数学文卷·2015届浙江省台州中学高三上学期第一次统练(2014.09)

台州中学2014学年第一学期第一次统练试卷

高三 数学 （文科）

【试卷综析】试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.

整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用.

试题再一次提醒我们教学要回归教材,教学要让学生经历一个从提出问题到解决问题再到应用所学知识解决问题的完整的过程,不能只注重知识的应用而忽视知识发生发展的过程.这提示我们在以后的教学中要注重基本知识的学习,淡化技巧的演练,回归到数学学习的原点,让学生在数学学习过程中要感受到数学学习带给他们追求理性精神的快乐.

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【题文】1．设集合M??x???11??x??，N?xx2?x，则M22???N?（ ）

12（A）[0,)

12 （B）(?,1] （C）[?1,)

1212 （D）(?,0]

【知识点】一元二次不等式解法，集合运算. A1 E3 【答案解析】A 解析：

?11?M???,?,N??0,1?, ?M?22?N.

?1?N??0,?, ?选A

?2?【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求M【题文】2．已知

(A)?1 【知识点】复数的意义及运算，复数相等. L4

2?bi，其中i为虚数单位，则b?（ ） ?a?i（a,b?R）

1?2i (B)?9(C)1(D)9【答案解析】B 解析：已知等式为2?bi??a?i??1?2i???a?2???2a?1?i

?a?2?2解得：b??9，所以选B. ????b?2a?1【思路点拨】由已知等式得2?bi??a?i??1?2i???a?2???2a?1?i 再根据复数相等的条件求b的值.

【题文】3．在△ABC中，“A?B”是“sin2A?sin2B”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2

【答案解析】C 解析：（1）若A

22所以若sinA?sinB则sinA

22ab?，即a

【题文】4．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，则下列命题中正确的是．．（ ） （A）若m//?,n??且???，则m?n （B）若m??,n??且m?n，则??? （C）若???,m//n且n??，则m//? （D）若m??,n??且m//n，则?//? 【知识点】空间直线和平面位置关系的判断 G3 G4 G5

【答案解析】B 解析：A.直线m,n成角大小不确定；B.把m,n分别看成平面?,?的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.

【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断. 【题文】5．将函数y?sin(4x??6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移

?4个

单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） （A）x??12 （B）x?

?6

（C）x??3

（D）x???12

[]【知识点】三角函数的图像变换. C3 C4

【答案解析】A 解析：经过变换后的新函数为y?sin?2x?值的x值，经检验选项A成立，所以选A.

【思路点拨】先依题意得到变换后的新函数，再根据对称轴的意义确定选项.

?????，而对称轴是函数取得最3?【题文】6．已知b?0，直线(b?1)x?ay?2?0与直线x?by?1?0互相垂直，则ab的最小值为（ ）

(A)1(B)2(C)22(D)23【知识点】两直线垂直的条件，均值定理求最值.H2 E6

【答案解析】B 解析：因为直线(b?1)x?ay?2?0与直线x?by?1?0互相垂直，

2222b2?11b2?1b2?11?2??1，即a?2，所以ab??b??2?b?0?，所以选B. 所以?abbbbb2?1b2?11ab??b??2?b?0?. 【思路点拨】根据两直线垂直的条件得：a?所以2bbb【题文】7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共

16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 十进制 十六进制 十进制 0 8 8 1 9 9 2 A 10 3 B 11 4 C 12 5 D 13 6 E 14 7 F 15 例如，用十六进制表示E?D?1B,则A?B?（ ） (A) 6E (B) 72 (C) 5F (D) B0 【知识点】进位制的换算.L3

【答案解析】A 解析：因为A?B?16??10?11?10??110?10?，而110= 6?16?14， 所以A?B?6E，所以选A.

【思路点拨】利用进位制的换算方法求得结论.

【题文】8．设z?2x?5y，其中实数x,y满足6?x?y?8且?2?x?y?0，则z的最大值是（ ）

（A）21 （B） 24 （C）28 （D） 31 【知识点】简单的线性规划. E5

【答案解析】D 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：

由由z=2x+5y，得y??2z22zx?，平移直线y??x，当直线经过点A时，直线y??x? 55555?x?y??2?x?3的截距最大，此时z最大.由?得?，即A?3,5?此时zmax?2?3?5?5?31

x?y?8y?5??故选D.

