(上海南汇中学)直线方程与圆锥曲线复习建议

直线方程与圆锥曲线复习建议

上海南汇中学

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆锥曲线的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：

1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主； 2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题； 3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。

下面，本人结合自己对这部分内容的理解，集合我们备课组集体的智慧，谈一下这部分内容的一些复习建议，有不当之处，欢迎批评指正。 一、考纲分析

根据大纲要求，可考虑安排20课时左右进行复习 具体课时安排

1、直线方程 2课时 2、两条直线的位置关系 3课时 3、坐标平面上的直线综合应用 2课时 4、曲线与方程 2课时 5、圆的方程 3课时 6、椭圆 2课时 7、双曲线 2课时 8、抛物线 2课时 9、直线与圆锥曲线的位置关系 2课时 二、本部分内容总体分析

（一）知识特点

1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，这些内容是解析几何最基本的、也是很重要的内容，是高中数学的重点内容之一，也是高考重点考查的内容之一； 2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念多、公式多、内容多，具有较强的综合性；

3、研究圆锥曲线的方法具有类比性，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。 （二）重点关注

1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题或填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；

2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；

3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；

4、注重数学思想方法的应用

解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。 三、具体要求 （一）直线方程 1.

2．知识要点：

①掌握与直线有关的基本概念：方向向量、法向量、倾斜角、斜率；

②掌握求直线方程的方法；

③能熟练判断点与直线、直线与直线的位置关系；

④掌握点到直线的距离公式与两条直线的夹角公式及两条直线的交点的求法。 3．重点与难点： ①求直线方程；

②解与直线平行、垂直，距离公式和夹角公式有关的问题． 4．思想方法与能力：

①待定系数法求解点的坐标或直线方程； ②利用坐标法研究直线的方法； ③利用向量方法处理有关直线问题． 5.考纲解读 【知识点1】：直线的点方向式方程 【考试要求】：掌握直线的点方向式方程。

【解读】：理解确定直线的基本条件：一个点P(x0,y0)和一个方向d (u,v)。对直线的点方向式方程主要关注的是方程的形式

x x0

u

y y0

v

(uv 0)，对u 0或v 0的情

形需要补充定义。

【举例说明】：1、经过点P(x0,y0)，且与向量d (u,v)平行的直线方程是（） A.

x x0

u

y y0

v

B.

x x0y y0

uv

C. y y0

vu

(x x0)D. u(y y0) v(x x0)

【答案】：D

【知识点2】：直线的点法向式方程 【考试要求】：掌握直线的点法向式方程，认识坐标法在建立形与数关系中的作用。

【解读】：理解直线法向量的概念，能够根据一个点P(x0,y0)和直线的法向量n (a,b)，写出直线的点法向式方程a(x x0) b(y y0) 0，明确直线的方向向量与法向量之间的关系及两种方程之间的相互转化。 【举例说明】：

1、已知点A(1,6)，B( 1, 2)和C(6,3)是三角形的三个顶点，求AC边的垂直平分线的方程。

【答案】：5x 3y 4 0

2、求过点(2, 1)且以直线3x 2y 5 0的法向量为方向向量的直线方程。 【答案】：2x 3y 1 0 【知识点3】：直线的一般式方程

【考试要求】：会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。

【解读】： 能够根据条件求出直线的一般式方程，理解直线的点方向式方程、点法向式方程与一般式方程之间的转化，根据一般式方程ax by c 0，能正确得出方向向量

d ( b,a)，法向量n (a,b)，斜率k 【举例说明】：

ab

及在y轴上的截距为

cb

等。

1、写出直线2x 3y 1 0的一个方向向量d和一个法向量n。 【答案】：(3,2),(2, 3)

2、直线y

12

x关于直线x 1对称的直线方程为

【答案】：x 2y 2 0

3、光线由P(2,3)射到直线x y 1 0上，反射后到点Q(1,1)，求反射光线所在的直线

方程。

【答案】：4x 5y 1 0 【知识点4】：直线的倾斜角与斜率 【考试要求】：掌握点斜式方程

【解读】：理解倾斜角与斜率的含义与关系，注意直线倾斜角的范围 [0, )。根据条件正确地求出直线的点斜式方程y y0 k(x x0)。在求直线方程时特别关注斜率不存在的情形。 【举例说明】：

