逆矩阵T，使

?J1?T?1AT???????i?1?其中Ji???????阶数为n(i?1,2,i???i?J2?????Js?

又由引理6可知，,s)，?i(i?1,2,,s)为

1J和的特征值，又因为A与J相似，通过引理2.2可知A与J有相同的特征值，

所以 ?i?0(i?1,2,,s)。

即满足J和主对角元全部为零．通过引理1.7可知

(Ji?0E)ni?(Ji)ni?0(i?1,2,,s)

J1,J2,,Js为幂零矩阵。

2.4 幂零矩阵的其他性质

性质 2.10.和对角形矩阵相似的幂零矩阵是零矩阵。

证明 设A是幂零矩阵，B是对角形矩阵，存在k为正整数， 使Ak?0，

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令A与B相似，再令

?b10?0b2B?????000??b1n?0?n? 得 B??0????bn???00b2n00??0? ?n?bn??那么存在可逆矩阵T，使的A?T?1BT，由性质3可知，Bn?0 故bin?0,i?1,2,n故 B?0可知A?0．通过性质6可推出 ：和对角形矩阵相似的幂零矩阵是零矩阵。

性质 2.11.令A为非零即A?0的幂零矩阵，并且k是A的幂零指数，那么明显

E,A,A2,,Ak?1线性为一组线性无关的向量组。

,Ak?1线性相关，那么存在一组不全为零的数

证明 （反证法） 假设E,A,A2,c0,c1,,ck?1， 使得

c0E?c1A??ck?1Ak?1?0，

两边同时右乘Ak?1，得c0Ak?1?0，而 Ak?1?0 得知c0?0；两边同时右乘Ak?2，得

c0Ak?2?c1Ak?1?0

而Ak?1?0，c0?0得知c1?0；依次下去可得，c0?c1?所以

?ck?1?0，与假设矛盾。

E,A,A2,,Ak?1线性无关。

性质 2.12.如果A?E是幂零矩阵，那么A非退化即A?0。 证明 设?1,?2,,?n为A的特征值.如果A退化，那么有A?0.由引理4得,

A??1?2?n?0

（2-5）

至少存在λi0=0为A的特征值,又由引理4可得, ?i0?1?1?0为A?E的一个特征值。

这与A?E为幂零矩阵矛盾。 也就是说A为非退化。

性质 2.13.如果A为幂零矩阵并且A?0，那么矩阵A不可对角化。 证明 由A为幂零矩阵，存在k?Z?使Ak?0并且A的特征值全为0，即

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f(?)??E?A??n

为A的特征多项式并且f(A)?An?0。设mA(?)为A的最小多项式，则有

mA(?)|f(?), 从而有mA(?)??k0mA(?)??k0(1?k0?n)。由于A?0，所以k0?1又此时

k0?2。可知A的最小多项式mA(?)有重根，故A不可对角化。

由于B为n阶方阵，通过引理5可知，在复数域上，存在一个可逆矩阵T，使得

?J1?T?1BT???????i?1其中Ji????????，阶数为n(i?1,2,i???i?J2?????Js?

1??i?,s).设Di??????i???，阶数???i?为ni(i?1,2,?0?1??,s).那么有Ji?Ji?Di????1???阶数为n(i?1,2,i??0? 通过引理,s)。

7可知,

(Ji??0?Eni)ni?(Ji?)ni?0

显然Ji?为幂零矩阵(i?1,2,,s)。再令

?J??1??J???????J1?T?1BT?????显然

J2???????Js????D1? ，D?????D2?????Ds?

J2???J1??D1????????Js????J2??D2?????J??D??Js??Ds??

B?T(J??D)T?1?TJ?T?1?TDT?1

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（2-6）

又因为D为对角矩阵，由(3?2式)可知

B?TJ?T?1?TDT?1能对角化。令N??TJ?T?1 取

k?max(n1,n2,则有

,ns)，

?J?k?1?k?J??????J2?k?????0??Js?k??

?J?k?1?k?1kkk?1kN?(?TJ?T)?(?)T(J?)T?(?)T?????即有B?N可对角化且n为幂零矩阵。 性质 2.14.若A为幂零矩阵且Ak?0，则有

J2?k????1k?1?T?(?)T0T?0??Js?k??

