高二数学数列专题练习题（含答案）

高中数学《数列》专题练习

(n?1)??S1an??Sn与an的关系： ，1．已知Sn求an，应分n?1时a1? ；

S?S(n?1)?n?1?nn?2时，an= 两步，最后考虑a1是否满足后面的an.

2.等差等比数列

定义 通项 等差数列 等比数列 an?an?1?d（n?2） an?a1?(n?1)d，an?am?(n?m)d,(n?m) an?1?q(n?N*) an ， 如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中中项 a?b项．A?。 2等差中项的设法： b的等比中项． a等比中项的设法：，a，aq q 若m?n?p?q，则 前n项和 性 质 函数看数列 Sn?n(n?1)n(a1?an)，Sn?na1?d 22am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q)2m?p?q，则 若 若2m?p?q,则有a2m?ap?aq,(p,q,n,m?N*)Sn、S2n?Sn、S3n?S2n为等差数列 an?dn?(a1?d)?An?B d22d2sn?n?(a1?)n?An?Bn22*（1）定义法：证明an?1?an(n?N)为一个常数； *（2）等差中项：证明2an?an?1?an?1(n?N，Sn、S2n?Sn、S3n?S2n为等比数列 an?a1nq?Aqnq aasn?1?1qn?A?Aqn(q?1)1?q1?q（1）定义法：证明常数 （2an?1(n?N*)为一个an项：证明判定方法 n?2) （3）通项公式:an?kn?b(k,b为常数)(n?N*) 2（4）sn?An?Bn(A,B为常数)(n?N*) ）中2an?an?1?an?1(n?N*,n?2) n（3）通项公式：an?cq(c,q均是不为0常数）

n（4）sn?Aq?A(A,q为常数，A?0,q?0,1） 3.数列通项公式求法。（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法 （3）累乘法（

(n?1)?S1an?1??cn型）；(4)利用公式an??；(5)构造法an??Sn?Sn?1(n?1)（an?1?kan?b型）(6) 倒数法 等

4.数列求和

（1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。5. Sn 的最值问题：在等差数列?an?中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

?a?0

的项数m使得Sm取最大值. ?0?m?1?a?0(2)当 a1?0,d?0时，满足?am?0 的项数m使得Sm取最小值。 ?m?1也可以直接表示Sn，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问

(1)当a1?0,d?0 时，满足?am题时,注意转化思想的应用。 6.数列的实际应用

现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题，常考虑用数列的知识来解决.

训练题

一、选择题

1.已知等差数列?an?的前三项依次为a?1、a?1、2a?3，则2011是这个数列的 (

B )

B.第1007项 C. 第1008项 D. 第1009项

A.第1006项

2.在等比数列{an}中，a6?a5?a7?a5?48，则S10等于 （A ） A．1023 B．1024 C．511 D．512 3.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝

A．－2 1C.2 答案 B

解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，∴2d＝a7－a5＝－1，即d1

＝－2.故选B.

4.已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12,a4+a6=－4,则S20为( A )

1

B．－2 D．2

( )

A.180 C.90 B.－180 D.－90

5．已知?an?为等差数列,若a1?a5?a9??,则cos(a2?a8)的值为（ A ） A．?1 2B．?13 C．

22D．

3 2( )

a29

6．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a11的值为

A．9 C．2 答案 D

B．1 D．3

2a9a7a115

解析 由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a7＝243，所以得a7＝3，又a11＝a11＝a7，

故选D.

1

7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝2S5，且a9＝20，则S11＝( )

A．260 C．130 答案 D

a1＋a5a1＋a111

5，又∵2S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝2×11解析 ∵S5＝2×

a3＋a90＋20

11＝2×11＝110，故选D. ＝2×

*

8．各项均不为零的等差数列{an}中，若a2n－an－1－an＋1＝0(n∈N，n≥2)，则S2 009等于

B．220 D．110

A．0 C．2 009 答案 D

B．2 D．4 018

2

n≥2)，解析 各项均不为零的等差数列{an}，由于an－an－1－an＋1＝0(n∈N*，则a2n－

2an＝0，an＝2，S2 009＝4 018，故选D.

9．数列{an}是等比数列且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于

A．5 B．10 答案 A

222

a4a6＝a5a4＋2a3·a5＋a4·a6＝a2解析 由于a2a4＝a2，所以a2·3，3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5)

C．15 D．20

5.又an>0，所以a3＋a5＝5.所以选A. ＝25.所以a3＋a5＝±

10．首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则

这个等比数列的第四项是

A．8 C．－6 答案 B

B．－8 D．不确定

( )

a6?(1＋3d)2＝(1＋2d)·(1＋5d) 解析 a24＝a3·

?d(d＋1)＝0?d＝－1，∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2. ∴a6＝a4·q＝－4，第四项为a6·q＝－8.