1、直线4x y 1 0的倾斜角 【答案】： arctan4。

2、直线l的方程为y tan x 3，则（ ）

A. 一定是直线l的倾斜角 B. 一定不是直线l的倾斜角C. 一定是直线l的倾斜角D. 不一定是直线l的倾斜角 【答案】：D。 3、直线l的方程为2x y 3 0，则l的斜率为 ，倾斜角为 ，一个方向向量为 。

【答案】： 2, arctan2,(1, 2)。

4、求过点(3,5)且倾斜角为arccos

45

的直线方程。

【答案】： 3x 4y 11 0。

【知识点5】：两条直线的平行关系与垂直关系

【考试要求】：会通过直线方程判断两条直线平行或垂直。利用直线的法向量（或方向向量），讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时，它们的方程应满足的条件。

【解读】：关于两条直线的平行关系与垂直关系可以从两个角度判断，一是通过方程组解的情况判断，当方程组无解时，则两直线平行；当方程组有无数组解时，则两直线重合；当

a1a2 b1b2 0时，两直线垂直。二是通过两条直线的斜率及在y轴上的截距之间的关系

判断。两种方法必须熟练掌握。

【举例说明】：1、求过点P( 2, 1)且垂直于直线l0:3x y 3 0的直线的一般式方程。 【答案】： x 3y 1 0

2、已知两直线l1:mx 8y n 0,l2:2x my 1 0。试确定m,n的值，使l1与l2平行。

【答案】： m 4,n 2或m 4,n 2

3、当m为何值时，三条直线l1:4x y 4,l2:mx y 0,l3:2x 3my 4不能构成三角形？

【答案】： m 4,

12

,, 1 63

x

4、直线l1: 1

y01a

2

1

1 0的方向向量与l2: 1

x3a 10

2

y03b

1

1 0的法向量平行，1

0

a,b R，求ab的最小值。

【答案】： 2 【知识点6】：两条相交直线的交点和夹角

【考试要求】：会求两条相交直线的交点坐标和夹角。 【解读】：通过解方程组能正确求出两条直线的交点坐标，掌握求两条直线夹角的两种方法：

cos

a1a2 b1b2

a1 b1

2

2

a2 b2

22

,tan

k1 k21 k1k2

，当然应注意适用范围。

【举例说明】： 1、过原点直线l1:

3x y 0,l2:kx y 1 0，若l1与l2夹角为60，则k 0

【答案】： 0或3

2、直线l1过点A( 2,1)且与直线l2:2x y 1 0的夹角为arctan【答案】： x 2或3x 4y 10 0

12

，求直线l1的方程。

3、求经过直线l1:x 3y 3 0与l2:2x y 8 0的交点且与直线l3:x 2y 4 0垂直的直线方程。 【答案】： 2x y 8 0

【知识点7】：点到直线的距离 【考试要求】：掌握点到直线的距离公式

【解读】：掌握点P(x0,y0)到直线ax by c 0的距离公式d

ax0 by0 c

a b

2

2

，包括

公式的推导（直接法、向量法）和公式的应用，而公式的应用包括正向和逆向运用。 【举例说明】：

1、点P(4,a)到直线2x 3y 2 0的距离为，则a

【答案】：

193

,

73

2、已知x y 1 0，则(x 1) (y 1)的最小值为22

【答案】：

32

2

3、与直线x y 3 0平行且距离等于22的直线方程为 【答案】： x y 1 0,x y 7 0

4、对于平面上任意一点P，当点Q在线段AB上运动时，称PQ的最小值为点P与线段已知定点A(1, 2)和B(4,1)，动点P在x轴上运动，写出点P(t,0)到线段ABAB的距离，

