西北农林科技大学研究生—概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题

一、填空题

1. 在区间（0,1）上随机地取两个数， 则这两个数之和大于

6的概率是 。 52. 从5双不同的鞋子中任取4只。（1）没有任何2只配对的概率= ；恰有2只配对的概率= 。

3. 如果事件A和B是对立事件，则A和B的关系是 。 4. 已知P(A)?11，P(BA)?。则P(AB)? 。

23?32?x,0?x?25. 设随机变量X,Y同分布，X的密度函数为f(x)??8，设A?{X?a}

??0,其它与B?{Y?a}相互独立，且P{A?B}?3，则a?__________。 46. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(0,1),Y~U[0,1]，求P{X?Y}? 。

?1X?0?7.设随机变量X在区间[-1，2]上服从均匀分布，令Y??0X?0，D(Y)? 。

??1X?0?8.(X,Y)为二维随机向量，a,b为常数，又Cov(X,Y)?1，则Cova (Xb,Y)? 。9.已知随机变量X~P(9)，Y~N(0,16)，X与Y的相关系数?XY?0.8。则

Var(X?Y)? 。

10. 已知总体X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn是取自总体X的iid样本。则样本均值X的特征函数?X(t)? 。

11. 设X1,X2,?Xn,?是独立同分布的随机变量序列，且Xi服从指数分布e(?)，则

2?n??X?n????i?1i?limP??x?=__________。 n??n??????12. 已知总体X~N(0,?)，X1,X2,X3,X4,X5为取自总体X的iid样本，则统计量

2(X1?X2)2~ 。 22(X3?X4)?2X513. 已知总体X~e(?)，X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个iid样本。则随机向量

(X1,X2,?,Xn)的概率密度为 。

14. 设总体X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，统计量

2??X1??X2?X3是未知参数?的无偏估计量。则常数?? 。 ?15. 已知总体X~N(?,?)，其中?,?未知，X1,X2,?,Xn为取自总体X的iid样本，则参数?/(1??)的极大似然估计量为 。

16. 假设检验中对于原假设H0，第一和第二类错误分别是指_______________ __ ____________________________________________________________________。 17. 已知总体X~N(?,?)，其中?未知，?0为一个已知常数，X1,X2,?,Xn为取自总体X的一个iid样本，X,S分别表示样本均值和样本方差，以统计量T?统计假设H0:???0;H1:???0，则H0:???0拒绝域为 。 18. 在单因素方差分析的总离差平方和分解中，下列符号分别表示：

rm22213162222X??0S/n检验???xij?x..?表

2i?1j?1rm2rm示 ；

???xi?1j?1ij?xi.?表示 ，

2???xi.?x..?i?1j?1表

示 。

19. 方差分析对试验数据的基本要求为 ， ， 。

????x,，x与???20. 以最小二乘法建立的普通变量x与随机变量Y的经验回归方程为y01?的关系式为 。 Y 的样本相关系数为r，则r与?1二、解答题

1. 已知P(A)?0.5,P(BA)?0.9,P(BA)?0.3。求概率P(B)和P(AB)。 2. 已知事件A1,A2,A3相互独立。证明事件A1,A2,A3相互独立。

3. 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应位0.8,0.1和0.1，一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看四只，如无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求（1）顾客买下该箱的概率； (2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

4. 一袋子中装有10个球，其中球的颜色有黑白两种，某人对袋子中黑白球的数量的猜测

有以下三种结论：A1={5个黑球5个白球}，A2={3个黑球7个白球}，A3={7个黑球3个白球}且该人认为这三种结论成立的概率分别为P(A1)?1/6，P(A2)?1/3，P(A3)?1/2。现该人从袋子中随机取出1个球，结果为白球，此时该人应如何修正自己对袋子中黑白球数量的认识。

?cxe?x(y?1),x?0,y?05. 设二维随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??，求常数c及

0,其它?边际概率密度函数。

6. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(0,1), Y~U[0,1]，求P{X?Y}。

?y)?1?(xyex?0y?0，求7. 设随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)???y?其他?0P?X?1Y?2?。

?e?(x?y),x?0,y?08. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)??其它?0,，求

Cov(X,Y), ?XY。

9. 在一家保险合同里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年中一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向公司领得1000元，问 （1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少？

