函数的单调性、凹凸性、反函数

函数的单调性、凹凸性、反函数

C单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形

结合解题。

d凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不

重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。

比较f?x1??2f?x2??x?x2?与f?1?的大小2??

反函数的几个性质：

1.原函数与反函数单调性一致； 2.原函数与反函数关于y=x对称；

3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域

?(3a?1)x?4a，x?1f(x)???)上的减函数，那么a的取值范围是 例1．已知 是(??，?logx，x?1a??1??11??1?1? A（0，1） B ?0，? C ?，? D ?，3737??????解析：分段函数是R上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的； 2：左段函数的最小值?右段函数的最大值；

?(3a?1)x?4a，x?1?f(x)??是R上的严格递减函数，logx，x?1a??3a?1?011???a??0?a?173?(3a?1)?1?4a?log1a? ?

例2. 已知函数f(x)?3?axa?1(a?1)，

（1）若a＞0 ，则f(x)的定义域是

1?上是减函数，则实数a的取值范围是 . (2) 若f(x)在区间?0，3?3?解析：（1）当a＞0时，由3?ax?0得x?，所以f(x)的定义域是???，?；

aa?? (2) 由题意知a?1且a?0，于是对参数a进行分类讨论同时注意定义域：

1?上是减函数； ① 当a<0时，f(x)在区间?0，②当0

③当a＞1时，为减函数，注意定义域的成立得到3?a?0，于是1?a?3；

例3．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：

① f(x1＋x2)=f(x1)?f(x2)； ② f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ③

f(x1)?f(x2)x1?x2>0； ④

f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2.

当f?x??lgx时，上述结论中正确结论的序号是 解析： ?是指数函数 ?是对数函数 ?是单调性??是凸函数 答案是??

例4．给出下列三个等式：f(xy)?f(x)?f(y)，f(x?y)?f(x)f(y)，

f(x)?f(y)1?f(x)f(y)xf(x?y)?，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）

Af(x)?3

B f(x)?sinx Cf(x)?log2x Df(x)?tanx

解析： f(xy)?fx(?)fy(是)对数函数； f(x?y)?fx(f)y(是)指数函数；

f(x?y)?f(x)?f(y)是正切函数；1?f(x)f(y)

f(x?y)?f(x)?f(y)是过原点的一次函数

lg例5．在y?2，y?ox2x，y?x2y，?cos2x这四个函数中，当0?x1?x2?1时，

（ ）

使f(

x1?x22)?f(x1)?f(x2)2恒成立的函数的个数是 C 2

D 3

A 0 B 1

解析：f(x1?x22)?f(x1)?fx(22)x2是凸函数，y?2和y?x是凹函数， y?cos2x在?0，1?上有凹有凸y?log2x是凸函数

例6. 设f?1(x)是函数f(x)?12(ax?a?x) (a?1)的反函数 ，则使f?1(x)?1成立的

x的取值范围为（ ）

A (a?12a2a?1a?1，??) B (??，) C (，a) D [a，??)

2a2a22解析：f(x)?12(a?ax?x) (a?1)是增函数，解不等式f?1?1(x)?1相当于是原函数的 定义域大于1求值域的范围，于是轻松解得f x>12(a?a1?1(x)?1的解是

)?a?12a2，选A

例7．设函数f?x??1?1x?0?x?1?的反函数为f?1?x?，则

A fB fC f?1?x?在其定义域上是增函数且最大值为1

?1?x?在其定义域上是减函数且最小值为0 ?x?在其定义域上是减函数且最大值为1 ?x?在其定义域上是增函数且最小值为0

11??1?1D

f?1解析：f?x??x?0?x?1?为连续区间上的增函数，排除B、C，

f

?x?的值域是?0，1?，选D

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