的距离h关于t的函数关系式。

(t 4)2 1,t 5

t 3

, 1 t 5 【答案】： h

2

(t 1)2 4,t 1

（二）圆锥曲线 1．知识结构：

2．知识要点：

①理解曲线与方程的概念，能判定点与曲线的关系；

②掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义以及它们的标准方程；

③理解圆、椭圆、双曲线、抛物线的几何特征；

④能解决直线与圆锥曲线的位置关系问题（如弦长问题、中点问题、对称问题等） 3．重点与难点：

①求圆锥曲线方程；

②求解直线与圆锥曲线的位置关系问题． 4．思想方法与能力：

①领会数与形的相互转化；

②利用代数方法研究几何问题的思想方法． 5.考纲解读 【知识点8】：曲线方程的概念

【考试要求】：理解曲线方程的概念。以简单的几何轨迹问题为例，会求曲线方程的一般方法和步骤，知道适当选取坐标系的意义，会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标系建立曲线的方程，再用代数方法研究曲线性质的基本思想。

【解读】：对该知识点的掌握，首先要正确理解曲线方程的概念，体会数形结合的思想，掌握求曲线方程的一般方法（直接法）；会求两条曲线的交点，特别是直线与二次曲线的关系包括位置关系的判定（ 法）、弦长的计算（ k

2

x1 x2）、弦的中点坐标的表示。

【举例说明】： 【答案】： 1、下列四组方程中， 组表示同一曲线 A.y x与y

2

2

xB. y lgx与y 2lgxC.

y 1x 2

1与lg(x 2) lg(y 1)D.

22

x y 与y x

2

【答案】：D

2、若曲线y x b与y x x 2有两个不同的交点，则A.b 0B. b 1C. b 1D. b 1 【答案】：B

3、一动点到点A(12,16)的距离是它到点B(3,4)的距离的2倍，则此动点的轨迹方程为 【答案】：x y 100

【知识点9】：圆的标准方程和一般方程 【考试要求】：以直线与圆的位置关系为例，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。掌握圆的标准方程和一般方程。 【解读】：能够根据条件选择适当的形式求出圆的方程，掌握直线于圆的位置关系的判断方法（通过d与r的关系判断），重点关注直线与圆相交的情形，直线被圆所截弦长

2

2

2

2r d。特别关注利用数形结合的方法解决问题的能力。

【举例说明】：

1、直线y 2x 1被圆x y 2y 1 0所截得的线段长为2

2

22

【答案】：

25

30

2、以C( 1,2)为圆心，且与直线l:2x 3y 5 0相切的圆的方程为

【答案】：(x 1) (y 2) 13

22

3、已知圆C的方程为x y 6x 8y 21 0，直线l的方程为

22

kx y (4k 3) 0，

（1）证明：不论k为何实数，直线l与C必相交。

（2）设l与圆交于A，B两点，问k为何值时，弦AB的长度最小？并求出这个最小值。 【答案】：（1）直线过圆内一点P(4,3)，故直线l与C必相交。（2）k 1时，弦AB的长度最小为22。

2

2

2

2

4、已知实数x,y满足x y 4y 3 0，求（1）x y的最大值；（2）（3）x 2y的最小值

【答案】：（1）9；（2）( , 3] [3, )；（3） 4

yx

的范围；

5

【知识点10】：椭圆的标准方程和几何性质 【考试要求】：掌握椭圆的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x轴上椭圆的标准方程。 【解读】：这里只研究椭圆的标准方程，重点研究焦点在x轴上的椭圆的性质。包括椭圆方程的确定（待定系数法，轨迹法）；椭圆定义在解题中的应用；直线与椭圆的位置关系（交点个数，弦长，弦中点）等。直线与二次曲线的问题特别注意代数式及方程式的化简及等价变形。 【举例说明】：

