2016-2017学年浙江省高三12月高考模拟数学（详细答案版）

2016-2017学年浙江省高三12月高考模拟数学

一、选择题：共10题

1．已知集合??={??∈??|0≤??≤4},??={??∈??||??|<3}，则??∪??=

A.[3,4] 【答案】B

B.(?3,4] C.(?∞,4] D.(?3,+∞)

【解析】本题主要考查集合的运算.

??= ??∈?? 0≤??≤4 ，??= ??∈?? ?? <3 = ??∈?? ?3

2．已知复数??=

1+ii

，其中i为虚数单位，则|??|= B. 2 2

A.2 【答案】C

1

C. 2

D.2

【解析】本题主要考查复数的运算和复数的模. ??=

1+ii

=

i 1+i i?i

=1?i, 则 ?? = 1+1= 2. 故选C.

3．“直线??与平面??内的两条直线都垂直”是“直线??与平面??垂直”的

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】本题主要考查线面垂直的判定及充分必要条件.

线面垂直的判定定理：若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直.所以，由“直线??与平面??垂直”可得“直线??与平面??内的两条直线都垂直”；但“两条直线”不一定相交，由“直线??与平面??内的两条直线都垂直”不一定得到“直线??与平面??垂直”，故“直线??与平面??内的两条直线都垂直”是“直线??与平面??垂直”的必要不充分条件. 故选B.

4．已知直线??=????是曲线??=ln??的切线，则实数??=

A.2 【答案】C

1

B.2?? 1

C.?? 1

D.??2 1

【解析】本题主要考查导数的几何意义.

设切点为 ??,ln?? , 由??=ln??得??′=??, 则切线斜率为??， 对应的切线为???ln??=?? ????? ，即??=?????1+ln??,

又直线??=????是曲线??=ln??的切线，∴??=??，且?1+ln??=0， 解得??=??. 故选C.

5．函数??=??cos??(???≤??≤??)的图象可能是

1

1

1

1

1

1

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】本题主要考查函数的图像和性质. ?? ?? =??cos??(???≤??≤??),利用排除法.

由?? 0 =0,排除C选项；由?? 2 =0,排除B、D选项,故函数??=??cos??(???≤??≤??)的图象可能是A. 故选A.

???2??≥0,

6．若整数??，??满足不等式组 ??+2??+4≥0,则3??+4??的最大值是

7??+2???8≤0,

π

A.?10 【答案】D

B.?6 C.0 D.5

【解析】本题主要考查简单的线性规划. 画出不等式组表示的平面区域，如图所示：

令??=3??+4??,作直线3??+4??=0，当直线3??+4??=0平移到过点??时，??=3??+4??取???2??=011

，得?? 1， ，??的最大值为3×1+4×2=5. 得最大值，由 27??+2???8=0故选D.

7．已知0

2

1

当??增大时

A.??(??)增大，??(??)增大 C.??(??)增大，??(??)减小 【答案】B

【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布和期望、方差公式. ?? ?? =???+，当??增大时，?? ?? 减小；

2

?? ?? = ?1+??? ×??+ ??? × ??? + 1+??? ×=???2+??+=

2222224? ???4 +16, 由0

152

29

12

12

1

12

1

5

1

1

B.??(??)减小，??(??)增大 D.??(??)减小，??(??)减小

8．设??，??，??是非零向量，若|?????|=|?????|=|(??+??)???|，则

2

1

A.???(??+??)=0 【答案】D

B.???(?????)=0 C.(??+??)???=0 D.(?????)???=0

【解析】本题主要考查向量数量积的运算.

|?????|=|?????|=|(??+??)???|= ?????+????? ，∴?????=?????，

22∴?????=?????=0，即(?????)???=0. 故选D.

9．如图，已知三棱锥?????????，记二面角??????????的平面角是??，直线????与平面??????所

1

1

成的角是??1，直线????与????所成的角是??2，则

A.??≥??1 【答案】A

B.??≤??1 C.??≥??2 D.??≤??2

【解析】本题主要考查线面角、二面角的求解.

设??在平面??????内的射影为??,过??作????⊥????于??，连结????， ∴sin??=定. 故选A.

10．已知??(??)，??(??)都是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，设函数??(??)=??(??)+??(1?

????

,sin??1=????

????????

,∵????≥????,∴sin??1≤sin??,∴??1≤??,而??与??2的大小关系不确

??)?|??(??)???(1???)|，若??>0，则 A.??(???)≥??(??)且??(1+??)≥??(1???) B.??(???)≥??(??)且??(1+??)≤??(1???) C.??(???)≤??(??)且??(1+??)≥??(1???) D.??(???)≤??(??)且??(1+??)≤??(1???) 【答案】A

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查分类讨论思想.

2?? 1??? ，??(??)≥?? 1??? ??(??)= ，

2?? ?? ，??(??)

2?? ??? ，?? ??