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可.

x2y2【题文】9．椭圆??1(0?b?23)与渐近线为x?2y?0的双曲线有相同的焦点

12b2 F1,F2,P为它们的一个公共点,且?F1PF2?90?,则椭圆的离心率为（ ）

(A)66(A)216(C)306(D)156

【知识点】椭圆、双曲线的定义及性质. H5 H6

x2y2【答案解析】C 解析：设双曲线方程为：2?2?1?k?0?，记PF1?m,PF2?n

4kk?m?n?43?2??m?n?4k?k?2，解得?2， ?m?n?，根据题意得：?222m?n?412?b????b?2??222?m?n?20ka2?b212?2530，所以选C. ?e???,?e?a212662x2y2【思路点拨】设出双曲线方程2?2?1?k?0?，记PF1?m,PF2?n，根据椭圆、双

4kk2?a2?b212?2530?k?22??,?e?曲线的定义及勾股定理得方程组，求得?2，?e?. 2a1266??b?2?log1(x?1),x?[0,1)?2【题文】10．定义在R上的奇函数f(x)，当x?0时，f(x)??， ??1?|x?3|,x?[1,??).则关于x的函数F(x)?f(x)?a(0?a?1)的所有零点之和为（ ） (A)2a?1(B)2?a?1(C)1?2?a(D)1?2a

【知识点】函数的奇偶性，函数零点的意义及零点的求法，分段函数. B4 B9

?log1?x?1?,x??0,1??2?【答案解析】D 解析：当x?0时，f?x???x?2,x??1,3?

??4?x,x??3,????又f?x?是奇函数，有图像可知F?x??0?f?x??a,?0?a?1?，有5个零点，其中有两个零点关于x??3对称，还有两个零点关于x?3对称，所以这四个零点的和为零，第五

个零点是直线x?a与函数y??log1?1?x?，x???1,0?交点的横坐标，即方程

2a??log1?1?x?的解，x?1?2a，故选D.

2【思路点拨】利用x?0时的解析式及函数f(x)的奇偶性，画出函数f(x)的图像，此图像与直线x?a交点横坐标的和为所求.

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 【题文】11．已知sin(??1?)?，则cos?? ． 223sin(2【知识点】诱导公式，二倍角公式. C1 C6 【答案解析】?7 解析：92??1?1?)?，?cos?，

232237?1??cos??2cos?1?2????1??

29?3?【思路点拨】利用诱导公式，二倍角余弦公式求解.

【题文】12．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则2Sr＝；类比这个结论可知：四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，a＋b＋c

内切球的半径为R，四面体S -ABC的体积为V，则R＝ ．

【知识点】类比推理. M1 【答案解析】

?3V 解析：由二维推广到三维，把面积换成体积，把边长和

S1?S2?S3?S4换成表面积和即可.

【思路点拨】由类比推理知，把平面上的结论类比到空间.

【题文】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(?x)?f(x?),f(2014)?2,则

32f(?1)= ．

【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4 【答案解析】-2解析：解：由条件

3??f??x??f?x???f?x?3??f?x??f?2014??f?1?671?3??f?1??2，又因为

2??函数为奇函数，所以f??1???f?1?=-2

【思路点拨】由条件可知函数的周期为3，再根据奇函数的性质可知结果.

【题文】14．已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为

cm3．

【知识点】三视图；锥体的体积公式. G2,G7

【答案解析】2解析：解：由三视图知：几何体为棱锥，如图

其中SA?平面ABCD，SA=2,四边形ABCD为直角梯形，AD=1，BC=2，AB=2，所以四棱锥的体积V?11?2??2?2?2 32【思路点拨】根据三视图作出原图，利用体积公式求出体积.

【题文】15．如图AB是半圆O的直径，C,D是弧AB的三等分点，M,N是线段AB的

三等分点，若OA?6，则MC?ND? ． 【知识点】向量数量积运算.F3 【答案解析】26 解析：

MC?ND?MO?OC?NO?OD????第15题

1112?1??1????OA?OC???OA?OD???OA?OA?OD?OA?OC?OC?OD

933?3??3?3611?OAOD?OC?OC?OD??4?OA?CD?OC?OD 933?36?6?6cos60?26. 因为CD??OA,OC与OD夹角为60，所以所求??4?3????【思路点拨】根据向量的加减运算，向量的数量积定义求解.

【题文】16．已知函数f(x)?x?3ax，若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲

线y?f(x)的切线，则a的取值范围为 ． 【知识点】导数的几何意义.B11 B12 【答案解析】a?31 解析：根据题意得：f??x??3x2?3a=-1无解，即3a?1?0,所以31a?.

3【思路点拨】函数f?x?没有斜率为-1的切线，故f??x??3x2?3a=-1无解，由此求得a范围.