11.在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B )

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形

12.记等差数列?an?的前项和为sn，若s3?s10，且公差不为0，则当sn取最大值时，n?（ ）C

A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．7或8

13.在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2 011＝－2 011，a1 007＝3，则S2 012的值为

A．1 006 B．－2 012 答案 C

解析 方法一 设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得， 2 011×?2 011－1???S2 011＝2 011a1＋d＝－2 011，2?

??a1 007＝a1＋1 006d＝3，

C．2 012 D．－1 006

1为3

?a1＋1 005d＝－1，?a1＝－4 021，

即?解得??a1＋1 006d＝3，?d＝4.

2 012×?2 012－1?d 所以，S2 012＝2 012a1＋2 ＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 2 011?a1＋a2 011? 方法二 由S2 011＝2 ＝2 011a1 006＝－2 011， 解得a1 006＝－1，则

2 012?a1＋a2 012?2 012?a1 006＋a1 007?

S2 012＝ ＝22

2 012×?－1＋3?＝＝2 012. 2

2f?n?＋n14．设函数f(x)满足f(n＋1)＝(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝( ) 2A．95 C．105 答案 B

B．97 D．192

?

?f?19?＝f?18?＋18，n2

解析 f(n＋1)＝f(n)＋2，∴?……

?1?f?2?＝f?1?＋2.19

f?20?＝f?19?＋2，

121919×20

累加，得f(20)＝f(1)＋(2＋2＋…＋2)＝f(1)＋4＝97.

15.已知数列?an?的前n项和Sn满足log（2Sn?1)?n?1，则通项公式为（B ） A.an?2n(n?N*) B. an???3(n?1) n?2(n?2)C. an?2n?1(n?N*) D. 以上都不正确

16.一种细胞每3分钟分裂一次，一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内，恰好一小时充满该容器，如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ）

A．15分钟 B．30分钟 C．45分钟 D．57分钟 二、填空题

17.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4= 8. 18.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6= . 48 19.在等比数列?an?中，a1?1，公比q?2，若an?64，则n的值为 ．7 20.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则

S4a212= .

152

Sn2na100

12．数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若Tn＝3n＋1，则b100＝________. 199答案 299

a1＋a199

2a100S199199

解析 b100＝b1＋b199＝T199＝299.

2

21.数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?则?an?的通项公式 解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n??2，

两式相减得

an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?

又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?3n?1

22.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋1

2>9的最大正整数n的值为________．答案 4

2

a4＝4.又a3>0，因解析 设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a3＝a2·

11

(2)n－1＝24－n，an·an此a3＝a1q＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝2，a1＝8，an＝8×

2

＋1

·an＋2＝2

9－3n

111

9－3n

.由于2＝8>9，an因此要使2>9，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·

－3

1

an＋2>9的最大正整数n的值为4. ＋1·

S1031

23.等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若S5＝32，则公比q等于________．

1

答案 －2

S10－S531－32S1031111

55

解析 因为S5＝32，所以S5＝32＝－32，即q＝(－2)，所以q＝－2.

三、解答题

24.（本小题满分12分）

已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=

1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn． 2an?11【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有

?a1?2d?7，解得a1?3,d?2， ??2a1?10d?262n?1)=2n+1；Sn=3n+所以an?3?（n(n-1)?2=n2+2n。 21111111=?n+1，所以bn=2?(-)，== （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?2an?1（2n+1)2?14n(n+1)4nn+1n11111111T?(1-+?+?+-)?(1-)===所以n，

4(n+1)4223nn+14n+1即数列?bn?的前n项和Tn=

n。

4(n+1)25.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6． （I）求数列{an}的通项公式．

1{}的前n项和． （II）设bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列bn2解：

2232（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?1． 9由条件可知c>0，故q?1． 31． 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列{an}的通项式为an=

1． 3n（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an

??(1?2?...?n) n(n?1)??2故

1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?1所以数列{}的前n项和为?1bn2n n?1

1111

26.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(a1＋a2)，a3＋a4＋a5＝64(a3＋a4＋1a5)．

(1)求{an}的通项公式；

1

(2)设bn＝(an＋an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.

n

解析 (1)设{an}的公比为q，则an＝a1q－1.

由已知，有

??a＋aq＝2?＋?aaq?，?11??1

?aq＋aq＋aq＝64?aq＋aq＋aq?，

1

1

1

1

12

13

14

12131411

?a1q＝2，

6 化简，得??a21q＝64.

又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2

n－1

2

.

1?11?n－1222(2)由(1)知，bn＝?an＋an?＝an＋an＋2＝4＋4n－1＋2.