10. 1990年在某市调查14个城镇居民户，得平均户人均购买食用植物油的均值为

x?8.7kg,s?1.67kg,假设人均食用植物油量X（单位：kg）～N(?,?2)。求（1）置信

度为95%的总体均值?的置信区间；（2）置信度为90%的总体方差?的置信区间。 11. 指出检验试验数据正态性的四种方法，并简述各自的特点与适用范围。 12. 指出检验两总体均值的几种方法，并简述各自的特点与适用范围。 13. 指出检验方差齐性的几种方法，并简述各自的特点与适用范围。

14. 简述统计假设检验逻辑基础，如果统计假设检验否定原假设H0，是否可以说H0一定与实际情况不吻合，为什么？

15. 写出单因素方差分析的统计模型，并结合该模型说明方差分析的基本思想与实施步骤。

16. 在试验数据的多元线性回归分析中，为何要进行自变量筛选？常用的自变量筛选方法有哪些？

17. 在水文学中把下雨、下雪统称为降水，把河川流域上的降水，经由地面或地下路径汇

2入河槽后流出的水流统称为径流。一条河流流经某地区，其降水量x与径流量Y多年观测的数据如下表。(1)建立Y关于x的线性回归方程；(2) 检验回归方程是否显著；(3) 若回归方程显著，给出当x?200时，径流量Y的预报值。

x 110 184 145 122 165 143 78 y 25 81 36 33 70 54 20 三、综合应用题

1. 设总体X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2)，其中?1,?2已知，X1,X2,?,Xn为抽自总体

22129 62 44 130 168 75 1.4 41 22X的简单随机样本，而Y1,Y2,?,Yn为抽自总体Y的简单随机样本，且两个样本独立。试给出由样本检验?1??2是否成立的方法，并给出你所给检验方法的功效，应用你给出的方法

解决下列问题：

为判定甲、乙两种烟草的尼古丁平均含量是否相同，从这两种烟草中各随机抽取重量相同的五个样品进行化验，测得尼古丁含量（单位：mg）为

烟草甲 24 27 26 21 24 烟草乙 27 28 23 31 26

由经验知，烟草中尼古丁的含量服从正态分布，且烟草甲尼古丁含量的方差为5，烟草乙尼古丁含量的方差为8。在显著水平??0.05下，检验这两种烟草尼古丁平均含量是否有差异。

2.以往的资料表明，某品种苹果单株产量为45斤. 标准差为3斤。一地区大面地栽植该品种苹果树，为确定该地区这种苹果单株产量?，采用抽样估计法进行估计。为保证估计误差不超过0.01，可靠性超过95%，样本容量应取多大?

3.某研究工作者为了解因素A与因素B对试验指标的影响，进行了试验探索。试验数据采用统计软件SPSS进行分析，分析计算结果如下列表所示。试从这些分析计算结果给出统计结论。 正态性检验 试验指标 因素A A1 A2 A3 Kolmogorov-Smirnova 统计量 .156 .146 .164 df 12 12 12 Sig. .200* .200* .200* 统计量 .918 .928 .914 Shapiro-Wilk df 12 12 12 Sig. .272 .356 .239

正态性检验 试验指标 因素B B1 B2 B3 B4 Kolmogorov-Smirnova 统计量 .138 .147 .227 .217 df 9 9 9 9 Sig. .200* .200* .198 .200* 统计量 .932 .942 .927 .925 Shapiro-Wilk df 9 9 9 9 Sig. .501 .608 .449 .439

误差方差等同性的 Levene 检验a 因变量:试验指标 F .544 df1 11 df2 24 Sig. .854

主体间效应的检验 因变量:试验指标 源 校正模型 截距 factor1 factor2 误差 总计 校正的总计 III 型平方和 9934.472a 138012.250 1605.500 8328.972 184.278 148131.000 10118.750 df 5 1 2 3 30 36 35 均方 1986.894 138012.250 802.750 2776.324 6.143 F 323.462 22468.078 130.686 451.979 Sig. .000 .000 .000 .000 4.一研究工作者通过试验观测到变量x与变量Y的一组数据，用统计软件SPSS分析计算，结果如下图和表。试给出分析的统计解说。

模型汇总 模型 1 R .980a R 方 .961 调整 R 方 标准 估计的误差 .960 .88218

Anovab 模型 1 回归 残差 总计 平方和 919.461 37.355 956.816 df 1 48 49 均方 919.461 .778 F 1181.467 Sig. .000a a. 预测变量: (常量), x。 b. 因变量: y

系数a 非标准化系数 模型 1 (常量) x a. 因变量: y B 12.092 5.697 标准 误差 .358 .166 标准系数 试用版 t 33.785 34.372 Sig. .000 .000 .980

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