2015-2016北京市西城区高一下数学期末试题及答案

北京市西城区2015— 2016学年度第二学期期末试卷

高一数学2016.7

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的. 1.已知数列{an}满足an?1?an?2，且a1?2，那么a5?（） （A）8 2.如果a?b?0，那么下列不等式正确的是（） （A）ab?a 3.在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点 数出现”，则一次试验中，事件A?B发生的概率为（） （A） 4.右图是100名学生某次数学测试成绩(单位:分)的 频率分布直方图,则测试成绩在区间[50,70)中的 学生人数是（） （A）30 （B）25 （C）22 （D）20 2（B）9 （C）10 （D）11 （B）a2?b2 （C）11? ab（D）?11?? ab13（B）1 2（C）2 3（D）5 6高一数学第二学期期末试卷第1页共10页

5. 执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2, 则输出的i值为（） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 开始 输入A i?1,S?0 S?A 否 1S?S? i ?i?1i是 输出i 结束 ?0?x?2,6. 在不等式组?表示的平面区域内任取一个点P(x,y),使得x?y?1的概率 0?y?2?为（） （A） 7.若关于x的不等式x?（A）(??,5] 8.在?ABC中，若（A）钝角三角形 9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示： 甲 乙 体积(升/件) 20 10 重量(公斤/件) 10 20 利润(元/件) 8 10 1 2（B）1 4（C）1 8（D）1 124?a对于一切x?(0,??)恒成立，则实数a的取值范围是（） x（C）(??,2] （D）(??,1] （B）(??,4] a?cosC，则?ABC为（） b（B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）等边三角形 在一次运输中，货物总体积不超过110升，总重量不超过100公斤，那么在合理的 安排下,一次运输获得的最大利润为（ ） （A）65元 （B）62元 （C）60元 （D）56元 10.设a,b?R，给出下列判断： ①若11??1，则a?b?1； ba33② 若a?b?1，则a?b?1； 22③ 若a,b均为正数，且a?b?1，则a?b?1； ④ 若a,b均为正数，且a?b?1,则a?b?1. 则所有正确判断的序号是（） （A）①②

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（B）③ （C）③④ （D）②④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11.不等式

1?1的解集为_______. x12.右侧茎叶图记录了在某项体育比赛中，七位裁判为一名 选手打出的分数情况. 则去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均值为_______，方差为_______.

选手 8 9 9 0 0 3 3 4 5 13.某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5 种情况，并将成绩分成5个等级．从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：

C 成绩等级 A B D E 成绩（分） 人数（名） 100 1 85 a 70 60 8 b 50以下 c 已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学成绩达到60分及60分以 上的概率为

41，其成绩等级为“A或B”的概率为，则a?______；b?______. 5514.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=2,则a1+2a3的最小值是_______.

15.某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人，若这五人被录用的机会

均等，则甲或乙被录用的概率为_______.

?an?1,an?1,?16.已知数列{an}中，a1?a(0?a?1)，an?1??(n?N*). 3?an?,(an?1),?2?①若a31?,则a?_______； 6②设Sn是数列{an}的前n项和，则S2016?_______.

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三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

等差数列{an}的首项a1?1,其前n项和为Sn,且a3?a5?a4?7. （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式Sn?3an?2的n的值.

18．（本小题满分13分）

在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，且C?（Ⅰ）若c?14,求sinA的值； （Ⅱ）若?ABC的面积为33,求c值.

19．（本小题满分13分）

某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到右侧的频率分布表.

（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；

（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 频率 2?,a?6. 3[160,165) [165,170) [170,175) 5 ① 0.050 0.350 ② 30 20 6名学生进行体能测试,求第3,4,5组每组

各应抽取多少名学生进行测试；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的前提下,学校决定在6名学生中

[175,180) [180,185] 0.200 10 0.100 1.00 100 随机抽取2名学生进行引体向上测试,求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.

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20．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?mx2?(1?3m)x?4，m?R.

