《大学数学A》课程第四章练习题

《大学数学A》第四章练习题

2013-2014学年第二学期

一、选择题

1.若limn??un?0，则级数

??un……………………………………………………（ ）

n?1（A） 一定收敛 （B）一定发散

（C）一定条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散 ?2.正项级数

?un收敛的充分必要条件是…………………………………………（ ）

n?1（A）limn??un?0 （B）{un}是递减数列

n（C）lim??S(其中SD）limun?1nn存在n??uk) （?1

k?1n??un?级数?3n3.xn的收敛半径R=……………………………………………………（ ）

n?1n?3（A）1 （B）3 （C）

13 （D）? ?4.若级数

?1n?1np?1发散，则…………………………………………………………（ ）

（A）p?0 （B）p?0 （C）p?1 （D）p?1 5.下列级数中，条件收敛的是………………………………………………（ ） ????（A）

?(?1)nnn?1 （B）n?1?(?1)n1 （C）n1n1n?1n?(?1)n?1n2 （D）?(?1)n?1n3二、填空题

1. 级数1?12!?13!?14!?15!??的和为 . ??2．设级数

?un收敛，其和为S，又a为不等于零的常数，则

n?1?aun= . n?1 第1页共14页?3．设级数

?(1?un)收敛，则limn??un= .

n?1?幂级数?xn4. 2n的收敛域是 .

n?1三、解答题

1.判别下列级数的敛散性：

?（1）?sin1?1?n!n?1n2； （2）?ln(1?)； n?1n（3）?n?1nn；2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ ?n?1（1）

?(?1)n2?n?3n； （2）?n2cosn1n?13n； ?3．证明级数?1n?1n(n?1)是发散的

4.求幂级数

??(x?1)nn?1的收敛域。

n?0求幂级数??(x?1)n5.n?12nn的收敛域?

?6.求幂级数?xn?1 的和函数。

n?1n?7.求级数

?nxn?1的和函数。

n?1?8. 求级数

?nxn的和函数.

n?19. 将函数f(x)?1x展开成x?3的幂级数? 10. 将函数f(x)?1x2?4x?3展开成x?1的幂级数?

?2n4）???2n?1?n?2??.

n?1?3 （

名装 姓 号 学 订 级 别 系 线 《大学数学A》第5章练习题

2013-2014学年第2学期

一、选择题

1.设 →a={3,5,?2}，→b={2,1,4}，?→a+?→b与z轴平行，则?与?的关系为……（ ）

A．??? B．2??? C．??2? D．以上都不正确

2.设有直线L: ??x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?0及平面Π: 4x?2y?z?2?0,则直线L与Π的关系

?是…………………………………………………………………………………………（ ） A．L与Π垂直 B．L在Π上 C．L与Π 平行 D．L与Π 斜交

3.在曲线x?t，y?t2，z?t3的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线（ ） A．只有1条 B．只有2条 C．至少3条 D．不存在

4.直线Lx?11：1?y?5?2?z?8?x?3y?2z?1?01与L2：??2x?y?10z?3?0夹角的余弦为…………（ ）A. 32

B. 231412 C. 14 D. 2

5.两平面?1：2x?3y?6z?7?0与?2：3x?6y?2z?7?0的关系是………（ ） A.平行 B. 重合 C.斜交 D.垂直

二、填空题

6.已知→a，→b满足→a+→b=→0，|→a|+|→b|=2，则→a?→b= . 7.设平面3x?y?1?0与2x?ay?z?2?0垂直，则a? .

8.三平面x?3y?z?1，2x?y?z?0，?x?2y?2z?3的交点坐标为 . 9. 将xoz坐标面上的抛物线z2?5x绕x轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程为： .

第2页共14页10.直线??x?y?3z?0与平面x?y?z??x?y?z?01?0的夹角为 .

11.过点(4,?1,3)且平行于直线

x?3yz?12?1?5的直线方程为 . 12.直线??5x?3y?3z?9?0?2x?2?2y?z?1?0与直线?y?z?23?0的夹角的余弦值为 .

