Matlab符号计算（含作业）

第 2 章 符号计算

符号计算：

解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。

符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，所得结果完全准确。

特点：

一．相对于MATLAB的数值计算“引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引

擎”和“函数库”是独立的。 二．在相当一些场合，符号计算解算问题的命令和过程，显得比数值计算更自然、

更简明。

三．大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯

符号计算的解题理念和模式。

2.1 符号对象和符号表达式

MATLAB依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量）、运算符及

一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。

2.1.1 基本符号对象和运算算符 1. 生成符号对象的基本规则

? 任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式、函数）都必须借助

专门的符号命令sym、syms、symfun定义。

? 任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。

1

2. 精准符号数字和符号常数

符号（类）数字的定义： sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号数字（推荐格式!） sc=sym(Num) 采用精准数值类数创建精准的符号常数sc（推荐格式!）

说明：若输入量Num是精准的浮点数（如0.321、10/3等），能生成精准的符号数字； 若输入量Num是诸如sin(0.3)的数值表达式，那么就只能生成由数字表达式获得的16位精度的近似符号数字。

sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号数字 sc=sym('Num') 采用有理分数字符串创建精准的符号常数sc

说明： Num必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于字符串参见附录A）；

只有当字符串数字'Num'采用诸如321/1000、10/3等整数构成的有理分数形式表达时，sym('Num') 才能生成精准的符号数字；

若字符串数字用诸如0.321、3.21e-1等“普通小数或科学记述数”表达，那么只能产生“近似符号数字”。在默认情况下，该近似符号数字为32位精度。

【例2.1-1】

（1）创建完全精准的符号数字或数字表达式

clear all

R1=sin(sym(0.3)) % 输入量为普通小数 R2=sin(sym(3e-1)) % 输入量为科学记述数 R3=sin(sym(3/10)) % 输入量为有理分数

R4=sin(sym('3/10')) % 输入量为“整数构成的有理分数”字符串数字 disp(['R1属于什么类别？ 答：',class(R1)])

disp(['R1与R4是否相等？（是为1，否为0） 答：',int2str(logical(R1==R4))]) R1 =

sin(3/10) R2 =

sin(3/10) R3 =

sin(3/10) R4 =

sin(3/10)

R1属于什么类别？ 答：sym

R1与R4是否相等？（是为1，否为0） 答：1

（2）产生具有32位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）

S1=sin(sym('0.3')) % sym的输入量是字符串小数，生成32位精度下的 % 近似符号数，进而在sin作用下给出近似符号数。 S2=sin(sym('3e-1')) % syms的输入量是字符串科学记述数。 eRS=vpa(abs(R1-S1),64);

disp(['S1属于什么类别？ 答：',class(S1)])

disp(['S1与R1是否相同？ 答: ',int2str(logical(R1==S1))]) disp('S1与R1的误差为') disp(double(eRS)) S1 =

0.29552020666133957510532074568503

2

S2 =

0.29552020666133957510532074568503 S1属于什么类别？ 答：sym S1与R1是否相同？ 答: 0 S1与R1的误差为 6.3494e-41

（3）产生具有16位精度的“近似”符号数字（杜绝使用！）

F1=sym(sin(3/10)) % sym的输入量为双精度表达式sin(3/10)， % 就只能创建出仅16位精度的近似符号数。 F2=sym(sin(0.3)) % 同上 eFS=vpa(abs(F1-S1),32);

disp(['F1属于什么类别？ 答：',class(F1)])

disp(['S1与F1是否相同？ 答: ',int2str(logical(F1==S1))]) disp('F1与S1的误差为') disp(double(eFS)) F1 =

5323618770401843/18014398509481984 F2 =

5323618770401843/18014398509481984 F1属于什么类别？ 答：sym S1与F1是否相同？ 答: 0 F1与S1的误差为 2.8922e-17

3. 基本符号变量

经典教科书里，表达式e-axsinbx中的a,b称为参数，x为变量。在MATLAB的符号计算中，a、b、x统称为基本符号变量，其中，x总被默认为“待解（自由）符号变量”，其他被作为“符号参数”处理。 定义基本符号变量的命令格式：

para=sym(' para') 定义单个复数域符号变量para

para=sym(' para', 'Flag') 定义单个Flag指定域符号变量para

syms para 定义单个复数域符号变量para的另一种方式

syms para Flag 定义单个Flag指定域符号变量para的另一种方式

syms para1 para2 paraN 定义多个复数域符号变量para1 para2 paraN syms para1 para2 paraN Flag 定义多个Flag指定域符号变量para1 para2 paraN