(E?A)?1?E?A?A2?(E?A)?1?E?A??Ak?1

?(?1)k?1Ak?1

(mE?A)?1?1112E?A?A?23mmm?(?1)k?11k?1A(m?0) km?Ak?1)即

证明 因为Ak?0，所以E?E?Ak?Ek?Ak ?(E?A)(E?A?A2?(E?A)?1?E?A?A2?又

E?E?Ak?Ek?Ak?(E?A)(E?A??Ak?1

?(?1)k?1Ak?1)

即

(E?A)?1?E?A?对任意m?0，有

?(?1)k?1Ak?1

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AmE?mE?Ak?mEk?Ak?m[Ek?()k]

mA111?m(E?)(E?1A?2A2??(?1)k?1k?1Ak?1)

mmmm111?(mE?A)(E?1A?2A2??(?1)k?1k?1Ak?1)

mmm即有

1111(E?1A?2A2??(?1)k?1k?1Ak?1)?E mmmm1111(mE?A)?1?(E?1A?2A2??(?1)k?1k?1Ak?1)

mmmmE111?(?1)k?1kAk?1k?1。 ??2A?3A2?mmmm(mE?A)?性质 2.15.如果A为幂零矩阵，那么A一定不可逆但是存在A?E?1,E?A?1。 证明 因为A为幂零矩阵，所以存在k?Z?使得Ak?0，从而

Ak?A?0，A?0

A一定不可逆。由性质6知，A的特征值为?1??2?k??n?0。由引理1.4知，

??n???1?0?1，且

A?E,E?A的特征值分别为?1???2????n??0?1?1,?1????2???有

A?E??1??2??n??1n?1

E?A??1???2???n???1n?1

即A?E?1,E?A?1。 性质 2.16.如果A则A的秩的取值范围：

k-1r(A)

(k-1)[]+

。

n?n其中,令

证明 由上述定理知，只需考虑J(k,0)中的矩阵的秩就可以。

nn?n},那么m的取值范围为1?m?[],可以看成Jm设Jn?{J?J(k,0)J含有m块J（0，k）k中一个r(A)最大的jordan型矩阵的Mm,那么Mm可以确定一个k-有序拆分

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其中m为J(0,k)的个数，m?为J(0,k-1)的个数，并且r?满足以下情况

（n-mk）?r?(mod(k-1))

实际上，设Mm决定n的一个k-有序拆分

由于Mm是 Jm中秩最大的矩阵，故mk?0或1 对于任意L?{1,2k?2}，在上述Mm确定的一个k-有序拆分中对应J(0,l)的个数

k?2}(不妨设i>j)使对应J(0,i),J(0,i)的个数

为mk?1?l于是若存在i,j?{1,2mk?1?j,mk?1?j均不为0，则

（1） 当i+j?k?1,时，设Mm?Jm,构造Mn确定n的一个k-有序拆分

即在原Mm确定n的一个k-有序拆分中，

将对应J（0，i），J（0，i）的个数均减少1，而i?j的个数增加1， 显然r(Mm)?r(Mm)?1

(2),当i+j>k?1时，记l?i?j?(k?1),则有i?j?l?(k?1),此时有序拆分为

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n综上所述，若 1?m?[]则r(Mm)?r(Mm?1)于是Mn的秩的最大取值，而Mn确定

[][]kkk的k?有序拆分

n所以r(Mn)?(k??1)?[]??(r)?r(A)的最大值，易知存在Jm中的一个矩阵的有序拆

kk分

所以r(A)的最小值k-1。故A的秩的取值范围为：

nk-1?r(A)?(k-1)?[]+?(r)

