动力学-习题解6

6-5圆盘以匀角速度?1绕水平轴CD转动，同时CD轴又以匀角速度?2绕通过圆盘中心O的铅垂轴AB转动，如图所示。已知?1?5rad/s,?2?3rad/s，试求圆盘的瞬时角速度和瞬时角加速度的大小和方向。 解：

圆盘绕定点O作定点运动，圆盘的绝对角速度ω，以及绕轴CD的自转角速度ω1，绕AB轴的进动角速度ω2满足如下的矢量关系（如图所示，坐标系Axyz固连在框架ABCD上）：

角速度ω的大小：

2ω?ω12?ω2?34(rad/s)

ω?ω1?ω2

ω2

0za1

与坐标轴Ax,Ay的夹角分别为3058?,592?。圆盘的角加速度：

0A

a1

ω1

α?

dωdω1dω2dω1???dtdtdtdt

在结构运动的过程中，角速度ω2是常量，大小和方向都不变；角速度ω1只改变方向不改变大小，角速度矢量ω1以角速度ω2绕z轴旋转，矢端曲线为一个水平圆周。因此：

dω1?ω2?ω1dt

02角加速度α沿坐标轴Ay的方向，大小为：α?ω2ω1sin90?15(rad/s)

α?

o?6-6 顶角??60的圆锥轮I沿圆锥面II滚动而不滑动，锥面II按规律??2t(t以s计，

2以rad计)绕定轴按图示方向转动。试求t?1s时轮I上距锥面II最远点B的绝对速度的大小。已知轮心A相对于转动锥面II的速度vr垂直于图面向外，其大小vr?2t(t以s计，vr以

cm/s计)，又OA＝16cm。 解：

选B点为动点，动系固连在圆锥轮II上，则牵连运动为定轴转动，圆锥轮I相对于圆锥轮II作定点运动。动点B的绝对速度为：

ωII

vB?ve?vBr

其中：牵连速度ve的方向垂直于纸面向里，t?1s时大小为：

ωIr

??OAve??II?OBsin(900-)??II?OA??2 ?4t?OA?64(cm/s)

?

圆锥轮I相对于圆锥轮II作定点运动的瞬轴为OC，由圆锥轮I的轮心A相对于圆锥轮II的速度vr可知，圆锥轮I绕瞬轴OC转动的角速度ωIr方向如图所示，大小为：

?Ir?由此得：

vrOA?sin?2

vBr??Ir?2OA?sin

则B点的绝对速度为：

?2?2vr?4(cm/s)，方向垂直于纸面向外。

vB?ve?vBr?60(cm/s)，方向垂直于纸面向里。

6-7一圆锥沿半径是r的轮I表面滚动而不滑动，顶点A始终处在轮I的中心。圆锥母线长r，

2。轮I本身由曲柄EF(位于轮子下面)带动，沿同样大小的固定轮II滚动而不滑动。设曲柄具有匀角速度?0，圆锥底面中心D相对于轮I以速度vr?r?0作匀速圆周运动，

顶角

方向如图所示。试求当圆锥母线AC通过OA沿长线时圆锥底面直径CB上端点B的绝对加速度大小。 解：

选B点为动点，动系固连在圆盘I上，圆锥相对于圆盘I绕A点作定点运动。

ω In圆盘I沿圆盘II作纯滚动，盘心A的速ae

aRr 度：

???

aNr ac

ωr

vA?2?0r，

圆盘I的角速度：

?I?

vA?2?0r

盘心A作匀速圆周运动，加速度的大小：

2vA2aA?a??2?0r2r 方

nA向水平向左。

圆锥相对于圆盘I作定点运动，由圆锥底面中心D相对于圆盘I的速度vr可知，圆锥绕瞬轴AC转动的角速度ωr方向如图所示，大小为：

由此得B点相对于圆盘I速度方向垂直于纸面向外，大小为：

?r?vr?2?0r/2

vBr??rr?2?0r

在机构运动的过程中，圆锥相对于圆盘I绕瞬轴转动的角速度ωr只改变方向不改变大小。由圆锥底面中心D相对于圆盘I的速度vr可知，角速度矢量ωr以角速度?2ω0绕AF轴旋转，矢端曲线为一个水平圆周。因此圆锥相对于圆盘I的角加速度：