? 符号参数名不要用处于“字母表中小写字母x及其两侧的英文字母”开头。 ? Flag表示数域的限定性假设，可具体取以下词条：

positive 正实数域； real 实数域。 ? 默认值是复数域符号变量

? sym命令只能对单变量作用，syms不能用于对数值、常数相关的定义。

3

4. 符号计算中的各种算符

? 与数值计算中的算符在形状、名称和使用方法上相同。

2.1.2 符号计算中的函数命令

表2.1-2 MATLAB中可调用的符号计算函数指令 类别 情 况 描 述 与数值计算对应关系 三角函数、双曲函数及反函数；除atan2外 相同 指数、对数函数（如exp, expm） 相同 复数函数（如abs, angle） 相同 矩阵分解函数（如eig, svd） 相同 方程求解函数solve 不相同 不完全相同 符号工具微积分函数（如diff, int） 包函数 积分变换和反变换函数（如laplace, ilaplace） 只有离散Fourier变换 绘图函数（如ezplot, ezsurf） 数值绘图命令更丰富 特单位脉冲和阶跃函数（如dirac, heaviside） 殊?函数（如beta, gamma） 不完全对应 函椭圆积分（如ellipke） 数 贝塞尔函数（如besseli, besselj） 借助evalin和feval指令可调用比mfunlist所列范MuPAD围更广泛的MuPAD库函数；需要具备MuPAD无对应函数 库函数 语言知识。 〖说明〗

2.1.3 符号表达式和符号函数 1. 符号表达式和符号函数

（1） 为表达某种数学算式、实现某种计算目的，采用基本符号对象（数字、常数、变量）、运算符、MATLAB函数命令等基本要素编写而成的M码。

（2）为表达变量间抽象（或具体）约束关系而编写的M码。在符号函数中，构成函数关系的变量名必须明确指定。即，在定义符号函数时，不仅要指定函数名，而且要指定变量名。比如syms f（x,y）就定义了一个以x、y为变量的抽象符号函数f。

2 自由符号变量

解题通常是围绕自由符号变量进行。

确定自由符号变量的规则：

? 在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。 ? x是首选自由符号变量，其后的次序规则是：与x的ASCII码值之差

的绝对值小的字母优先；差绝对值相同时，ASCII码值大的字母优先。 ? 自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等，大写后排。

自动识别表达式中自由、独立的符号变量的命令：

symvar(expression) 列出表达式中的所有基本符号变量 symvar(expression, n) 列出表达式中n个认定的自由变量

4

【例2.1-2】

1）各种符号对象的创建

clear

syms a b c x y u v % 定义基本符号对象 syms F(X,Y,Z) % 定义“抽象”符号函数 k=sym(3) % 定义符号常数 G=sym('p*sqrt(q)+r*sin(t)') % 创建符号表达式

EXPR=a*G*u+(b*x^2+k)*v % 创建“衍生”符号表达式 f(x,y)=a*x^2+b*y^2-c % 创建“具体”符号函数 disp(F) % 显示抽象符号函数 k = 3 G =

p*q^(1/2) + r*sin(t) EXPR =

v*(b*x^2 + 3) + a*u*(p*q^(1/2) + r*sin(t)) f(x, y) =

a*x^2 + b*y^2 - c F(X, Y, Z)

symbolic function inputs: X, Y, Z

2）symvar对EXPR符号表达式的作用

symvar(EXPR) % % ans =

[ a, b, p, q, r, t, u, v, x]

symvar(EXPR,20) % ans =

[ x, v, u, t, r, q, p, b, a]

symvar(EXPR,1) % ans = x

3）symvar对符号函数的作用

disp(symvar(f)) % [ a, b, c, x, y]

disp(symvar(f,2)) % [ x, y]

【例2.1-3】用符号法求方程uw2?zw?v的解。 1）产生符号表达式和符号函数

clear

syms u v w z Eq=u*w^2+z*w-v g(z)=u*w^2+z*w==v Eq =

u*w^2 + z*w - v g(z) =

u*w^2 + z*w == v

%

% 表达式 % 函数

2）symvar认定的自由变量

symvar(Eq,1) ans =

%

<5>

5

w

symvar(g(z),1) % ans = w

<6>

3）solve对默认自由变量解方程

R1=solve(Eq) % 关于w解方程u*w^2+z*w-v=0 <7> R2=solve(g) % 关于w解g（z）所表达的方程 <8> R1 =

-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u) -(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u) R2 =