?3x?3x?8y?z?18?0三、解答题

13.已知→OA=→i+3→k，→OB=→j+3→k，求?OAB的面积.

14. 求原点关于平面Π：6x?2y?9z?121?0的对称点的坐标. 15. 求过点P(1，2，1)，Q(-2，3，-1)，R(1，0，4)的平面Π的方程.

16. 设一平面过原点及点(6，-3，2)且与平面4x?y?2z?8?0垂直，求此平面的方程. 17.设平面通过点(1，-2，1)，且同时垂直于两个平面?1：x?2y?z?3?0与?2：

x?y?z?2?0，求它的方程.

18.求过点(1，2，0)且平行于z轴的直线方程.

19.求过点(2，-8，3)且与平面x?2y?3z?2?0垂直的直线方程.

20求过点(-3，2，5)且与两平面?1：x?4z?3与?2：2x?y?5z?1的交线平行的直线方程.

名姓 装 号 学 订 级 班 线 别系《大学数学A》第六章练习题

2013-2014学年第二学期

一、选择题与填空题

1、二元函数z?1的定义域为……………………………….……………..………….……………. …..….ln(xy)（ A、{(x,y)|xy?0} B、{(x,y)|x?0,y?0,xy?1}C、{(x,y)|x?0,y?0,xy?1} D、{(x,y)|xy?0,xy?1} 2、极限

sin(xy)………….……………………………………….………….……..………….……………(x,ylim)?(0,2)x?..

（ A、0 B、1 C、2 D、不存在

?y)??xyx2?y2,(x,y)?(0,0)3、函数f(x,? 在点(0,0)处 ……………………………………..….（??0,(x,y)?(0,0)A、连续但不可偏导 B、可偏导但不连续

C、连续且可偏导但不可微分 D、可微分

4、函数z?f(x,y)在点(x………..…

0,y0)处的两个偏导数存在是函数在该点连续的 （ A、充分非必要条件 B、必要非充分条件

C、充分必要条件 D、既非充分条件又非必要条件 5、函数f(x,y)?xy?sin(x?2y)在点(0,0)沿方向l?(1,2)的方向导数为…….……（A、5 B、?5 C、1125 D、?25 6、设f(x,y)?x?3yx2?y2，则f(2,?1)? 。 7、极限

xy?1?1(x,ylim)?(0,0)xy＝ 。

）

）

）

）

第3页共14页8、设z?ex?2y，而x?sint,y?t2，则

dzdt? 。 9、函数z?ex?siny的全微分dz? 。 10、球面x2?y2?z2?9在点(1,2,2)处的切平面方程为 。

二、解答与证明题

11、求函数z?xexsiny的二阶偏导数。 12、设u?x?siny2?eyz，求du。 13、设z?eusinv，u?xy，v?x?y，求

?z??x与z?y。 14、设函数y?y(x)由方程exy?cos(xy)?0确定，求

dydx。 15、求二元函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极值。 16、求曲线x??t0eucosudu,y?2sint?cost,z?1?e3t在t?0处的切线与法平面。17、求曲面x2?2y2?3z2?6在点?1,1,1?处的切平面及法线方程。

18、在两直角边分别为a、b的直角三角形中内接一个矩形，求矩形的最大面积。

）

名姓 装 号 学 订 级 班 线 别系《大学数学A》第七章练习题

2013-2014学年第二学期

一、选择题与填空题

1. 设D?{(x,y)1?x2?y2?9}，则

??dxdy?…………………………….. ……….. ………..……….

（ ）DA. ? B. 2? C. 3? D. 8? 2. 设积分区域为?:x2?y2?z2?a2，则

???dxdydz的值为………………….. ………..……….

（ ）?A.

4?a3 B. ?a2 C. a3 D. ?23a. 3. 设长方体物体?:0?x?1,0?y??2,0?z?2在点(x,y,z)处的密度为??zexcosy,则其质量为………………………………………………………………………………………………….……………..………（.