1、若椭圆的两个焦点为F1( 2,0),F2(2,0)，椭圆的弦AB过点F1且 ABF2的周长为12，那么 该椭圆的方程为 【答案】：

x

2

9

y

2

5

1

2

2

2、设椭圆的标准方程为【答案】：k 3 3、求与椭圆

2

x

5 k

y

3 k

1，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是

x

2

9

y

2

y

2

4

1有相同焦点，且经过点F(3, 2)的椭圆方程。

【答案】：

x

15x

2

10y

2

1

4、在椭圆

40

10

1内有一点M(4, 1)，弦AB的中点恰为点M，求弦AB所在直线

方程。

【答案】：x y 5 0

5、若M是椭圆面积。 【答案】：12

x

2

64

y

2

36

1上一点，F1,F2是焦点，若 F1MF2 600，求 F1MF2的

3

6、已知圆C的方程(x

3

322

) y 64,A(,0),M为圆上任一点，线段MA的线段平分22

线交CM与点P，求点P的轨迹方程。 【答案】：

x

2

16

4y55

2

1

【知识点11】：双曲线的标准方程和几何性质

【考试要求】：掌握双曲线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x轴上双曲线的标准方程。

【解读】：这里只研究双曲线的标准方程，重点研究焦点在x轴上双曲线的性质。包括双曲线方程的确定（待定系数法，轨迹法）；双曲线定义在解题中的应用；直线与双曲线的位置关系（交点个数，弦长，弦中点）等。特别关注双曲线渐近线的有关性质等。 【举例说明】：

1、等轴双曲线x y 1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是 【答案】：( ,0) (1, )

2、焦距是10，两顶点之间距离为6的双曲线标准方程是 【答案】：

2

2

x

2

9

y

2

16

1，

2

y

2

9

2

x

2

16

1

3、双曲线的顶点为椭圆方程。 【答案】：

xy

2516

1的焦点，双曲线的焦点为椭圆的顶点，求此双曲线的

x

2

9

y

2

16

2

1 y

2

4、求与双曲线

x

16

2

9

2

1有共同的渐近线，且经过点M(23, 3)的双曲线方程。

【答案】：

4x9

y

4

1

5、在 ABC中，已知B( a,0),C(a,0)(a 0)，顶点A为动点，且满足

sinC sinB

12

sinA，求动点A的轨迹方程。

【答案】：

xa

22

y

22

3a4

1(x

a2

)

4

6、斜率为2的直线l被双曲线2x 3y 6截得的弦长为4，求直线l的方程。

22

【答案】：y 2x

2103

2

2

2

7、设直线l方程为y kx 1，等轴双曲线C:x y a(a 0)的中心在原点，右焦点坐标为(2,0) （1）求双曲线方程；

（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A,B两点，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示点M的坐标；

（3）设点Q( 1,0)，求直线QM在y轴上截距的取值范围。

【答案】：（1）x y 1；（2）k (1,

22

2),M(

k

2

k 1k 1

,

1

2

)；（3）(2 1,1) 。

【知识点12】：抛物线的标准方程和几何性质 【考试要求】：掌握抛物线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x轴上抛物线的标准方程。

【解读】：这里只研究抛物线的标准方程，重点研究焦点在x轴上抛物线的性质。包括抛物线方程的确定（待定系数法，轨迹法）；抛物线定义在解题中的应用（抛物线上点到焦点距离与到准线距离的转换）；直线与抛物线的位置关系（交点个数，弦长，弦中点）等，特别是过焦点的直线的性质包括焦半径的性质等。 【举例说明】：

1、若抛物线y 2px(p 0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p等于【答案】：4 2、经过抛物线y

22

4x的焦点F作倾角为

3

的弦AB，则AB的长为

【答案】：

163

3、以直线2x 3 0为准线的抛物线的标准方程为 【答案】： y

2

6x

4、若动点P到点F(4,0)的距离比到直线x 5 0的距离少1，则动点P的轨迹方程是 【答案】：y 16x

5、顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，被直线y 2x 1截取的弦长为，求此抛物线的方程。

【答案】：y 12x ，y

2

2

2

2

4x

6、已知抛物线y 2px(p 0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方

OB中点为M 的点，A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直与y轴，垂足为B，

（1）求抛物线的方程；

（2）以M作MN FA，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上的动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。 【答案】：（1）y

2

84

（2）N(,)；（3）当m 1时，直线AK与圆M相离；当m 1 4x；

55

时，直线AK与圆M相切；当m 1时，直线AK与圆M相交。 四、学习中需要注意的问题 (一)在平面解析几何的复习中，教师应帮助学生深入体验如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。 注意以下几点：