-(z + (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u) -(z - (z^2 + 4*u*v)^(1/2))/(2*u)

4）对变量z求解

S1=solve(Eq,z) S2=solve(g(z),z) S1 =

(- u*w^2 + v)/w S2 =

(- u*w^2 + v)/w

% <9> % <10>

5）检验求解结果的正确性

disp(simplify(subs(Eq,z,S1))) % S1代替z，观察Eq是否为0 0

disp(simplify(g(S2))) % S2代替z，观察g(S2)方程式是否成立 TRUE

〖说明〗不要把g(z)理解为以z为自由变量的符号函数。

【例2.1-4】symvar确定自由变量是对整个矩阵进行的。

syms a b t u v x y

A=[a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+v] symvar(A,1) A =

[ a + b*x, u + sin(t)] [ x*exp(-t), v + log(y)] ans = x

% %

2.1.4 符号对象的识别

为了函数命令与数据对象的适配，MATLAB提供了用于识别数据对象属性的命令： class(var) 给出变量var的数据类别（如double，sym等） isa(var, 'Obj') 若变量var是Obj代表的类型，给出1，表示“真” whos 给出所有MATLAB内存变量的属性

6

【例2.1-5】数据对象及其识别命令的使用。 （1）

clear

a=1;b=2;c=3;d=4; Mn=[a,b;c,d] Mc='[a,b;c,d]' Ms=sym(Mc)

% 产生4个数值变量

% 利用已赋值变量构成数值矩阵

% 字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关 % Ms是一个符号矩阵，它与前面各变量无关

Mn =

1 2 3 4 Mc =

[a,b;c,d] Ms = [ a, b] [ c, d]

（2）

SizeMn=size(Mn) SizeMc=size(Mc) SizeMs=size(Ms) SizeMn =

2 2 SizeMc =

1 9 SizeMs =

2 2

（3）

CMn=class(Mn) CMc=class(Mc) CMs=class(Ms) CMn = double CMc = char CMs = sym

（4）

isa(Mn,'double') isa(Mc,'char') isa(Ms,'sym') ans = 1 ans = 1 ans = 1

（5）

whos Mn Mc Ms Name Size Bytes Class Attributes

Mc 1x9 18 char Mn 2x2 32 double Ms 2x2 60 sym

7

2.1.5 符号运算机理和变量假设

1. 符号运算的工作机理

符号计算是由MuPAD引擎在其专有的内存工作空间中执行，而只是把计算结果送回到MATLAB的内存空间。

每当借助sym或syms命令定义一个带限定性假设的符号变量时，就发生以下过程： ? 启动MuPAD引擎，并开启一个专供MuPAD使用的内存空间 ? 被定义变量保存至Matlab内存空间

? 对变量的限定性假设被保存在MuPAD内存空间中，并对此后的MuPAD的工作方式进

行约束。

2. 对符号变量的限定性假设

assume（assumption） 清空后由assumption定义的新假设

assume（expr,set） 清空后进行“符号表达式expr属于集合set”的新假设设置

assumeAlso(assumption) 继续追加由assumption定义的新假设

assumeAlso(expr,set) 继续追加由“符号表达式expr属于集合set”的新假设

a=sym('a',res) 创建带res限定性假设的符号变量a syms a res 同上

说明：

? ? ? ?

在不对符号变量进行专门设置的情况下，MuPAD符号计算总把变量默认为“复数变量”。 assumption是那些可以用符号表达式、符号方程、符号关系、符号逻辑描述的假设。

set可取字符串'integer'、'rational'、'real'中的任何一个，分别表示整数集、有理数集、实数集。 res只能取字符串'positive'或'real'中的任何一个，表示创建变量是实数或正数。

