2017年1月上海市五校联考高三理科数学试卷及答案

上海市五校联考高三数学(理科)试卷

考生注意：

1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写考号等信息。

3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）

1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ．

2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-= ，若a b ⊥ ，则b ＝________．

3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N

?，则实数a 的取值范围是 ．

4．已知幂函数

()f x 过点，则()f x 的反函数为

1()f x -= ． 5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞

→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．

6．若直线l ax y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）

7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有

12

120

()()

x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集

为 ． 8

．

如

图

所

示为函数

()()2sin f x x ω?=+(0,2

π

ω?π>≤≤)的部

分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________. 9. 已知函数

21

3

,1()log , 1x x x f x x x ?-+≤?

=?>?? ，若对任意的R x ∈，不等式 23

()4

f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .

10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ． 11. 在正

ABC

?中，

D

是

BC

上的点，若

1

,3==BD AB ，则

=?AD AB ．

12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差

为2的等差数列，满足

891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．

13．过点*1

(2,0)()n N n

-

∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ?的面积为n S ，则lim n n S →∞

= ____ ____．

14. 设1271a a a ≤≤≤≤ ，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．

二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）

15．已知命题:12x α-≤，命题3:01

x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）

A. 通过平移可以重合

B. 不可能垂直

C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形

D. 通过绕1l 上某点旋

转可以重合

17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）

A ．510x y +??=????

B ．410x y +??=????

C ．310x y +??=????

D ．10x y ??=????

18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤?∧=?>?，

,,b a b a b a a b

≤?∨=?>? ．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,

2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤ C ．2,

2a b c d ∧≥∨≥ D ．2,2a b c d ∨≥∨≥

三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）

19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分． 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量

()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35

m n →→?=-． （1）求sin A 的值；

（2）若

5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．

20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问?是否

为定值，说明理由．

21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π

=，数列{}n β满足()7236

n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：

①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=．

（1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求

实数m 的值；

（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．

22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．

（1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R π??=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部

奇函数”？并说明理由；

（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；

（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．

23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．

由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．

1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28

（1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y1ce.html