2017年高考浙江数学试题和答案解析

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2017年高考数学试题全国卷1推荐度：
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<，则P Q =（）

（A ）(2,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1) （D ）(2,1)--

【答案】A

【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =(2,1)-，故选A ．

【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．

（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22

194

x y +=的离心率是（）（A

（B

（C ）23 （D ）59

【答案】B

【解析】e =

=，故选B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

（3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：

cm 3）是（）

（A ）12π+ （B ）32π+ （C ）312π+ （D ）332π+ 【答案】A

【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，

三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111π3(21)13222

V π?=??+??=+，故选A ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特

征，是基础题目．（4）【2017年浙江，4，4分】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥??+-≥??-≤?

，则2z x y =+的取值范围是

（）

（A ）[]0,6 （B ）[]0,4（C ）[]6,+∞ （D ）[]4,+∞

【答案】D

【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．

（5）【2017年浙江，5，4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （）

（A ）与a 有关，且与b 有关（B ）与a 有关，但与b 无关

（C ）与a 无关，且与b 无关（D ）与a 无关，但与b 有关

【答案】B

【解析】解法一：因为最值在2

(0),(1)1,()24

a a f

b f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B ．解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线，①当12

a ->

或

-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()10M m f f a -=-=，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a ≤-≤，即21a -≤≤-时，函数()f x 在区间0,2a ??-????上递减，在,12a ??

-??

上递增，且()()01f f >，此时()2

024

a a

M m f f ??-=--= ???，故M m -的值与a 有关，与b 无关；③当

1022a ≤-

<，即10a -<≤时，函数()f x 在区间0,2a ??-????上递减，在,12a ??

-????

上递增，且()()01f f <，此

时()2024a a M m f f a ??

-=--=- ???

，故M m -的值与a 有关，与b 无关．综上可得：M m -的值与a 有关，

与b 无关，故选B ．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．（6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C

【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，

反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“0d >”是“4652S S S +>”的充要条件，故选C ．

【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7）【2017年浙江，7，4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的

图像可能是（）

（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】解法一：由当()0f x '<时，函数f x （）单调递减，当()0f x '>时，函数f x （）单调递增，则由导函数()y f x =' 的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐

点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ，，故选D ．

解法二：原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，故选D ．

【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于

基础题．

（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==，()101i P p ξ==-，1,2i =．若121

p p <<<，

则（）

（A ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<

（B ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ>

（C ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< （D ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< 【答案】A

【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，

121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<，故选A ．

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象

能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR

分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR

QC RA

==，分别记二面角––D PR Q ，

––D PQ R ，––D QR P 的平面较为α，β，γ，则（）

（A ）γαβ<< （B ）αγβ<< （C ）αβγ<< （D ）βγα<<

【答案】B

【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ?的中心为O ．不妨设3OP =．则

()0,0,0O ，()0,3,0P -，()0,6,0C -

，(D

，)Q

，()

R -，

()PR =-

，(PD =，(

)3,5,0PQ =

，()

2,0QR =--，

(QD =-．设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则0

n PR n PD ??=??

?=??

，可得

y y ?-+=??

+=??，可得()

6,21n =-，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =．则cos ,15m n m n

m n

?==

α=

β=．

γ=

．∴αγβ<<．

解法二：如图所示，连接OD OQ OR ，，，过点O 发布作垂线：OE DR ⊥，OF DQ ⊥，

OG QR ⊥，垂足分别为E F G ，，，连接PE PF PG ，，．设O P h =．则c o s

ODR PDR S OE

S PE α??==

cos OF PF β==c ，cos OG PG γ==．

由已知可得：OE OG OF >>．∴cos cos cos αγβ>>，αβγ，，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B ．

【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，

属于难题．

（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，

AC 与BD 交于点O ，记1·

I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则（）（A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）223I I I << 【答案】C

【解析】∵AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，∴22AC =，∴90AOB COD ∠=∠>?，

由图象知OA OC <，OB OD <，∴0OA OB OC OD >?>?，0OB OC ?>，即312I I I <<，故选C ．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

（11）

【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的

值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S =内．

【解析】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，AOB ?是边长为1的正三角形，

所以正六边形ABCDEF 的面积为1=611sin 602

S ?????? ???