k特别地，当 k?2,3时，有: 推论2.1 若

其中

则A的秩的取值范围：1

。

证明 通过性质16可知，k=2时，A的秩的取值范围1。

于是当r=0或1时，推论2.2 若

2

,故r(A)的气质范围1，其中

。

则A的秩的取值范围：

。

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证明 通过性质16可知，k=3时，A的秩的取值范围2。

于是当r=0或1时，,当r=2，,故r(A)的取值范围

2。

2.5幂零矩阵的一些重要结论

性质2.17 若 A 是幂零指数为m的幂零阵，则I-A 及 I+A 均可逆，且

-1（I-A）=I-A?A2?（1）

?Am?1，

2m?1?I-A?A??A,m为奇数-1（I+A）=?（2）?I-A?A2--Am?1，m为偶数

?证明 （1）由已知可知

（I-A）(I+A+A2+=I+A+A2+?I(I+A+A2+?I+A+A2+?I（2）当m为奇数

+Am?1)?Am+Am?1?A?A2?+Am?1)(I-A)+Am?1?A?A2?

?Am-1故（I-A）=I-A?A2??Am?1（I+A）(I-A+A2-+Am?1)=I-A+A2-+Am?1+A?A2+=I(I-A+A2-+Am?1)(I+A)?I-A+A2-+Am?1?A?A2??I当m为偶数

+Am

?Am

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（I+A）(I-A+A2--Am?1)=I-A+A2--Am?1+A?A2+-Am=I(I-A+A2--Am?1)(I+A)?I-A+A2--Am?1?A?A2??I综上

2m?1?I-A?A??A,m为奇数-1（I+A）=??I-A?A2--Am?1，m为偶数

?

-Am性质2.18 设 A?Tn(F),,则A?B?C+D，其中B 为n阶 严格上三角矩阵，D为n阶严格下三角矩阵，C 为n阶对角矩阵。

证明 根据矩阵的加法上述结论显然成立

?1?1000???01?100??例2.1 设A??001?10?,求A-1

??0001?1???00001????1??0解 (法一)由于A??0??0?0?0000??0-1000????1000??00-100?0100?+?000-10?=I+B

???0010??0000-1???0001???00000?且B为严格上三角矩阵，所以B为幂零矩阵，且B?0

?1??0A?1?I?B?B2?B3?B4??0??0?0??00100??000???00010???000??00001???000???00000???000?00000??000???0000??0??1000??00100???0??0010??0?0001???0?10??00??0?1??0000???00??00??00?00???00

?11000000000???100?0?10??00?1?000??01??11??00??0100???00??00??00?00???0000111??111?111??011?001??齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

（法二）

?1??0A=?0??0?0?0000??0??1000??00100?-?0??0010??0?0001???01000??0100?0010?=I-B

?0001?0000??则 B为严格上三角阵,且B5?0 为幂零矩阵,由命题1 知I?B可逆，即 A 可逆且

A?1?I?B?B2?B3?B4

?1??0??0??0?0??0??0??0??0?0?0000??0??1000??00100???0??0010??0?0001???00001??1??0000??00000???0??0000??0?0000???01000??0??0100??00010???0??0001??0?0000???01111??1111?0111??0011?0001??0100??0??0010??00001???0??0000??0?0000???00010??0001?0000??0000?0000??

第三章 幂零矩阵的应用

3.1幂零矩阵在矩阵求逆计算过程中的应用

在本章节中主要说明幂零矩阵在求逆过程中的优越性，我们知道通过前面几章的认识发现了幂零矩阵的优点，故在实际应用中如果可以通过变换从而利用幂零矩阵将会大大减少运算过程，使运算更简单明了。

3.1.1幂零矩阵与单位矩阵具有和关系的矩阵的逆的应用

?46-15???例3.1.设A=?13-5?，求A?1。

?12-4???解

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?46?15??36?15??100???????A??13?5???12?5???010??B?E

?12?4??12?5??001????????36?15???其中B??12?5? 且有

?12?5????36?15??36?15?????B2?BB??12?5??12?5??0

?12?5??12?5?????由性质2.14知，

A?1?(B?E)?1?E?B

?100??36?15???2?615?????????010???12?5????1?15? ?001??12?5???1?26????????1?0?例 3.2 设A??0??0解

1200213012001??2?，求 A?1。 1??4?21301??1??2??0??1?0??4??001000010

?1?0A???0??0?0?0其中B???0??0110021200??0??0??0??0?0??1??0110021201??2??E?B?1?3?