1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。

2．注意在解决问题的过程中，充分利用图形。学生在解解析几何的题目时，往往在得到曲线的方程以后就把图形抛到一边去了，不再利用图形，忽视了图形直观对启发思路的作用。例如，巳知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，求这两点的距离。 解这个题目如果单纯用代数方法，可以完全不用图形；可是借助图形可以使问题变得简单。在解决解析几何的问题中，充分利用图形，有时不仅简单，而且能开阔思路。 3．教材结合圆锥曲线几何性质的教学，突出了圆锥曲线标准方程中a、b、c、p的几何意义，根据它们的几何意义来画草图就比较方便，复习时要充分利用这一点，使学生能顺利地画出圆锥曲线的草图。

（二）曲线方程部分

1．求曲线的方程问题和根据方程研究方程所表示的曲线所具有的性质是解析几何学的两大基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹，其实质就是利用题设中几何条件，通过“坐

标互化”将其转变为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用，只要动点满足已知曲线的定义时，就可以直接得出方程。 要注意一些轨迹问题，都包括一定的隐含条件，也就是曲线上的点的取值范围。

2．解答曲线的方程问题，首先要明确圆锥曲线的性质，作好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等等，注意将动点的几何性质用数学语言表述。

3．在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出轨迹方程以后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其删除；另一方面，还应注意有无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回，即轨迹上点不能含有杂点，也不能少点，也就是曲线上点不多也不少。

（三）直线与圆锥曲线位置关系部分

直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑，这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼，达到优化解题的目的。

1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，常会出现漏解的情况，用代数法求解时，容易忽视消元后一元二次方程的二次项系数是否为零的讨论；在利用几何法解题时，容易忽视特殊情况的讨论，如与双曲线的渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况；这些情况要特别加以注意。

2．解决直线与圆锥曲线相交问题时，不要忽视△>0这一条件；

3．在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形辅数的方法；

4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，涉及到中点的问题，除利用韦达定理以外，用“点差法”也较为简单。由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用。 5．检验直线斜率k不存在的情况。 五、测试卷

测试卷

一、填空题：(每题4分)

1．原点在直线l上射影是( 4,2)，则直线l的方程为

2．已知点P(1,3)和Q(3,1)，O为坐标原点，OP,OQ的倾斜角分别为 , ，则

。

x

2

3．双曲线

9

y

2

m

=1的焦距是10, 则实数m的值为________________。

4．过( 1,2)而与抛物线y 2x仅有一个公共点的直线的条数有_____ 条。

x

22

2

5．双曲线C的方程为

k 1

y

22

4 k

1，则k的取值范围是 。

6. 线段PQ的端点坐标分别为P 1,1 和Q 2,2 ，若直线l:x my m 0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 。

7．若直线y x

b与曲线x b的取值范围是 。 8．若动圆与两定圆(x 5)2 y2 1及(x 5)2 y2 49都外切，则动圆圆心的轨迹方程 是 。

9．在抛物线y2 4x上求一点Q，使它到点A 7,8 与到准线的距离之和最小，则点Q的坐标是 。

10． ABC中，|BC| m，|AB| |AC| n(0 m n,且m,n为定值），则 ABC面 积的最大值为 。

11．直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆为 。 12．已知P为双曲线

x

2

x

2

5

y

2

m

1总有公共点，则m的取值范围

2

y

2

8

1上一点，F1、F2为两焦点，

且S F1PF2 ，则 F1PF2

的大小为 。 13．已知两点M(1,)、N( 4,

45

54

)，给出下列曲线方程：（1）4x 2y 1 0；（2）

x y

22

（3） 3；

x

2

2

y

2

（4） 1；

x

2

2

y

2

1，在曲线上存在点P满足MP NP的

所有曲线方程是 （填写序号）。 14.