【题文】17．数列?an?是公比为?的等比数列，?bn?是首项为12的等差数列．现已知a9

＞b9

且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是 ．（请填写所有正确选项的序号） ．．．．① a9?a10?0； ② b10?0； ③ b9?b10； ④ a9?a10． 【知识点】数列的通项公式；数列的概念. D1,D2,D3 【答案解析】①③解析：解：因为数列?an?是公比为?232的等比数列，所以3?2?a9?a10?a92?????0①成立;而④a9?a10，只有当a9为正数才成立，不一定成立；又因

?3?为?bn?是首项为12的等差数列a9?b9,a10?b10，所以?bn?是递减数列，③成立，当公差

很小时②不成立，所以答案为①③

【思路点拨】根据数列的概念进行分析.

三、解答题：本大题共5小题，共49分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】18．（本题满分9分）在?ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，已知 a?2bsinA，

c?3b．

（1）求B的值；

（2）若?ABC的面积为23，求a,b的值．

【知识点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式. C9 【答案解析】（1）30；（2）?解析：（1）

?a?4或a?b?22

?b?21 2a?2bsinA,?sinA?2sinBsinA，sinA?0,?sinB??B?30或150，c?3b,?c?b,?B?30 --------4分

22222（2）由b?a?c?2accos30得：2b?3ab?a?0，即a?b或a?2b ---①

又SABC?1acsin30?23，?ac?83 -----② 2又c?3b ----③ 由①、②、③得??a?4或a?b?22 -----9分

?b?22sBinsA，iA?【思路点拨】（1）把正弦定理代入a?2bsinA得：sinsinA?0,?sinB?1，?B?30或150，c?3b,?c?b,?B?30 2（2）由余弦定理及面积公式得关于a,b的方程组，进而求出a,b值.

【题文】19．（本题满分10分）设数列?an?的前n项积为Tn，且Tn?2?2an（n∈N）．

111111,,，并证明??(n?2)； T1T2T3TnTn?12（2）设bn?(1?an)(1?an?1)， 求数列?bn?的前n项和Sn．

（1）求

【知识点】数列综合问题. D5 【答案解析】（1）略；（2）

n13115 解析：（1）?,?2,? 3n?9T12T2T32由题意可得：Tn?2?2Tn?Tn?Tn?1?2Tn?1?2Tn(n?2)， Tn?1所以

111???????5分 TnTn?12（2）数列??1?n?11n?2为等差数列，， a???nn?2Tn2?Tn?1，

(n?2)(n?3) 所以bn?Sn?111n??10分 ?????3?44?5(n?2)?(n?3)3n?9111,,. T1T2T3【思路点拨】（1）依次把T1,T2,T3代入Tn?2?2an得

由Tn?2?2an（n∈N）an?Tn得： Tn?1Tn?2?2Tn111?Tn?Tn?1?2Tn?1?2Tn(n?2)，所以?? Tn?1TnTn?12（2）由（1）得数列??1?n?11n?2，从而an? ?为等差数列，可得?n?2Tn2?Tn?所以bn?1111n，Sn? ?????(n?2)(n?3)3?44?5(n?2)?(n?3)3n?9【题文】20．（本题满分10分）如图，底面ABC为正三角形，EA?面ABC， DC?面

ABC，EA?AB?2DC?2a，设F为EB的中点． （1）求证：DF//平面ABC；

（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

[Z#X#X#K]

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成角的概念. G4,G11 【答案解析】证明：过F作FH//EA交AB于H，连结HC，因为EA?平面ABC，DC?平面ABC，所以EA//DC,又FH//EA,?FH//DC，而F是EB

1AE?DC，所以四边形CDFH是平行四边形，所以DF//HC,又2HC?平面ABC，DF?平面ABC，所以DF//平面ABC. (2)ABC为正三角形，H为AB中点，

?CH?ABEA?面ABC，CH?面ABC，CH?EA，EA?AB=AEA、AB?面EAB，?CH?面EAB，DF//CH?DF?面EAB?AF为DA在面EAB上的射影，所以?DAF为直线AD与平面AEB所成角，在RTAFD中

的中点，?FH?AF=2a,AD?5a,DF?3a,sin?FAD?弦值为15，所以直线AD与平面AEB所成角的正515 5322【思路点拨】利用平行四边形证明线线平行，再利用定义证明直线与平面平行，根据直线与平面所成角的概念找出直线与平面所成的角，介入三角形进行计算.