3. 清除变量和撤销假设

由于符号变量和其假设存放在不同的内存空间，因此删除符号变量和撤销关于变量的假设是两件需要分别处理的事。具体执行命令如下：

clear x % 清除MATLAB内存中的x变量

syms x clear % 撤销MuPAD内存中对变量x的任何假设，而恢复为“复数”变量 syms（'x','clear'） % 功能同上

assumptions(x) % 显示符号变量x的限定性假设

assumptions % 显示MuPUD内存中已带限定性假设的全部符号变量

reset(symengine) % 重启MuPUD引擎，清空MuPUD内存中所有内容

【例2.1-6】符号变量的默认数域是复数域。 1）在默认的复数域求根

clear all syms x f=x^3+475*x/100+5/2; r=solve(f,x) r =

-1/2 (79^(1/2)*i)/4 + 1/4 1/4 - (79^(1/2)*i)/4

assumptions(x) ans =

Empty sym: 1-by-0

% 清空MATLAB内存，清除MuPAD中的所有假设 % %

% 求使f=0的全部根

% 获悉MuPAD内存中关于x的假设

8

2）求实数根

assume(x,'real') r21=solve(f,x) r21 = -1/2

% 限定x为实数的方法一 %

syms x clear assume(imag(x)==0) r22=solve(f,x) r22 = -1/2

%

% 限定x为实数的方法二

disp(assumptions(x)) imag(x) == 0

%

3）第一、四象限根

sym(x,'clear') assume(real(x)>0) r3=solve(f,x) ans = x r3 =

(79^(1/2)*i)/4 + 1/4 1/4 - (79^(1/2)*i)/4

% %

disp(assumptions(x)) 0 < real(x)

%

4）第一象限根

assumeAlso(imag(x)>0) r4=solve(f,x) r4 =

(79^(1/2)*i)/4 + 1/4

%

disp(assumptions(x))

[ 0 < imag(x), 0 < real(x)]

2.2 符号数字及表达式的操作

2.2.1 符号数字转换成双精度数字

Nd=double(Num_sym) 把符号数字Num_sym转换为双精度数字Nd 说明：

? 一般情况下，Nd是符号数字Num_sym双精度近似。

? 2.1.1-2节中，已经介绍了sym(Num)能把数字类数字转换成符号数字 ? 注意：命令double('Num')是把字符串数字'Num'转换为各数字字符的

ASCII码值数组。

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2.2.2 符号数字的任意精度表达形式

为了兼顾计算精度和速度，或使某些无法用“封闭解析式”表达的计算结果以简洁的“任意精度符号数”表达。MATLAB提供了控制符号数字或表达式数字精度的命令： digits 显示当前环境下十进制符号数字的有效位数 digits(n) 把十进制符号数字有效位数设定为n

xs=vpa(x) 据表达式x得到digits指定精度下的符号数字xs xs=vpa(x,n) 据表达式x得到n位有效数字的符号数字xs 说明：

· MATLAB对digits命令的默认精度设置是32位。 · vpa(x,n)只在运行的当时起作用。

【例2.2-1】digits, vpa命令的使用。

（1）重新启动符号计算引擎，产生准确符号数字

reset(symengine) % 重新启动符号计算引擎

sa=sym('1/3+sqrt(2)') % 定义准确符号数字表达式 sa =

2^(1/2) + 1/3

（2）变精度算法的计算结果，有效位数的含义

digits % 观察当前有效位数

Digits = 32

format long a=1/3+sqrt(2) % 定义双精度数

sa_Plus_a=vpa(sa+a,20) % 给出20位有效数字结果 sa_Minus_a=vpa(sa-a,20) % a =

1.747546895706428 sa_Plus_a =

3.4950937914128567869 sa_Minus_a =

-0.000000000000000022658064826339973669

（3）digits设置和vpa指定对“数位”的不同影响

sa32=vpa(sa) % 采用默认设置的32位有效数字 digits(48) % 设置48位有效数字 sa5=vpa(sa,5) % 仅影响sa5数位，对其后无影响。 sa48=vpa(sa) % 仍为48位有效数字 sa32 =

1.747546895706428382135022057543 sa5 = 1.7475 sa48 =

1.74754689570642838213502205754303141190300520871

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2.2.3 符号表达式的基本操作

collect（合并同类项）

factor（进行因式或因子分解） numden（提取公因式）等 最常用：

simplify(EXPR) 对EXPR（符号表达式或矩阵）运用多种方法进行一轮简化

simplify(EXPR,'Steps',value,'IgnoreAnalyticConstraints',true) 多轮纯粹表达形式简化

【例2.2-2】简化f?31612???8。 32xxxsyms x

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3) g1=simplify(f) f =

(12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8)^(1/3) g1 =

((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

g2=simplify(f,'Steps',10,'IgnoreAnalyticConstraints', true) % g2 =

1/x + 2

2.2.4 表达式中的置换操作

1. 公因子法简化表达

RS=subexpr(S) 从S中自动提取公因子sigma，并把采用sigma重写的S赋给RS RS=subexpr(S,'w') 从S中自动提取公因子，记为w，并把采用w重写的S赋给RS [RS,w]=subexpr(S,'w') 该调用格式的效果与RS=subexpr(S, 'w')相同 说明：S：符号表达式、符号表达式矩阵 【例2.2-3】对符号矩阵?（１）