）A. 1 B. 2 C. 2(e?1) D. 2e 4. 已知平面曲线积分

?L(ay?x3)dx?(a2x?y)dy与积分路径无关，则a的值为…….（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1 5. 交换二次积分次序后

?11?y20dy??1?y2f(x,y)dx? . 6. 设曲线L的方程是??x?acost??y?asint,0?t?2,a?0, 则?Lxyds? . 7. 设曲线L是抛物线y2?x上从A(1,?1)到B(1,1)的一段弧，则?Lxydx? . 8. 设S是上半球面x2?y2?z2?1的下侧，则曲面积分

??(x2?y2)dxdy? . S二、解答与证明题

1. 计算

??xyd?，其中D是由抛物线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域.

D2. 计算

??sin(?x2?y2)，其中积分区域22Dx2?y2dxdyD?{(x,y)|1?x?y?4}.

第4页共14页3. 计算三重积分???zdxdydz，其中V为三个坐标面及平面x?y?z?1所围成的闭区域.

V4. 计算三重积分

???xyzdxdydz，其中V是由球面x2?y2?z2?1及三个坐标面在第?卦限V所围的闭区域. 5. 计算三重积分

???x2?y2dxdydz，其中V是由圆锥面x2?y2?z2及平面z?1所围的

V闭区域.

6. 验证：在xoy坐标面内，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数

u(x,y).

7. 验证曲线积分

?(0,1)(1,0)(x?y)dx?(x?y)dy与积分路径无关，并求其值.

8. 计算下列曲线积分 （1）

?Lxy2dy?x2ydx，其中L为圆周x2?y2?a2，方向为逆时针方向.

（2）?x2L(x?y)dx?(x?y)dy，其中L为椭圆y2a2?b2?1，方向为逆时针方向.

9. 设曲面?为平面x?y?z?1，且x?0,y?0,z?0，求曲面积分??(x?y)dS.

?10. 计算下列曲面积分 （1）

??x2dydz?y2dxdz?z2dxdy，其中S为立方体0?x?a,0?y?a,0?z?a的表面S外侧. （2）??x3dydz?y3dxdz?z3dxdy，其中S为球面x2?y2?z2?a2的外侧.

S

名姓 装 号 学 订 级 班 线 别系《大学数学A》第八章练习题

2013-2014学年第二学期

一、选择题与填空题

1、设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任何常数，

则该方程的通解是（ ）

A、C[y1(x)?y2(x)]

B、y1(x)?C[y1(x)?y2(x)] C、C[y1(x)?y2(x)]

D、y1(x)?C[y1(x)?y2(x)]

2、函数y?C1ex?C2x2e??xex满足的微分方程是……………………………（ ）

A、y???y??2y?3xex. B、y???y??2y?3ex.

C、y???y??2y?3xex.

D、y???y??2y?3ex.

3、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是…( )

A、C1y1?C2y2?y3 B、C1y1?C2y2?(C1?C2)y3 C、C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 D、C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 4、微分方程y???2y??5y?0的通解是（ ）

A、y?c2x3x?3x1e?c2e B、y?(c1?c2x)e C、y?e?x(cx1cos2x?c2sin2x) D、y?e2(c1cos3x?c2sin3x) 5、微分方程y???6y??13y?0的通解为 . 6、微分方程y??e2x?y满足初始条件yx?0?0的特解是 . 7、微分方程

dydx?2xy的通解为 . 第5页共14页二、解答题

1、求微分方程：y???5y??14y?e2x的通解. 2、求微分方程y???y??x的通解.

3、求微分方程

dydx?2xy?4x满足初始条件yx?0?3的特解.

4、求微分方程

dydx?3y?8满足初始条件yx?0?2的特解.

5、求微分方程y???11?y(y?)2?0的解. 6、设f(x)为连续函数，且f(x)??xx0tf(t)dt?x?0f(t)dt?ex，求f(x)的表达式.

7、求曲线方程，这曲线过原点，且在点(x,y)处的切线的斜率为2x?y。

8、求微分方程dyydx?x?sinxx满足初始条件y(?)?1的特解。 9、解方程： y2?x2dydx?xydydx 。

10、解方程：

dydx?1x?y 。 11、解方程： y????e2x?cosx 。

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