中南大学2012级第二学期高等数学期末考试试题及参考答案（2013年

2012 ~2013学年 二 学期 高等数学A(二)课程 参考答案 （时间：13年6月18日，星期 ，10：00—11：40）

一、填空题(本题15分，每小题3分)

?4x2?9y2?361. 将曲线?绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 ?z?02. 设有曲面?:x2?y2?z2?9, 则曲面积分

?1212??x?y?dS? ??34???3. 由二重积分的几何意义

x2?y2?4??4?x2?y2dxdy?

4. 设u?u?x,y,z?具有二阶连续的偏导数, 则数量场u的梯度的散度div?gradu?? 5. 设函数f?x?具有连续导数, 且曲线积分

ysinx?fxdx?f?x?dy与路径无关, ?????xL则f?x??

16?2u?2u?2u答案：一、1. 4x?9?y?z??36；2. 63?；3. ?；4. 2?2?2；5.

3?x?y?z222Ccosx? xx

二、1. B；2. D；3. B；4. D；5. C

二、选择题(本题15分，每小题3分)

1、直线L1:x?1y?2z?1x?1y?2z?1????与直线L2:的关系为（ ） 21?2?22?1（A）L1与L2垂直但不相交; (B) L1与L2垂直相交; （C）L1与L2既不平行、也不垂直； （D）L1与L2平行

2、二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处两个偏导数fx??x0,y0?,fy??x0,y0?存在是f?x,y?在该点连续的（ ）．

（A）充分条件而非必要条件； （B）充分必要条件；

（C）必要条件而非充分条件； （D）既非充分条件也非必要条件

223、下列曲线积分中在区域D??(x,y)x?y?9?内与路径无关的是（ ）

(A).

?Lydx?xdyxx (B).?ecosydx?esinydy 22Lx?y(C)

?2?x?y?dx??x?y?dyx2?y2L (D)

??Le?xsinx?3y?cosydx??xsiny?y4?dy

?4、下面说法错误的是（ ） (A) 方程?x?ycos(B) 方程

??y?ydx?xcosdy?0为齐次微分方程; ?x?xdy1?y?x2y6为Bernoulli方程; dxx2(C) 方程xdy??3?2xy?dx?0为一阶线性微分方程;

222(D) 方程3x?6xy?3y?2ydx?2x?3xy?xdy?0为全微分方程.

????5. 设有空间区域

?1:x2?y2?z2,，0?R及z??2:x2(A) (C)

?1?y2?z2,?2?R20，则下面结论成立的是（ ） x,?0y?,z?0???xdxdydz?4???xdxdydz; (B) ???ydxdydz?4???ydxdydz;

?1?1?2???zdxdydz?4???zdxdydz???xyzdxdydz?4???xyzdxdydz

?1?2; (D)

三、（10分）求两直线L1:?2xy?11z?4x?6y?7z??,L2:??的公垂线L的1211?61方程(见典型习题解答P56)

i解：公垂线L的方向向量为s?1jk21?8i?8k， 1?61ijk过L和L1的平面?1的法向量可取n1?121??16i?16j?16k, 于是平面?1的80?8方程为?16x?16?y?11??16?z?4??0, 即x?y?z?7?0 类似可求出过L和L2的平面?2的方程为3x?y?3z?11?0,

因此公垂线L的方程为? ?x?y?z?7?0

?3x?y?3z?11?0四、（共15分, 其中第一小题7分,第二小题8分）

?w?w?2w1. 设w?f?xz?y,yz?，且f具有连续二阶偏导数, 求(见练习册,,?x?y?x?z32自测题第2章第五题)

解. 1

?w?w?3x2zf1?, ?f1??z2f2? ?x?y?2w???w?????2zyf12??? ?????3x2zf1???3x2f1??3x2?x3f11?x?z?z??x??z???6x2zyf12?? ?3x2f1??3x5f112. 设D是由曲线y?x2与直线y?x所围成的区域，求??Dsinxdxdy(见教材P141例x3.8类似题)

?0?x?1解：2. 由于D可以表示成X-型区域：D:?2，

x?y?x?所以，??D1xsinx1sinxsinxdxdy??dx?2dy??x?x2?dx ?0x0xxx??sinx?1?x?dx?1?sin1

01五、(10分) 在第一卦限内作x2?y2?z2?3的切平面, 使得切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小, 求此切点的坐标, 并求出最小的体积值(见练习册自

测题第2章第七题)

解：设P?x,y,z?是球面上一点, 令F?x,y,z??x2?y2?z2?3, 则

Fx?P?2x,Fy??2y,Fz?P?2z, 所以过P?x,y,z?点的切平面方程为

P2x?X?x??2y?Y?y??2z?Z?z??0, 即

XYZ???1, 它在三个坐标轴上的截333xyz距为

333,,, 故切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为xyz133399在约束条件V?????,x?0,y?0,z?0, 问题转化为求V?6xyz2xyz2xyzx2?y2?z2?3下的极值, 令L?9???x2?y2?z2?3?xyz, 由

?L9?L9?L9??2?2?x?0,???2?y?0,???2?z?0?x2xyz?y2xy2z?z2xyz2及

x2?y2?z2?3得x?1,y?1,z?1, 故Vmin?9 2六、（10分）求圆柱体y2?z2?1在第一卦限部分被平面y?x,z?0,x?0所截下的立体的体积(见练习册3.7)

解：设所截下的立体为?, ?在yoz面的投影为

Dyz:y2?z2?1,y?0,z?0, 则

11V????dv???dydz?dx???ydydz??2d??rcos??rdr?

0003D?Dyzy?yz七、（共15分, 其中第一小题7分,第二小题8分）

1. 计算曲线积分I?xdy?ydx222, 其中沿逆时针方向. L:x?y?4?L4x2?y22. 计算曲面积分I???x2?y2?z2?xdydz?ydzdx?zdxdy?, 其中?为曲面

?x2?y2?z2?R2的外侧(见典型习题解答P100)

?Py2?4x2?Q?yx??,Qx,y?解：1. 令P?x,y??2, 则. ??2222224x?y4x?y?y?4x?y??x1?x?cos??,?:2??0, 由Green公式得 取l:4x2?y2?1取顺时针方向, 则l:?2??y?sin?I?xdy?ydx?L4x2?y2??L?lxdy?ydxxdy?ydxxdy?ydx??0dxdy????l4x2?y24x2?y2?l4x2?y2D???lxdy?ydx?224x?y?l?22??cos?xdy?ydxsin2??1??d???2??? ??22?04x?y2?2?2 2.

???x2?y2?z2?xdydz?ydzdx?zdxdy??R???xdydz?ydzdx?zdxdy?,

?4由Gauss公式得 I?3R???dxdydz?3R??R3?4?R4

3?八、（10分）已知微分方程y???ay??by?0的通解为y??c1?c2x?e3x，其中c1,c2为任意常数，试求微分方程y???ay??by?e2x?1?x?的通解.

解：因y??c1?c2x?e3x为微分方程y???ay??by?0的通解，故它的特征方程

r2?ar?b?0有重特征根r1?r2?3，所以a???3?3???6,b?3?3?9

由于这里??2不是特征根，所以应设特解为

y*??Ax?B?e2x，

将y*及y*???2Ax?2B?A?e2x,y*????4Ax?4B?4A?e2x代入方程

y???6y??9y?e2x?1?x?得

Ax?B?2A?x?1，比较系数得A?1,B?3，于是求的得一个特解为

y*??x?3?e2x 故微分方程y???6y??9y?e2x?1?x?的通解为

y??c1?c2x?e3x??x?3?e2x

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