【题文】21．（本题满分10分）已知函数f(x)?x?ax?(2a?3)x?a（a∈R）． （1）若函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，求实数a的取值范围； （2）若当x?[?1,1]时，f(x)?0，求实数a的取值范围． 【知识点】导数的应用，恒成立问题. B12 E8 【答案解析】（1）a??3 （2）a?2或a??2

解析：（1）f?(x)?3x?2ax?(2a?3)?(3x?2a?3)(x?1) 令f?(x)?0, 得x?1,或x??22a?3， 3 使函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，

则?2a?3?1,解得：a??3 ． ??4分 3（2）由题意知，即使x?[?1,1]时，(f(x))min?0． ①当?2a?3?1，即a??3时，f(x)在x?[?1,1]上单调递增， 32 ?(f(x))min?f(?1)?a?3a?2?0，得a??1或a??2， 由此得：a??3；

②当?1??2a?3?1，即?3?a?0， 32a?32a?3]为增函数，在[?,1]上为减函数， f(x)在[?1,?33所以(f(x))min?min?f(?1),f(1)?，

2??f(?1)?a?3a?2?0得??a?2或a??2

2??f(1)?a?a?2?0由此得?3?a??2； ③当?2a?3??1，即a?0， 3 f(x)在x?[?1,1]上为减函数，

所以(f(x))min?f(1)?a?a?2?0

得a?2或a??1，由此得a?2；

由①②③得实数a的取值范围为a?2或a??2．??????10分

【思路点拨】（1）若函数f(x)在区间(1,??)上有极小值点，则f??x??0在区间(1,??)上有解，由此得关于a的不等式. (2)命题为f(x)?0在x?[?1,1]时恒成立，所以只需

2(f(x))min?0．而f?(x)?3x2?2ax?(2a?3)?(3x?2a?3)(x?1)，所以

①当?2a?3?1，即a??3时，f(x)在x?[?1,1]上单调递增， 32 ?(f(x))min?f(?1)?a?3a?2?0，得a??1或a??2， 由此得：a??3；

②当?1??2a?3?1，即?3?a?0， 32a?32a?3]为增函数，在[?,1]上为减函数， f(x)在[?1,?33所以(f(x))min?min?f(?1),f(1)?，

2??f(?1)?a?3a?2?0得??a?2或a??2

2??f(1)?a?a?2?0由此得?3?a??2； ③当?2a?3??1，即a?0， 3 f(x)在x?[?1,1]上为减函数，

所以(f(x))min?f(1)?a?a?2?0 得a?2或a??1，由此得a?2；

由①②③得实数a的取值范围为a?2或a??2．

【题文】22．（本小题满分10分）已知抛物线C:y?2px(p?0)，F为抛物线C的焦点，

22A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．

（1）若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A，且?PQF?90，求抛物线方程； （2）设点M(m,0)在x轴上，若要使?MAF总为锐角，求m的取值范围． 【知识点】圆锥曲线综合问题，向量法的应用，恒成立问题. H7 H10 F3 【答案解析】（1）y2?22x；（2）0?m??9pp且m? 22解析：（1）由题意可知：AQ?AF,?PQF?90,?A为PF的中点.

p?p??p?F?,0?,?A?,0?,且点A在抛物线上，代入得：1?2p?,?p?2 4?2??4?所以抛物线方程为：y2?22x. ---4分

（2）设A?x,y?,y?2px，根据题意：?MAF为锐角得：AM?AF?0且m?2p 2p??p??AM??m?x,?y?,AF???x,?y?， ??x?m??x???2y?0

2??2??即x??2pm?p??m?x??y2?0，

2?2?pm?3p?y2?2px,?x2???m?x??0对x?0都成立.

22??pm?3pm?mp?3pm??3p?令f?x??x2???m?x???x?????????0

242?2?42??2??对x?0都成立

22m3p3pmp3pm2时，只要使??0，即m??(?)?0成立，

242242p9p3p 整理得：4m2?20mp?9p2?0??m?，且m?，

2223p9p所以． ?m?22m3p3pmp② 若?，只要使?0，即m??0成立，得m?0

24223p 所以0?m?.

29pp由①、②得m的取值范围是0?m?且m?．??10分

22① 若

【思路点拨】(1)由抛物线的定义的AQ?AF,又?PQF?90,所以A为PF中点，

p?p??p?F?,0?,?A?,0?,且点A在抛物线上，代入得：1?2p?,?p?2 4?2??4?所以抛物线方程为：y2?22x. （2）把条件用向量表示：设A?x,y?,y2?2px，根据题意?MAF为锐角得：AM?AF?0且m?

p，然后转换向量的坐标运算求m范围. 2

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