内．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．

（12）【2017年浙江，12，6分】已知ab ∈R ，2

i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ．【答案】5；2

【解析】由题意可得2

2i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ?-=?=?，解得224

a b ?=?=?，则225,2a b ab +==．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式()()12

54321

512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a = ，

5a = ．

【答案】16；4

【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32

r r m m C x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =?=．

【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．

（14）【2017年浙江，14，6分】已知ABC ?，4AB AC ==，2BC =．点D 为AB 延长线上一点，2BD =，

连结CD ，则BDC ?的面积是；cos BDC ∠= ．

【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，ABE ?中，1cos 4BE ABC AB ∠=

，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠=

BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=???∠=△

又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=

cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，BCD ?

，cos BDC ∠=．【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题．

（15）【2017年浙江，15，6分】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是 __；最大

值是 __．

【答案】4

；【解析】解法一：设向量a 和b 的夹角为θ

，由余弦定理有212a b -=+

21a b +

=+54cos

a b a b

++-=+，

令y =[]21016,20y =+

，据此可得：()max a b a b ++- ==()min 164a b a b ++-=

，即a b a b ++-的最小值为4，最大值为

解法二记AOB α∠=，则0απ≤≤，如图，由余弦定理可得：54cos a b -=

-，

4cos a b +=+，令x =y =()2210,1x y x y +=≥，

其图象为一段圆弧MN ，如图，令z x y =+，则y x z =-+，则直线y x z =-+过M 、N

时z 最小为13314min z =+=+=，当直线y x z =

-+与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几

何知识易知

max z

即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN

所以max z =a b a b ++-的最小值为4，最大值为

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划

等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．

（16）【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人

服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有中不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中

的选择方法为：411843C C C ??种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有411643C C C ??种方法，则满足

题意的选法有：41141184

3643660C C C C C C ??-??=种．解法二：第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有

480?=种，

第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有1512180?=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为：660．

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．

（17）【2017年浙江，17，4分】已知α∈R ，函数()4f x x a a x

=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则a 的取值范围是．【答案】9(,]2

-∞ 【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x

=--+=--，函数的最大值245a -=，92

a ∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}m a x max 4,5f x a a a a =-+-+????，则：4545a a a a a a ?-+≥-+??-+=??或：4555a a a a a a ?-+<-+??-+=??

，解得：92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9,2??-∞ ??

?．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2017年浙江，18，14

分】已知函数()22sin cos cos f

x x x x x x =--∈R （）．（1）求23f π?? ???

的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．

解：（1）(

)22πsin cos cos cos 222sin 26f x x x x x x x x ??=--=--=-+ ???，4ππsin 232236f π??+= ????=- ???

?．（2）由()π2sin 26f x x ??=-+ ??

?，()f x 的最小正周期为π．令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈，得 ππππ36k x k -≤≤+，k Z ∈，函数()f x 的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，??-+∈???

?．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．

（19）【2017年浙江，19，15分】如图，已知四棱锥–P ABCD ，PAD ?是以AD 为斜边的等腰直

角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．

（1）证明：//CE 平面PAB ；

（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．

解：解法一：

（1）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的重点，∴//EF PA ，在四边形ABCD 中，

//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点易得//CF AB ，∴平面//EFC 平面ABP ，