1??2?，且B3?0.由性质2.14知， 1??3?

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1?1??2??01?2?1?12A?(E?B)?E?B?B???00???00??121?61301?8??5??24? ?1??12?1??4?3.1.2主对角元完全相同的三角矩阵的逆的应用

?f??0A?例3.3 设?1??10f0000f00??0?A?1。 ，求(f?0)0??f?解 令A?fE?B，其中

?0?0?B??1??1000000000??0?0? ?0??0?02?B??1??1000000000??0??0??00??1??0??1000000000??0??0 0??0?由性质2.14得

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??100?f?1A?1?(fE?B)?111?0f0 ?fE?f2B?????101?f2f????1f200??x0000?x000?设A??y例 3.4 ????，求A?1。 ?00yx0????000yx??解

??x0000?0000??00?yx000??11000?A?????0??0???x???y?1?00yx0??00010????????00?000yx????00001????00

?xE?yByn?x(E?xBn)

其中

??00000??10000?B?n???? ?00100????00010??有Bnn?0，由性质2.14得

A?1?1(E?yB1EB2n?1nBnBnxxn)??x?nx2?x3??(?1)xn

0???0???0? ?1??f??000010010?0???0??0??

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1??x?y??2?x???y2?x3??n?1?n?1y?(?1)xn?01xy?2x(?1)n?2001x(?1)n?3yn?2xn?1yn?3xn?2?0??0???0????1??x?

（3-1）

本小节通过对题型的分类使大家更能体会到幂零矩阵的优越性，同时实用性更加清晰，减少了吴用或错用的机率，大大提高解题速度。

3.2 幂零矩阵在其他方面的应用

例 3.5 若An?Bn?0，但An?1?0，Bn?1?0(n?1)，证明A与B相似。 证明 设V是数域F上的n维线性空间，?1,?2,使?在?1,?2,,?n是V的一组基，有线性变换?，

,?n下的矩阵为A.由An?0， An?1?0，知?n?T0，?n?1?T0，有a?V，

,?n?1(a)线性无关，可作为V的一组基。

使?n(a)?0，但?n?1(a)?0，可得到a,?(a),易知，?在?,a,?(a),,?n?1(a)下的矩阵是

?0??1C??0???0?001000??00?00?

??10??所以A与C相似。同理可证，B与C相似。可得A与B相似。

例 3.6 令A,B都为n阶方阵，其中B是幂零矩阵，并且AB?BA，那么有

A?B?A。

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证明 因为B是幂零矩阵可知，B的特征值为零.在复数域上，存在一个可逆矩阵

T，使

??1??2?1?TAT???????0??0?T?1BT???，????n??????? ?0???1?????2?TT?1(A?B)T?T?1AT?T?1BT?T?1??? ???n??又因为T可逆知，T?0

?1A?B?T?1?2?T???i

i?1n?n??1??2?1?由TAT????????知λ,?,12???n?,?n为A的特征值，有A=λ1λ2???n，故

A?B???i?A

i?1n例3.7 令A,B,C为n阶方阵，其中矩阵B为可对角化，C为幂零矩阵，并且

BC?CB，求证A?B?C。

证明 由性质2.9知, 存在幂零矩阵n，使得A+N可对角化， 即存在可逆T，使得

??1??2?1?T(A?N)T????????D ???n?

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即有A=TDT-1+(-N)。由性质2知, -N是幂零矩阵。 又TDT-1与D相似知，TDT-1可对角化。

令B=TDT-1，C=-N，则有A?B?C 。

例 3.8.设A，B，C为n阶方阵，且AC=CA,BC=CB,C=AB-BA，证明：存在正整数k?n，使得Ck?0。

证明 由 于AC=CABC=CBC=AB-BA，?m?Z?