1

1－41－4n111

n－1n1n1－

因此，Tn＝(1＋4＋…＋4)＋(1＋4＋…＋4)＋2n＝1－4＋1＋2n＝3(4－4

1－4

n

－n

)＋2n＋1.

27.已知{an}为等比数列，a1?1,a5?256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，

b1?2,5S5?2S8.

（1） 求{an}和{bn}的通项公式；（2） 设Tn?a1b1?a2b2??anbn，求Tn. 解：（1） 设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4

所以an=4n-1.设{ bn }的公差为d，由5S5=2 S8得5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，

d?33a1??2?3, 222+4·5+42·8+…+4n-1(3n-1),① 所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2） Tn=1·4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),②

②-①得：3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)

=2+(3n-2)·4n∴Tn=（n-

2n2）4+

332Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n3328.设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,

(Ⅰ) 求a2的值；

(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式；

1117?????. (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有

a1a2an412,又S1?a1?1,所以a2?4；

331322 (Ⅱ) 当n?2时,2Sn?nan?1?n?n?n,

3312322Sn?1??n?1?an??n?1???n?1???n?1?

33122 两式相减得2an?nan?1??n?1?an??3n?3n?1???2n?1??

33aaaa 整理得?n?1?an?nan?1?n?n?1?,即n?1?n?1,又2?1?1

n?1n21【解析】(Ⅰ) 依题意,2S1?a2??1? 故数列?所以

a1?an??是首项为?1,公差为1的等差数列,

1?n?an?1??n?1??1?n,所以an?n2. n1711157?1???1???； (Ⅲ) 当n?1时,；当n?2时,a14a1a244411111???? 当n?3时,,此时 ann2?n?1?nn?1n11111111?11??11?1??1?????1??2?2???2?1???????????????a1a2an434n4?23??34??n?1n? ?1?111717????? 42n4n41117????. 综上,对一切正整数n,有?a1a2an4

2?29.设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足4Sn?an?1?4n?1,n?N,且

a2,a5,a14构成等比数列．

(1) 证明：a2?4a1?5； (2) 求数列?an?的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有

1111?????． a1a2a2a3anan?12221.【解析】（1）当n?1时，4a1?a2?5,a2?4a1?5，?an?0?a2?4a1?5

222（2）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4 22?an?0?an?1?an?2 an?1?an?4an?4??an?2?,

2?当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.

2?a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?a14，?a2?8??a2??a2?24?，解得a2?3,

22由（1）可知，4a1?a2?5=4,?a1?1

?a2?a1?3?1?2? ?an?是首项a1?1,公差d?2的等差数列.

?数列?an?的通项公式为an?2n?1. （3）

1111111?????????? a1a2a2a3anan?11?33?55?7?2n?1??2n?1?1??1??11??11??11??????1??????????????2??3??35??57??2n?12n?1???

1?1?1???1??.2?2n?1??230.a2,a5是方程x2?12x?27?0的两根, 数列?an?是公差为正的等差数列，数列?bn?的前n项和为Tn,且Tn?1?1bnn?N?. 2??(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;

(2)记cn=anbn,求数列?cn?的前n项和Sn.

2.解：(1)由a2?a5?12,a2a5?27.且d?0得a2?3,a5?9 …………… 2分

?d?a5?a2?2,a1?1?an?2n?1n?N? …………… 43??

分 在Tn?1?1211bn中,令n?1,得b1?.当n?2时,Tn=1?bn,Tn?1?1?bn?1,

3222两式相减得bn?b111bn?1?bn,?n??n?2? …………… 6分

bn?13222?1??bn???3?3?n?1?2?. …………… 8分 n?Nn3??(2)cn??2n?1??24n?2?, ……………… 9分 nn3352n?1?S32n?32n?1??13?1?Sn?2??2?3???n?,n?2?2?3????n?1?, n333333333???? …………… 10分

??1?1?2?1???n?1?1?12n?1?211?2n?1??193???n?1? ?Sn?2??2?2?3???n??n?1?=2??13333?3??3??3?31???3??=2???1?3112n?1?44n?4?n?n?1???n?1, ………………13分 3333?32n?2 …………… 14分 n3?Sn?2?

31.设数列?an?满足a1?0且

11??1.

1?an?11?an（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?1?an?1n,记Sn??bk,证明：Sn?1.

k?1n111??1,{}是公差为1的等差数列。 3解： 即（I）由题设

1?an?11?an1?an 又

111?1,故?n.所以an?1?. 1?a11?ann （II）由（I）得

bn? ?1?an?1n,

…………8分

n?1?n， n?1?n11??nn?1nnSn??bk??(111?)?1??1. …………12分 k?1k?1kk?1n?1

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