（Ⅰ）当m?1时，求f(x)在区间[?2,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）解关于x的不等式f(x)??1；

（Ⅲ）当m?0时，若存在x0?(1,??)，使得f(x0)?0，求m的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知{an}是递增的等差数列，Sn为{an}的前n项和，且S5?5，a3,a4,a7成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1?a2?L?a100的值； （Ⅲ）若集合{n(?1)nan*??,n?N}中有且仅有2个元素，求?的取值范围. n2 22．（本小题满分14分）

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足Sn?2an?a1，n?N. （Ⅰ）若a1?1，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若对于正整数m,p,q(m?数列，试用m表示p和q；

（Ⅲ）已知数列{tn},{rn}满足tn?rn?an，数列{tn},{rn}的前100项和分别为T100,R100，且T100?R100，试问：是否对于任意的正整数k(1?k

*p?q)，5am,ap,aq这三项经过适当的排序后能构成等差

?100)均有tk?rk成立，请说明理由.

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北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准2016.7

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.C； 2.D； 3. C； 4.B； 5. C； 6. C； 7.B； 8.A； 9.B； 10. C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.{x0?x?1}；12.92,2.8；13.5,10； 14.42；15.

71；16.，1512. 103注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）

解:（Ⅰ）设数列{an}的公差为d.

因为a3?a5?a4?7,所以2a1?6d?a1?3d?7.?????3分 因为a1?1,所以3d?6,即d?2, ?????5分

所以an?a1?(n?1)d?2n?1. ?????6分 （Ⅱ）因为a1?1,an?2n?1,所以Sn?由不等式 Sn?3an?2，

得 n2?3(2n?1)?2,?????10分 所以n2?6n?5?0, 解得1?n?5,?????12分 因为n?N*,

所以n的值为2,3,4.?????13分 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在?ABC中，

a1?ann?n2, ?????8分 2ac?，?????3分 sinAsinC所以sinA?asinC， c62?3sin?3.?????5分 14314

所以sinA?高一数学第二学期期末试卷第6页共10页

（Ⅱ）因为S?ABC?1absinC, ?????7分 2所以33?13?6?b， 22解得b?2. ?????9分

又因为c2?a2?b2?2abcosC，?????11分 所以c?4?36?2?2?6?(?)?52， 所以c?213.?????13分

19.（本小题满分13分）

解:（Ⅰ）由题可知,第2组的频数为0.35?100?35人， ?????2分

第3组的频率为

21230?0.300. ?????4分 100所以①处的数据为35,②处的数据为0.300.?????5分

（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组学生人数分别为:

302010?6?3人；第4组:?6?2人；第5组:?6?1人. 606060所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ?????8分

第3组:

（注：第（Ⅰ）（Ⅱ）问仅写出正确答案，没有过程，各扣掉1分）

（Ⅲ）设第3组3位同学为A1,A2,A3,第4组2位同学为B1,B2,第5组1位同学为C1,

则从6位同学中抽两位同学的情况分别为:

(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),

(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).

共有15种可能 . ?????10分 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为:

(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1), (B1,B2).

共有9种可能. ?????12分

所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为

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93?. 1553.?????13分 520.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当m?1时，

函数f(x)?x2?2x?4在(?2,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.?????2分 又f(?2)?4，f(1)??5，f(2)??4，

所以，f(x)在区间[?2,2]上的最大值和最小值分别为4和?5.?????4分 （Ⅱ）不等式f(x)??1，即mx2?(1?3m)x?3?0，

当m?0时，解得x?3.?????5分

当m?0时，(x?3)(mx?1)?0的两根为3和?当m?0时，?1，?????6分 m11?3，不等式的解集为{xx??或x?3}. ?????7分 mm13m?1当m?0时，3?(?)?，

mm所以，当m??分

当m??当?111时，??3，不等式的解集为{x??x?3}.?????83mm1时，不等式的解集为?.?????9分 3111?m?0时，3??，不等式的解集为{x3?x??}.??10分 3mm1或x?3}；当m?0时，解集为{xx?3}；当m综上，当m?0时，解集为{xx??1111??m?0时，解集为{x3?x??}；当m??时，解集为?；当m??时，解集333m为{x?1?x?3}. m（Ⅲ）因为m?0，所以f(x)?mx2?(1?3m)x?4是开口向下的抛物线.