αr??2ω0?ωr

02角加速度αr的方向垂直于纸面向外，大小为：??2ω0ωrsin90?4?0。 B点的绝对加速度：

naB?ae?ar?ac?aA?aRr?aNr?ac?aA?aRr?aNr?ac

其中：aA的大小和方向如前所述。B点相对于圆盘I的转动加速度aRr为：

naRr?αr?r

02a??rsin90?4?r0r。B点相对于圆盘I的向轴加速度aNr为：方向水平向左，大小为：

aNr?ωr?(ωr?r)

22a??r?4?r0r。柯氏加速度ac为： 方向竖直向下指向瞬轴，大小为：Nr

ac?2ωI?vBr

02a?2?vsin90?8?IBr0r。由此得B点的绝对加速度的大小：方向水平向右，大小为：c

n2ac?(ac?aA?aRr)2?aNr?25?0r

2

6-10正方形框架每分钟绕固定轴AB转2周，圆盘又相对于框架每分钟绕对角线上的轴BC转2周，如图所示。试求圆盘的绝对角速度和角加速度。 解：

圆盘绕定点B作定点运动，圆盘的绝对角速度ω，以及绕AB轴的进动角速度ω1和绕轴BC的自转角速度ω2满足如下的矢量关系（方向如图所示）：

ω?ω1?ω2 其中ω1和ω2的大小：

圆盘的绝对角速度ω的大小：

?1??2?2?2??0.21(rad/s)60

ω1

ω2

ω?(ω1??2cos450)2?(?2sin450)2?0.39(rad/s)

ω

ω1

ω2

与AB和BD的夹角分别为2219?,6741?。圆盘的角加速度：

00α?

dωdω1dω2dω2???dtdtdtdt

在结构运动的过程中，角速度ω1是常量，大小和方向都不变；角速度ω2只改变方向不改变大小，角速度矢量ω2以角速度ω1绕AB轴旋转，矢端曲线为一个水平圆周。因此：

6-14如图所示，汽轮机的转子可看成是均质圆盘，质量m?22.7kg，半径r?0.305m，绕自转轴的转速n?10000r/min。两轴承A和B间的距离l?0.61m，汽轮机绕轴x的角速度??2rad/s。试求转子的陀螺力矩以及它在轴承A和B上引起的动压力。 解：

汽轮机转子的自转角速度ω1的大小：

α?dω2?ω1?ω2dt

02α?ωωsin45?0.031(rad/s) α12角加速度方向垂直于纸面向里，大小为：

?1?2?n?1047.2(rad/s)60

FA

ω1

进动角速度??2(rad/s)，则陀螺力矩MR：

FB

MR?Jzω1?ω

方向沿y轴负向，大小：

MR?Jzω1ωsin900?12mrω1ω?2211(N?m)2

陀螺力矩MR在轴承A，B上引起的动压力FA,FB的方向如图所示，大小：

FA?FB? 6-17 解：

MR?3.63(kN)l

飞轮自转角速度ω0的大小：

2?n?0??60?(rad/s)60

进动角速度??2?(rad/s)，则陀螺力矩MR：

FA动

FD

MR?JCDω0?ω

FA静

FC

MR

FB动 FB静

方向垂至于纸面向里，大小：

0M?Jωωsin90?144.9(N?m) RCD0

陀螺力矩MR在轴承C，D上引起的动压力FC,FD的方向如图所示，大小：

FC?FD?MR?483.0(N)CD

陀螺力矩MR在轴承A，B上引起的动压力FA动，FB动方向如图所示，大小：

R?241.5(N)2l

由重力在轴承A，B上引起的静压力FA静，FB静方向如图所示，大小：

FA动?FB动?

则轴承A和B上的全压力为：

MFA静?FB静?120?180?150(N)2

方向竖直向上； 方向竖直向下。

FA?FA动?FA静?91.5(N)

FB?FB动?FB静?391.5(N)

6-18图示均质圆盘质量为mB，半径为R，绕水平轴OB自转的角速度为?。不计轴的质量，欲使AB轴在水平面内以角速度?0绕铅直轴z转动????0，试求质量为mA的重物A应放置在轴上的位置，即求x?？ 解：

圆盘绕点O作定点运动，自转角速度为ω，进动角速度为ω0，且ω??ω0，则陀螺力矩MR：

方向沿x轴正向，大小：

MR?JABω?ω0

MR?

取整个系统为研究对象，受到重力和陀螺力矩的作用，如图所示，由此得：

mAg

Mx?mAgx?MR?mBgd?0

解得：

11mBR2ωω0sin900?mBR2ωω022

MR

?x

mBg

mB(2dg?R2??0)x?2mAg

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