clear % 清空所有内存变量

A=sym('[a b;c d]') % 经字符串直接定义符号矩阵

[V,D]=eig(A) % 符号矩阵的特征值、特征向量分解 A =

[ a, b] [ c, d] V =

[(a/2+d/2-a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c, (a/2+d/2+(a^2-2*a*d+ d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c] [ 1, 1] D = [a/2 + d/2 - (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2]

?ab?进行特征向量分解。 ??cd?

（2）

subexpr([V;D]) % 自动提取公因式 who % 列出工作内存中的变量 sigma =

11

(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2) ans =

[ (a/2 + d/2 - sigma/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + sigma/2)/c - d/c] [ 1, 1] [ a/2 + d/2 - sigma/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + sigma/2]

Your variables are:

A D V ans sigma

（3）

Dw=subexpr(D,'w') % 把自动提取的公因式记为w,Dw是用w重记D后的表达 w =

(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2) Dw =

[ a/2 + d/2 - w/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + w/2]

（4）

[RVD,w]=subexpr([V;D],'w') % <7> % 给出合成矩阵[V;D]的公因式表达方式 RVD =

[ (a/2 + d/2 - w/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + w/2)/c - d/c] [ 1, 1] [ a/2 + d/2 - w/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + w/2] w =

(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)

2. 通用置换命令

RES=subs(ES,old,new) 用new置换ES中的old后产生符号结果RES

RES=subs(ES,new) 用new置换ES中的自由变量后产生符号结果RES

【例2.2-4】用简单算例演示subs的置换规则。 1）产生符号函数

clear

syms a b x;

f1=a*sin(x)+b f1 =

b + a*sin(x)

2）被字符串置换

f2=subs(f1,sin(x),'log(y)') class(f2) f2 =

b + a*log(y) ans = sym

%<4> %

3）单个符号参数被置换

f3=subs(f1,a,sym(3.11))

%<6>

12

class(f3) f3 =

b + (311*sin(x))/100 ans = sym

%

4）单个符号变量被数组置换

f4=subs(f1,x,[0,pi/2,pi]) class(f4) f4 =

[ b, a + b, b] ans = sym

%<8>

5）所有变量被置换

format % 恢复双精度数字显示的默认设置 format compact % 在Notebook中紧凑显示 t=0:pi/10:2*pi; % （1*21）双精度数组

f5=subs(f1,{a,b,x},{2,3,t}); %<13> 置换得到符号数字数组 class(f5)

plot(t,f5,'r:','LineWidth',5) %<15> % ans = sym

5432101234567图2.2-1 利用符号表达式变量置换产生的单根曲线

6）两次置换

k=[0.6;0.8;1]; %（3*1）数组 f6=subs(subs(f1,{a,b},{k,2}),x,t);%<17> class(f6)

plot(t,f6) %<19> ans = sym

13

32.521.5101234567图2.2-2 利用两次subs置换产生的多根曲线

2.3 符号微积分

2.3.1 极限和导数的符号计算

大学本科高等数学中的大多数微积分问题，都能用符号计算解决，手工笔算演绎的烦劳都可以由计算机完成。

limit(f,v,a) 求极限 limf(v)

v?a

f(v) limit(f,v,a,'right') 求右极限 lim?v?a

f(v) limit(f,v,a,'left') 求左极限 lim?v?a

sinkt1??【例2.3-1】两种重要极限lim和lim?1??。

t?0x??ktx??syms t x k

s=sin(k*t)/(k*t); f=(1-1/x)^(k*x);

Lsk=limit(s,0) % t趋于0 Ls1=subs(Lsk,k,1) % Lf=limit(f,x,inf) %

Lf1=vpa(subs(Lf,k,sym('-1')),48) %给出48位精度的自然数 Lsk = 1

Ls1 = 1 Lf = exp(-k) Lf1 =

2.7182818284590452353602874713526624977572470937

kx

14

dnfdiff(f,v,n) 求 (n缺省时，默认n=1) ndv

?at3?d2fd2fdf【例2.3-2】已知f???，求dx、 dt2、dtdx。

?tcosxlnx?syms a t x;

f=[a,t^3;t*cos(x), log(x)]; df=diff(f) % dfdt2=diff(f,t,2) % dfdxdt=diff(diff(f,x),t) % df =