已

知对

应

法则

f：P（m,n) P (m,

n)(m 0,n 0)

，现有

A(9,3) A ,B(3,9) B ，M是线段AB上的一个动点，M M ,当M在线段AB

上从A开始运动到B结束时，点M 从A 运动到B ，则M 所经过的路线长为 。

二、选择题：（每题4分）

15．以双曲线

2

2

x

2

9

y

2

16

1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 （ ）

A．x y 10x 9 0 C．x y 10x 16 0

2

2

B．x y 10x 16 0 D．x y 10x 9 0

2

2

22

16．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,

则这样的直线 ( ) A．有且仅有一条 B． 有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

2

17．设F为抛物线y 4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA FB FC 0，

则FA FB FC （ ）

A．9 xa

22

B．6 yb

22

C．4 D．3

18．P是椭圆

1(a b 0)上异于顶点的任意一点, F1,F2为其左右焦点,则以PF2为

直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 （ ） A．相交. B．内切 C．内含 D．不确定

三、解答题： （19题12分，20题14分，21题16分，21、22题18分）

19. 已知圆方程是(x 2)2 (y 2)2 25，直线l平行于2x y 的弦长为8，求直线l的方程。

20.学校天文小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为

x

2

12

0，且在圆上截得

100

y

2

25

1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返

回的轨迹是以y轴为对称轴、M 0,

64

为顶点的抛物线的实线部分，降落点为7

D(8,0). 观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

21．已知双曲线

xa

22

yb

22

1的一个顶点与虚轴的两个端点构成等边三角形的三个顶点，过

32.

A(a,0),B(0, b)两点的直线到原点的距离是

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

22．在直角坐标系xOy中，以O

为圆心的圆与直线x （1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PAPOPB成等比数列，求

4相切．

PA PB的取值范围．

23．已知曲线C:x yy 1 （1）画出曲线C的图像；

（2）若直线l:y kx 1与曲线C有两个公共点，求k的取值范围； （3）若P(0,p)(p 0)，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值。

2

答案

一、填空题

1．2x y 10 0 2.

1 13

6. 2, ,

3 32

2

3.16 4.3 5.( 2, 1) (1,2)

xy

7.

8. , 1, . 1(x 3) .

916

22

9. 4,4 10.

14

mn m

22

11. 1,5 12.

3

3

13. （2）（3）（4） 14. 二、选择题

15.A 16.B 17.B 18.B 三、解答题

3

19. 设直线的方程为 2x y b

0，d=

94

b 6

20. (1)x2 7y 64. (2)y1 4或y2 21. ∵（1）c 2

a

33

.

,

原点到直线AB：bx ay ab

0的距离

2

d

abc

2

b 1,a 故所求双曲线方程为

x

2

3

y 1.

（2）把y kx 5代入x2 3y2 3中消去y，整理得 (1 3k2)x2 30kx 78 0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，

x1 x215k

x 02 y 11 21 3k

. x0 ky0 k 0, 则 又kBE 0

x0k5 y kx 5

002 1 3k 15k5k2

k 0,又

k 0, k 7故所求k . 即22

1 3k1 3k

22. 解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O

到直线x

即

r

4 2．得圆O的方程为x y 4．

2

2

4的距离，

2

0)，B(x2，0)，x1 x2．由x 4 即得A( 2，（2）不妨设A(x1，0)，B(2，0)．

设P(x，y)，由PAPOPB成等比数列，得

(x 2) y

22

(x 2) y

22

x y，即

22

22

x y 2．

PA PB ( 2 x, y) (2 x, y)

x 4 y 2(y 1).

22

2

22 x y 4，

由于点P在圆O内，故 由此得y2 1．

22 x y 2.

所以PA PB的取值范围为[ 2，0)．

23. (1)图略 (2)若l:y kx 1与x2 y2 1(y 0)有两个公共点，则k 1,0 0,1

l:y kx 1与x y 1(y 0)恰有一个公共点，则l:y kx 1与曲线C也有两个公 y kx 1共点，此时|k| 1。联立 得(1 k2)x2 2kx 2 0。

2

y x 1

2

2

因为|k| 1，令 4k2 8(1 k2) 0，得k 2。所以k的取值范围是

2 1,0 0,1

2

2

2

2

(3)设Q(x,y)，当y 0时，|PQ| x (y p) 1 2py p，由 1 y 0知，

|PQ|min 当y 0时，

1

12

p。由于 p

22

12

p，所以|PQ|min

2

12

p

2

.

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