EC ?平面EFC ，//EC ∴平面PAB ．

（2）连结BF ，过F 作FM PB ⊥与M ，连结PF ，因为PA PD =，所以PF AD ⊥，

易知四边形BCDF 为矩形，所以BF AD ⊥，所以AD ⊥平面PBF ，又//AD BC ，

所以BC ⊥平面PBF ，所以BC PB ⊥，设1DC CB ==，则2A D P C ==，

所以PB ， 1BF PF ==，所以12

MF =，又BC ⊥平面PBF ，所以BC MF ⊥，所以MF ⊥平面 PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，也即点D 到平面PBC 的距离为12

，因为E 为 PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离为14

，在PCD ?中，2PC =，1CD =

，PD

理可得CE =设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ

，则1

4sin CE θ= 解法二：

（1）略；构造平行四边形．

（2）过P 作PH CD ⊥，交CD 的延长线于点H 在Rt PDH 中，设DH x =，则易知

2222(1)2x x -++=（Rt PCH ），解得1

DH =，过H 作BC 的平行线，取

1DH BC ==，由题易得3,0,02B ?? ???，1,1,02D ?? ???，3,1,02C ??

???

，P ? ??

，

11,42E ? ??

，则51(,42CE =--

，3(,0,2PB =，(0,1,0)BC =，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，

则3020n PB x n BC y ??=-

=????==? ，令1x =，

则t =故(1,0,3)n =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ

，则51

|4sin =|cos

故直线CE 与平面PBC ．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

（20）【2017年浙江，20，15分】已知函数()(12x f x x e x -?

?=≥ ??

?．

（1）求

()f x

的导函数；

（2）求()f x

在区间1

[

+)2∞，上的取值范围．

解：

（1）()(()1111x x

x x f x e x e x e x e ----???'=-

=-=- ?

??．（2）令()g x x =则()1g x '=，当1

12x ≤<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则()g x

在1x =处取得最小值，既最小值为0，又0x e ->，则()f x 在区间1,2??

+∞????

上的最小值为0．

当x 变化时，()f x ，()f x '的变化如下表：

又21122

f e -

??= ???，()10f =，

5122f e -??= ???，则()f x

在区间1,2??+∞????

上的最大值为212e -．

综上，()f x 在区间1,2??

+∞????上的取值范围是1

210,2e -??????

．．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，

属于中档题．

（21）【2017年浙江，21，15分】如图，已知抛物线2x y =，点11,24A ??- ???，39,24B ??

???

，抛物线上的

点()1

4P x y x ??-<< ???，．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．

（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求AP PQ ?的最大值．

解：（1）由题易得()2,P x x ，1322x -<<，故()21

141,1122AP x K x x -

=-∈-+，故直线AP 斜率的取值范围为()1,1-．（2）由（1）知()2,Pxx ，

1322x -<<，所以211,24PA x x ??

=--- ???

，设直线AP 的斜率为k ，则11:24AP y kx k =++， 139

:24BP y x k k =-++，联立直线AP 、BP 方程可知2222

34981,2244k k k k Q k k ??+-++ ?++??，故2343222

1,11k k k k k k k PQ k k ??+----++= ?++??

，又因为()2

1,PA k k k =----，故()()

()()

()()3

11111111k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--?=?=

=+-++，

所以()()311PA PQ k k ?=+-，令()()()3

11f x x x =+-，11x -<<，

则()()()()()221242121f x x x x x '=+-=-+-，由于当1

x -<<-时()0f x '>，

当112x <<时()0f x '<，故()max 127216

f x f ??== ???，即PA PQ ?的最大值为2716．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．（22）【2017年浙江，22，15分】已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1*n n n x x x n N ++=++∈．证明：当*

n N ∈时，

（1）10n n x x +＜＜；

（2）112

2n n n n x x x x

++-≤；

（3）1211

n n n x ++≤≤．

解：（1）令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数．又1()n n x f x +=，若0n x >?1()(0)0n f x f

+>= 恒成立10n x +?>，又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >，

由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>?>．所以10n n x x +<<．

（2）令()()()()2

2ln 1ln 1ln 1222x x x g x x x x x x x +=++--+=++-????????，0x >，