2?? ??? ，??(??)=?? ??? 0, ??+1 2? ???1 2=4??>0, ∴ 1+?? > 1??? ,?? 1+?? >?? 1??? ,

∴若?? ?? >?? 1+?? ，则?? ??? =2?? 1+?? ，?? ?? =2?? 1??? ， ∴??(???)>??(??)；

若?? 1??? ≤?? ?? ≤?? 1+?? ，则?? ??? =2?? ??? =2?? ?? ， ?? ?? =2?? 1??? ，∴??(???)≥??(??)；

若?? ?? ≤?? 1??? ，则?? ??? =2?? ??? =2?? ?? ，?? ?? =2?? ?? ，∴?? ??? =??(??). 综上??(???)≥??(??)，同理可得??(1+??)≥??(1???). 故选A.

二、填空题：共7题

11．抛物线??2=2??的焦点坐标是，准线方程是.

【答案】(2,0)，??=?2 【解析】本题主要考查抛物线的性质.

抛物线??2=2??的焦点坐标是(2,0)，准线方程是??=?2. 故答案为(2,0)，??=?2.

12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.

1

1

1

1

11

【答案】20+4 5，8

【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积和体积.

由三视图可得该几何体为一个三棱柱，底面是正视图中的直角三角形，高为2cm，则该几何体的表面积是2×2×2×4+2 2+4+2 5 =20+4 5cm2,体积是2×2×4×2=8cm3.

故答案为20+4 5，8.

??=，13．tan??=，??，??所对的边分别是??，??，??，在????????中，内角??，若??=2 3，则34sin??=，??=. 【答案】5，4+ 3 【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理.

由tan??=cos??=4,得??<2，又sin2??+cos2??=1,∴sin??=5，cos??=5， ∴sin??=sin ??+?? =sin??cos??+cos??sin??=×+×

5

2

5

3

1

4

32

sin??

3

π

3

4

3

??

3

1

1

=

3+4 310

, 由正弦定理sin??=sin??，得??=故答案为5，4+ 3.

3

??????sin??sin??

= 2 3×

3+4 310

×=4+ 3. 3

5

14．已知等差数列{????}的公差为??，等比数列{????}的公比为??，设{????}，{????}的前??项和分

别为????，????，若??2(????+1)=2??????，??∈???，则??=，??=. 【答案】2,2

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前??项和，考查恒成立问题. 由??????+1 =2????，得

??=2

??1???12

??

????+1????

=??2，即

2??

??1??????1?+1???1???1??2??2??+ ??1? 22=??2，

2??

∴

=1

??

??1?2=0 ??

2=1

,解得??=2，??=2.

故答案为2,2.

15．如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只

能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(用数字作答).

【答案】10

【解析】本题主要考查排列组合问题.

对集装箱编号，左边三个从上到下依次为1，2，3，右边两个从上到下依次为4，5，则排列的相对顺序为1，2，3与4，5，故不同取法的种数为A3A2=10.

32

A55

故答案为10.

16．已知直线??：??=????(??>0)，圆??1：(???1)2+??2=1与??2：(???3)2+??2=1，若

直线??被圆??1，??2所截得两弦的长度之比是3，则实数??=. 【答案】3

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 由题意得， 1?故答案为3.

17．已知函数??(??)=??2+????+??(??,??∈??)在区间(0,1)内有两个零点，则3??+??的取值

1

??2??2+1

1

=3 1?

9??2??2+1

,解得??=3. 1

范围是. 【答案】(?5,0)

【解析】本题主要考查函数零点的分布及二次函数的图像和性质.

?? 0 =??>0

?? 1 =1+??+??>0

??,若函数?? ?? =??2+????+??在区间 0,1 内有两个零点，只需0

2??????2

??=?+??<0 ? 222解得?5<3??+??<0. 故答案为(?5,0).

三、解答题：共5题

18．已知函数??(??)=sin??sin(??+).

6

??

(1)求??(??)的最小正周期；

(2)当??∈[0,2]时，求??(??)的取值范围.

311??3【答案】(1)由题意得??(??)= sin2??+sin??cos??=sin(2???)+ ，

2

2

2

3

4

??

所以函数??(??)的最小正周期??=??.

(2)由0≤??≤2知，? 3≤sin(2?????)≤1，

2

3

??

所以函数??(??)的取值范围为[0,+ ].

24

【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、倍角公式，考查正弦函数的性质. (1)利用两角和与差的正弦公式及倍角公式化简解析式，再由正弦函数的周期公式可得结论；

(2)利用的正弦函数的单调性和值域，可得结论.

19．??是????的如图，已知四棱柱???????????1??1??1??1的底面是菱形，侧棱????1⊥底面????????，

13中点，∠??????=120°，????1=????.

(1)证明：????1//平面??1????1；

(2)求直线????1与平面??1????1所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明：连接??1??1交??1??1于点??，连接????，????. 因为????????为菱形，所以点??在????上，

且????1//????，又????1=????，故四边形????1????是平行四边形， 则????1//????，因此????1//平面????1??1. (2)由于??1??1??1??1为菱形，所以??1??1⊥??1??1，

又???????????1??1??1??1是直四棱柱，有??1??1⊥????1，则??1??1⊥平面????1??1??， 因此平面????1??1??⊥平面????1??.