[ 0, 0] [ -t*sin(x), 1/x] dfdt2 = [ 0, 6*t] [ 0, 0] dfdxdt =

[ 0, 0] [ -sin(x), 0]

2.3.2 序列/级数的符号求和

symsum(f,v,a,b) 求f在变量v取遍[a, b]中所有整数时的和。a,b缺省时默认求和区间[0, v-1]。

?1(?1)k?,【例2.3-3】求?[t,k]，???。 2(2k?1)kk?1?t?0?t?13?syms k t;f1=[t k^3];f2=[1/(2*k-1)^2,(-1)^k/k];

s1=symsum(f1) % f1的自变量被确认为t s2=symsum(f2,1,inf) % f1的自变量被确认为k s1 =

[ t^2/2 - t/2, k^3*t] s2 =

[ pi^2/8, -log(2)]

2.3.3 符号积分

intf=int(f,v) 求f对变量v的不定积分 intf=int(f,v,a,b) 求f对变量v的定积分

15

【例2.3-4】求

11?x?xxdx。

clear syms x

f=sqrt((1+x)/x)/x s=int(f,x) f =

((x + 1)/x)^(1/2)/x s =

2*atanh((1/x + 1)^(1/2)) - 2*(1/x + 1)^(1/2)

【例2.3-5】

??? 1 2 x2 x2y x xy(x2?y2?z2)dzdydx。

syms x y z

F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) VF2=vpa(F2) % F2 =

(14912*2^(1/4))/4641 - (6072064*2^(1/2))/348075 + (64*2^(3/4))/225 + 1610027357/6563700 VF2 =

224.92153573331143159790710032805

第二章作业题：

1．说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”

对象？

3/7+0.1, sym(3/7+0.1), vpa(sym(3/7+0.1),4), vpa(sym(3/7+0.1))

2．已知a1=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7)+sym(pi/3)))产生精准符号数字，请回答：以下产生的

各种符号数哪些是精准的？若不精准，误差又是多少？能说出产生误差的原因吗？ a2=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7))*exp(sym(pi/3))) a3=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7'))*exp(sym('pi/3'))) a4=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7+pi/3'))) a5=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7+pi/3))) a6=sin(sym(pi/4)+sym(exp(0.7+pi/3))) a7=sin(sym(pi/4+exp(0.7+pi/3))) a8=sym(sin(pi/4+exp(0.7+pi/3)))

（提示：可用vpa观察误差；注意数位的设置）。

3．在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是独立自由变量。

sym('sin(w*t)') , sym('a*exp(-X)' ) , sym('z*exp(j*th)')

16

【例2.3-4】求

11?x?xxdx。

clear syms x

f=sqrt((1+x)/x)/x s=int(f,x) f =

((x + 1)/x)^(1/2)/x s =

2*atanh((1/x + 1)^(1/2)) - 2*(1/x + 1)^(1/2)

【例2.3-5】

??? 1 2 x2 x2y x xy(x2?y2?z2)dzdydx。

syms x y z

F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) VF2=vpa(F2) % F2 =

(14912*2^(1/4))/4641 - (6072064*2^(1/2))/348075 + (64*2^(3/4))/225 + 1610027357/6563700 VF2 =

224.92153573331143159790710032805

第二章作业题：

1．说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”

对象？

3/7+0.1, sym(3/7+0.1), vpa(sym(3/7+0.1),4), vpa(sym(3/7+0.1))

2．已知a1=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7)+sym(pi/3)))产生精准符号数字，请回答：以下产生的

各种符号数哪些是精准的？若不精准，误差又是多少？能说出产生误差的原因吗？ a2=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7))*exp(sym(pi/3))) a3=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7'))*exp(sym('pi/3'))) a4=sin(sym('pi/4')+exp(sym('0.7+pi/3'))) a5=sin(sym(pi/4)+exp(sym(0.7+pi/3))) a6=sin(sym(pi/4)+sym(exp(0.7+pi/3))) a7=sin(sym(pi/4+exp(0.7+pi/3))) a8=sym(sin(pi/4+exp(0.7+pi/3)))

（提示：可用vpa观察误差；注意数位的设置）。

3．在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是独立自由变量。

sym('sin(w*t)') , sym('a*exp(-X)' ) , sym('z*exp(j*th)')

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