抛物线的对称轴为x??1?3m31???1，?????11分 2m22m若存在x0?(1,??)，使得f(x0)?0，则(1?3m)2?16m?0，?????12分

1?m?0. 91综上，m的取值范围是(??,?1 )?(?,0)．?????13分

92即9m?10m?1?0，解得m??1或?

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21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

5(a1?a5)?5，?????1分 2由a3,a4,a7成等比数列，可得(a1?3d)2?(a1?2d)(a1?6d)，?????2分

由S5?5，可得所以??a1?2d?1,2?2a1d?3d?0,?a1?1,?a1??3,解得?（舍）或??????3分

d?0,d?2.??所以数列{an}的通项公式为an?2n?5.?????4分 （Ⅱ）解2n?5?0可得n?

5， 2所以数列{an}中a1?0，a2?0，其余各项均大于零.?????6分

所以a1?a2?L?a100??a1?a2?a3?L?a100?????7分

??a1?a2??3?1?（Ⅲ）设cn?98(a3?a100) 298(1?195)?9608.?????9分 2an2n?5?， 2n2n2n?52(n?1)?59?2ncn?cn?1???，?????10分

2n2n?12n9n?c?c?0令n，得. n?12所以c1?c2?c3?c4,c4?c5?c6?L?????11分

2n?5c?又由n，知c1?0，c2?0，其余各项均大于零.?????12分 n2n*在tn?(?1)cn中，t1?0，t2m?0（m?2,m?N），且t4?t6?t8?L??13分

337,t6?， 计算得t1?,t4?2166473???,??R}.?????14分 所以，?的取值范围是{?641622.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为Sn?2an?a1，n?N，

所以，Sn?1?2an?1?a1，

所以，当n?2时，Sn?Sn?1?(2an?a1)?(2an?1?a1)，?????2分 整理得an?2an?1， 又an?0，所以

*an?2，数列{an}是公比为2的等比数列，?????3分 an?1所以数列{an}的通项公式an?2n?1.?????4分

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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{an}是公比为2的等比数列，设其首项为a1.

①若5am为ap,aq的等差中项，则2?5am?ap?aq，?????5分 所以2?5a12m?1?a12p?1?a12q?1，所以2p?m?1?2q?m?1?5，

*p?m?1?1,2q?m?1?4， 又m?p?q，m,p,q?N，所以2所以

p?m?1,q?m?3.?????7分

p?1②若ap为5am,aq的等差中项，则2ap?5am?aq， 所以2a12所以2?5a12m?1?a12q?1，所以2p?5?2m?1?2q?1，

p?m?1?2q?m?5，

等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立. ?????8分 ③若aq为5am,ap的等差中项，则2aq?5am?ap，同理也不成立. 综上，

p?m?1,q?m?3.?????9分

n?1（Ⅲ）由an?a1?2，得tn?rn?a1?2n?1.

所以t100?r100或t100??r，?????10分 100若t100??r，不妨设t100?0,r100?0， 100则T100?t1?t2?L?t99?t100??a1?a1?2?a1?2?L?a1?2?a1?2

298991?299??a1(1?2?2?L?2)?a1?2??a1??a1?299?a1 . ??11分

1?229899则R100?r1?r2?L?r99?r100?a1?a1?2?a1?2?L?a1?2?a1?2

298991?299?a1(1?2?2?L?2)?a1?2?a1??a1?299??a1 . ??12分

1?229899由已知a1?0，所以R100?T100，与已知不符，所以t100?r100. ?????13分 所以R99?T99，同上可得t99?r99. 如此下去，t98?r98，?，t1?r1.

即对于任意的正整数k(1?k?100)，均有tk?rk.?????14分

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