过点??作平面????1??1??和平面????1??1交线????的垂线，垂足为??，得????⊥平面????1??1， 连接????1，则∠????1??是直线????1与平面????1??1所成的角，

设????1=1，因为????????是菱形且∠??????=120°，则????=2，????= ，

2

5在????????????1中，由????=2，????1=1，得????1= ，

2

321在????????????中，由????= ，????=1，得????= ，

2

7

????????1

2 105351

1

3所以sin∠????1??=

=. 【解析】本题主要考查线面平行的判定、面面垂直的判定及性质，考查线面角的求法. (1)连接??1??1交??1??1于点??，连接????，????.证明????1????是平行四边形，得线线平行，再由线面平行的判定可得结论；

(1)作出平面的垂线，即可找到线面角，求出相关线段的长度可得结论.

20．设函数??(??)=??2+1

1 1+??，??∈[0,1].

证明：(1)??(??)≥??2?2??+1； (2)15

【答案】(1)记??(??)=??(??)???2?1+2= 1+???1+2，

′

则?? ?? =?2 1+?? 3+2，??∈(0,1)，

11

??

1??

那么，??(??)在区间[0,1]上单调递增，

又??(0)=0，所以??(??)=??(??)???2?1+2≥0， 从而??(??)≥??2?2+1. (2)??′(??)=2???2 (1+??)3，

12记??(??)=2???2 (1+??)3，由??(0)=?2<0，??(1)=2? >0，

8

11??

??

知存在??0∈(0,1)，使得??(??0)=0.

因为??(??)在[0,1]上是增函数，所以，??(??)在区间(0,??0)上是单调递减，在区间(??0,1)上单调递增，又??(0)=1，??(1)=

1

2+ 2，从而??(??)2

??

≤

2+ 2. 2

1

15

15

1

15

另一方面，由(1)得当??≠4时，??(??)≥??2?2+1=(???4)2+16>16，且??(4)>16， 因此，

15

2+ 2. 2

【解析】本题主要考查导数在研究函数单调性、最值及证明不等式中的综合应用. (1)作差，构造函数??(??)=??(??)???2?1，利用导数研究函数??(??)的单调性和最值，可得结论；

(2)求导，构造函数?? ?? =??′ ?? ，利用导数讨论函数?? ?? 的单调性和最值，从而得到??(??)的单调性和最值，命题得证.

21．如图，已知椭圆

??22

??，右顶点分别是??，设点??( 2,??)(??>0)，连接????交+??2=1的左、

椭圆于点??，坐标原点是??.

(1)证明：????⊥????；

(2)若四边形????????的面积是3 2，求??的值.

5

??2

??【答案】(1)设直线????的方程为??=2 2(??+ 2)，由 整理得(4+??2)??2+2 2??2??+2??2?8=0， 解得??1=? 2，??2=

4 2? 2??2

4+??2

2

+??2=1,

?? ??=2

(??+ 2),2，则点??的坐标是(

4 2? 2??2

4+??2

,

4??4+??2

)，

2故直线????的斜率??????=? . ??

由于直线????的斜率??????= 2，故?????????????=?1，所以????⊥????. (2)由??四边形????????=得

2??3+2 2??4+??23 25

??，??四边形????????=

2??3+2 2??， 4+??2

=

3 25

，整理得(???1)(5??2+2??+12)=0，

因为5??2+2??+12≠0，所以??=1.

【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系.

(1)设出直线????的方程，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理证明两直线斜率之积等于?1即可；

(2)将四边形的面积转化为关于??的表达式，得到关于??的方程即可求解.

????+1=??2，????+1=??2.记????，22．????分别是数列{????}，已知数列{????}满足??1=1，{????2}1+??1+??

??

??

????

的前??项和，证明：当??∈???时， (1)????+1

1

??+1

2?2???1；

(3) 2???1

??

【答案】(1)由??1=1及????+1=1+????2知????>0，

??

????

故????+1?????=1+??2?????=1+??2<0，

??

??

?????

3

所以????+1

1

??+1

=??+????，得??

??

11

??+1

2=??

1?????1

1

??2+????2+2，

1??121

??+1

2=

1????

2+????2+2=

2+?????12+????2+2×2=?=+??12+??22+?+

????2+2??，

又??1=1，所以????=??(3)由(2)知????+1= ??1

??+1

2

?2???1，??∈???.

1??2??≤2??+2， +2??+1，由????≥??1=1，得??+1 1 2??1所以，当??≥2时，????≤

=

22 ??<

2 ??+ ???1= 2( ??? ???1)，

由此????

又??1=1，故????< 2??. 另一方面，由????=??

1

??+1

???，得????=??

??

11

??+1

???≥ 2??+2?1> 2???1.

1

1

综上， 2???1

1

??+1

2

=??

1

??2

+????2+2，求和，即可得结论；

(3)利用放缩法，求和，即可得证.

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