数学广角单元教材分析

《数学广角——鸽巢问题》单元教学分析

（一）教学目标

1．使学生经历“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会运用“抽屉原理”解决一些简单的实际问题。

2．使学生通过“抽屉原理”的学习，增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学习数学

的兴趣和应用意识。 （二）内容安排及其特点 1．教学内容和作用

“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实。如，将三个苹果放到两只抽屉里，要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果。虽然我们无法断定哪只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。如果将上述问题中的苹果换成铅笔、书本、小动物或数，同时，将抽屉相应地换成笔筒、学生、鸽舍或数的集合，仍然可以得到相同的结论。由此可以看出，上述推理的正确性与具体的事物是没有关系的。同样，不管苹果与抽屉的具体数量是多少，只要苹果的数量比抽屉的数量多，推理依然成立。

如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物叫做集合，那么上面的结论就可以表述为：假如有多于n个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少含有2个元素。它还可更一般地表述为：把多于kn（k是正整数）个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少含有（k＋1）个元素。

最早指出这个数学原理的，是十九世纪的德国数学家狄里克雷（Dirich1et，1805～1859），因此，这个原理被称为“狄里克雷原理”。又因为在讲述这个原理时，人们经常以抽屉、鸽巢为例，所以它往往也被称为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。它也被广泛地应用于现实生活中，如在招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。

由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模

型，是一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准（2011版）》的重要要求，也是本单元教材的编排意图和价值取向。

本单元教材的具体内容安排如下。

本单元教材的具体内容安排如下。 这三道例题，有着各自不同的作用。

例1描述的是“抽屉原理”的最简单情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法——枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。

例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式。本例即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k＋1）个元素”。若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2的一个特例。所以，本例的教学，目的是让学生认识“抽屉原理”的一般形式，进一步熟悉用假设法来分析问题的思路，提升对“抽屉原理”的理解水平。

例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题的例子。它是在学生通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。

2．教材编排特点

本单元教材在编排上有以下几个特点。

（1）以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的压力。 “抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一定的挑战性。如果学生的思维能力略弱，学习时面临的压力会更大。为此，教材选择了一些学生常见的、熟悉的事物，或者以一些有趣的、新颖的内容作为学习的素材，以增强学习材料的吸引力，提升学生学习的积极性，缓解学习难度带来的压力。如，在例1前，教材设计了一个抽扑克牌的魔术引入教学；例1则以学生熟悉的、可操作的铅笔和笔筒为素材，习题用鸽子和鸽笼为例；例2用书本和抽屉为素材，习题设计了“抢椅子”游戏；例3是摸球的游戏，习题则

是讲生日的事情；练习十三中有属相的素材，有飞镖的素材，还有涂色、抽筷子等各种有趣的活动。以上素材，学生熟悉，感兴趣，学习的主动性、积极性会有所提高。

（2）例题（习题）的编排关注细节，充分考虑学生学习的重、难点。

“抽屉原理”之所以难，一是难在模型的建立上，如学生不能灵活、准确地使用特定的术语（“总有”“至少”）来表述结论；二是难在它的具体应用，如何找到一些实际问题与“抽屉原理”模型之间的联系，

如何来思考一些变式的情况，有时，学生常常会感到无从下手。教材在编排时，充分考虑这些因素，紧紧围绕学生的认知特点和学习方式，在教学的关键处凸显细节，彰显指导性和启发性。如例1，相比上一版教材，几位同学的讨论对话中增加了一句话——“总有”和“至少”是什么意思？这两个词语是分析和理解问题的关键，本单元所有的讨论都将基于此展开，此处的编排极有意义。例2，上一版教材是5本书放进2个抽屉，现在则是7本书放进3个抽屉，且增加了一个8÷3＝2??2的例子。数据的细微调整，带有明确的目的——让学生更准确地把握除数、商、余数三者之间的关系，不至于产生“商十余数”或“除数＋1”的认知误区。

在例题与习题的衔接上，在习题的层次方面，教材也都很关注细节，体现出循序渐进的原则。整个单元习题的数量和难度，也是充分考虑了大部分学生的学习状况而作出合理的设置。

（3）以直观素材和实践操作为基础，逐步提升思维。

本单元教材选取的例子都有很强的直观性，师生可以很方便地开展实际的操作或演示。之所以这样编排，目的主要是借助直观，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感知分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。这既可分解学生学习的难度，又可使学生清晰地建立“待分物品”和“抽屉”之间关系的表象，为“假设法”的引入和理解打下基础。对于“假设”的思考方式，教材都紧接着以直观方式出现，因为两者存在紧密的内在联系，即“假设法”中先平均分的思路实际上就是直观方式中的一种，学生的思维发展恰到好处地与已有基础衔接，逐步走向深入。在教学“假设法”时，教材有意采用“还可以这样想”或“所以??”等启发性的语言，引导学生尝试有逻辑地去推理，逐步把握其模式。另外，例1只需口头表达推理的过程，例2提高到用算式表达推理过程（且情况逐渐复杂），例3则需要逆向思考（又摆脱算式），这种表达（思考）方式不断改变的过程，也是学生思维水平不断提升的过程。

（三）教学建议

1．要恰当把握教学要求。

总体而言，“抽屉原理”的内容（尤其它的具体应用）是有难度的。尽管在素材选择、编排细节上，教材经过了很多策略性的处理，但在实际教学中，教师还是会面临诸多问题，如有一定量的学生理解缓慢，思路不清，在面对变式时束手无策等。对此，教师要有心理准备，要有应对策略。一方面，教师要认识到这是正常的现象，认识到学生思维能力的差异性和思维发展的阶段性，对理解能力较弱的学生，教学时多让他们借助实物操作等直观方式进行学习，允许他们力所能及地理解和掌握知识。另一方面，更不能拔高要求，过于追求推理的严密性和规范性。如在具体的应用中，学生有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系很不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”以及如何思考。此时，教师不必过于追求学生“说理”的严密性，学生只要能结合具体问题把大致意思说出来，或者有一些个性

化的思考和表达，教师都应该予以肯定。 2．应让学生初步经历“数学证明”的过程。

在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明的。如要证明“有多于n个元素分成n个集合，那么一定有一个集合中，至少含有2个元素”，证法为“如果每个集合中至多只有1个元素，那么元素的总数至多是n个，而不是题设的多于n个，所以这不可能”。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“抽屉原理”的相关现象给出如此严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。本单元的习题，一般都是以“为什么”为问题要学生来解释原因的。这样的形式，学生很少经历过，他们的回答方式可能不规范。对此，教师可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明作准备。

3．要有意识地培养学生的“模型思想”。

“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力，需要引起教师的重视。

4．建议用3课时教学。

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