高数第9章答案

高等数学（化地生类专业）（下册）

姜作廉主编

《习题解答》

习题

9

1指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A且垂直于线段AB.??????解：设所求平面?的法向量为n,n?AB?{6,?6,3},由点法式方程，有：6(x?2)?6(y?1)?3(z?2)?0,故平面方程为：2x?2y?z?8?0.3求过点(2,3,0),(?2,?3,4),(0,6,0)的平面方程。解：设所求平面方程为Ax?By?Cz?D?0,将已知三点带入，?2A?3B?D?0DDD??2A?3B?c?D?0,解得：A??,B??,C??.显然，?464?6B?D?0?由题意D?0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=04求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t，则平面方程由截距式可得：xyz???1,将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t?t=2.ttt故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x轴和M(2,-1,1)解：设所求过x轴平面方程为By+Cz+D=0,将M代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(?0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz平面且经过点（3,0,5）D解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-,显然3D?0,故平面方程x?3(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0,D??2B-C+D=0?B??(?0)??,故平面方程：2?2B+7C+D=0???C?0y?2.6平面过A(1,2,?1),B(?3,2,1)在y轴的截距为3解：设平面方程xyz???1,将A,B代入A3C

?121???1?3?A3C,解得：A??3,C??.故平面方程为：?2??3?2?1?1??A3Cxy2z????1,即：x?y?2z?3?03337过点（1,2,3）且平行于x-2y-z+6=0.解：设平面方程为tx-2ty-tz+D=0(t?0)D将点代入：t-4t-3t+D=0,t=.故平面方程为：6x?2y?z?6?08过点(1,?1,1)且垂直于2x?4y?z?1?0和x?3y?5z?0.解：设平面方程Ax?By?Cz?D?0,由题意得：?A?B?C?D?02392?2A?4B?C?0,解得：A??,B??C,D?C,?10105?A?3B?5C?0?故平面方程为：23x?9y?10z?4?09判别下列每组中两个平面是否平行，垂直，重合或相交：（1）x-3y+2z-1=0,2x-6y+4z+2=0;(2)x-y+z-1=0,2x+y+z+1=0;(3)3x+y+z+1=0,x-4y+z+2=0;(4)2x+3y+z-1=0,4x+6y+2z-2=0;10求经过原点及（6,-3,2）且与平面4x-y+2z=8垂直的平面。解：设平面方程Ax+By+Cz+D=0,由题意得：?D=03?6A-3B+2C+D=0,解得：A?B,C??B,D?0,显然B?0,?2?4A-B+2C=0?故平面方程为:2x?2y?3z?011求过(0,?1,0)和（0,0,1）且与xOy平面成解：设平面方程为Ax?By?Cz?D?0???B?D?0?,解得：A??2D,B?D,C??D.?C?D?0?1?A2?B2?C2?C?2显然D?0,故平面方程为?2x?y?z?1?012分别求满足下列每组条件的直线标准方程：?（1）过点(1,2,3)且平行于向量s?{2,?1,3};(2)过原点及(1,?2,3);(3)过点（1,0,-1）且平行与x轴；（4）经过点（0,-3,2）而与两点（3,4,-7)和(2,7,-6)的连线平行。?3角的平面方程

13化下列直线的一般方程为标准方程：?x+2y-z-6=0,?x?y?1?0,（1）(2)???2x-y+z+1=0;?y?z?1?0;?2x?3y?z?4?0,?2x?z?9?0,(3)?(4)?3x?5y?2z?1?0;??8y?z?23?0;x?1y?1z?114化直线的标准方程??为直线的一般方程。92?5?3x?y?2z?6?015求过点M(2,1,?1)且平行于直线?的直线方程。x?4y?z?2?0?16求下列两直线的交角：x-1yz?2x?2y?1z?1（1）??,??;10?1?1?10?x?2y?z?1?0,?x?y?z?1?0,(2)??x?2y?z?1?0,??x?y?2z?1?0.17判定下列每组直线是否共面？若共面，求它们所在的平面方程。xy?3z（1）??,直线:x-y-3=0,3x-y-z-4=0;234x+2y?8z?9x?7y?6z?7(2)??,??.34512218判定下列每组直线是平行还是垂直?3x+z=4?6x?y?7（1）,??y+2z=9??3y?6z?1?4x?y?3z?24?0?x?y?3?0(2)?,?.z?5?0x?2?0??19讨论下列直线与平面的位置关系：x+3x?4z（1）???和4z?2y?2z?3;273xyz(2)???和3x-2y+7z=8;327x-2y?2z?3(3)??和x?y?z?3;31?420求(1,2,?1)到平面x?2y?2z?10?0的距离。解：过点且垂直于已知平面的直线方程为：x-1y?2z?1??,由直线与平面位置关系（垂直）可知交点坐标：122x1?1?t0,y1?2?2t0,z1??1?2t0,故距离d?[(x1?1)?(y1?2)?(z1?1)]其中t0??Ax0?By0?Cz0?D|1?4?2?10|7,解得：d??A2?B2?C231?4?422122

21求两平行平面3x?4y?5z?1?0及3x?4y?5z?3?0间的距离。x?2?1x23求过点(?1,2,3),垂直于直线?4的直线方程。22求过点(1,2,?1)且与直线y?4z?1?垂直的平面方程。31yz?且平行于平面7x?8y?9z?10?056x+1y?3z??11224求经过点（2,-1,3）,平行于平面x-y+z=1并与直线相交的直线方程。x?1yz?2??的距离011x?1y?2z26求直线??与平面2x?3y?z?1?0的交点。1?26x-1y?1z?227求经过直线??且垂直于平面x-4y+3z+6=0的平面方程。321x+1y?1z28过M(2,1,3)且与???垂直相交的直线方程。321解：设所求直线方程的方向向量为?S?{m,n,p}25求点M(3,?2,1)到直线m n p?3m?2n?p?0?3 2 -1?0(2)?x?2y?1z?3(1)又两直线共面：???mnp2+1 1-1 3?1综上，解得：p?2m,n??m,故所求直线方程为：2x?2y?1z?3??2?1429求通过直线x?y?z?0,x?y?z?1?0和点M(1,1,?1)的平面方程。?x?2y?3z?4?030求直线L:?,且在y轴和z轴上有相等截距的平面方程。3x?z?5?0?31求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与它的交线在xOy平面上的平面方程。解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,?5A-B+3C=0?5A?B?3C?0????(A-5t)x+(B+t)y+(C-3t)z+D+2t=0(t?0)?z?026t,D??2t,3故所求平面方程为:15x?3y?26z?6?0综上，解得：A?5t,B??t.C??31求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与y轴和z轴上有相等截距的平面方程。

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