Cm?Cm?1(AB?BA)?A(Cm?1B)?(Cm?1B)A

m-1m-1tr(A(CB))=tr((BC)A)

tr(Cm)?tr(A(Cm?1B)?(BCm?1)A))?tr(A(Cm?1B))?tr((BCm?1)A)?0

由C为幂零矩阵知，Ck?0，k?n且k?Z?。 例3.9 求4阶方阵

?1713?10????560?2? A????29?28?2?18???141204??的秩 解 因为

，

.所以A是3密令矩阵，且4=

，故r=1,k=3,

,

带入性质16的结论，k-1从而r(A)=2.

r(A)(k-1)[]+

。的2

?ab?例3.10 设A???，其中a,b,c都属于实数，求证，对于a,b,c一切可能的

0c??值都有

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?10?A100???

?01?

?ab??0b??a0?证明 令A??，其中?M?NM?,N??????。

0c000c???????0b??0b?那么N2??????0，也就是说矩阵N是2次幂零矩阵，所以

?00??00??anN?0(n?2),M???0nn0?， n?c??0bf(a,c)??10?所以有A100?(M?N)100?M100??????， 100c?0??01?其中f(a,c)表示的是a,c的多项式。

由a100?1c100?1知a??1,c??1故从上面的式子可以得出b?0或f(a,c)?0 另一方面易知有如下事实

?1b??1b??10???1b???1b??10??0?1??0?1???01?，?01??01???01?. ????????????所以对于一切a,b,c 可能的值为1，0，1；-1，0，-1；1，b,-1；-1,b,1, 这时b为任意实数，那么矩阵A有如下几种情况：

?10???10??1b???1b??01?,?0?1?,?0?1?,?01?. ????????

以上通过10个例题系统的总结了幂零矩阵的应用，同时几乎涵盖了幂零矩阵在应用分方面的实际情况以及具体操作方法，使得做为数学研究工具性体现的更加明确，当然本章节主要针对的是对于高等数学的学习与研究，任有一部分内容没有体现，例如对

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于一般的k次幂零矩阵的研究，这样就需要大家一起探讨研究，为了把幂零矩阵的性质发挥的更好而努力。

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结论：

本文的研究范围是基于在矩阵理论基础之上的，在本文第一章节中，我们首先介绍了有关幂零矩阵的一些基本知识，包括幂零矩阵的过去与现在研究现状以及为了使本文更具有理解性而加入的一下文献的主要内容，这样使大家对幂零矩阵有一个大概的了解。在本文第二章节中，引出了与下文有关的一些基础知识以及一些证明思路，重点包括幂零矩阵的定义以及一些与幂零矩阵有关的引理和定义，其中有一些性质和定理，我们将其命名为引理，方便下文引用以及阅读时查看。在本文第三章节中，重点说明幂零矩阵的一些性质并列举和证明，比如作为一类特殊的矩阵的幂零矩阵，自身具有的一些特殊性质；通过矩阵是幂零矩阵的充要条件说明了的矩阵是幂零矩阵的性质和判定，为矩阵是否为幂零矩阵提供一个可参考的方法，进而如何判断一个矩阵是幂零矩阵；与此同时，本文还特别介绍了幂零矩阵和Jordan标准型的关系，把若当块的理论应用在幂零矩阵中；得道一个结论：“一个幂零矩阵就是一个幂零线性变换”，同时还说明一些其他性质。当对幂零矩阵的性质理论总结归纳之后，我们有必要介绍一下这些理论的在实际问题中的应用，例如在特殊矩阵的求逆中应用、判断矩阵是否为幂零矩阵、对于某些特例加以说明等，这些应用都体现了幂零矩阵在一些应用领域方面的优越性以及可操作性。

总的来看，本文所介绍的幂零矩阵的性质以及在应用方面的范围是非常有限的，幂零矩阵任然有很多性质和应用等待我们去探索与发现。

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C S.Products of idempotent matrices[M].Linear Algebra

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

jump tisk ang endogenous defaulta[J].Mathematical Finance ,2009,19:343-378

致谢

在本论文完成过程中，首先要非常感谢我的论文指导老师马腾宇老师，马腾宇老师对该论文从选题，构思到最后定稿的各个环节都给予了细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计。同时，在我不会的问题方面给予了很多帮助，并且反复为我修改。在学习中,老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模，导师的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着我。这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助。在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！

最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师和专家表示感谢！

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