2012年高考真题 - 理科数学（新课标卷）解析版(1)

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 （1）已知集合A?{1,2,3,4,5},B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}；,则B中所含元素

的个数为（ ）

(A)3 (B)6 (C)? (D)??

【解析】选D

x?5,y?1,2,3,4，x?4,y?1,2,3，x?3,y?1,2，x?2,y?1共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

(A)12种 (B)10种 (C)?种 (D)?种

【解析】选A

12 甲地由1名教师和2名学生：C2C4?12种

（3）下面是关于复数z?2的四个命题：其中的真命题为（ ） ?1?i p1:z?2 p2:z2?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1

(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?

【解析】选C z?22(?1?i)???1?i ?1?i(?1?i)(?1?i) p1:z?

2，p2:z2?2i，p3:z的共轭复数为?1?i，p4:z的虚部为?1

- 1 -

x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一点，

2ab?E的离心率为（ ） ?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则

12? (B) (C) 23?【解析】选C

(A)(D)? ?c3? a4? ?F2PF是底角为的等腰三角形?PF2?F2F1?2(a?c)?2c?e?30132（5）已知?an为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10?（ ）

?(A)7 (B) 5 (C)?? (D)??

【解析】选D

a4?a7?2，

a5a6?a4a7??8?a4?4,a7??2或

a4??2,a7?4

a4?4,a7??2?a1??8,a10?1?a1?a10??7 a4??2,a7?4?a10??8,a1?1?a1?a10??7

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N?2)和

实数a1,a2,...,an，输出A,B，则（ ）

(A)A?B为a1,a2,...,an的和 (B)A?B为a1,a2,...,an的算术平均数 2(C)A和B分别是a1,a2,...,an中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,...,an中最小的数和最大的数

【解析】选C

- 2 -

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

(A)6 (B) 9 (C)?? (D)??

【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为V?

（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B

两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

11??6?3?3?9 32(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【解析】选C

设C:x2?y2?a2(a?0)交y2?16x的准线l:x??4于A(?4,23)B(?4,?23) 得：a2?(?4)2?(23)2?4?a?2?2a?4

)在(,?)上单调递减。则?的取值范围是（ ） 4215131 (A)[,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2]

22424【解析】选A

?5?9???2?(?x?)?[,] 不合题意 排除(D)

444?3?5???1?(?x?)?[,] 合题意 排除(B)(C)

444??????3?] 另：?(??)?????2，(?x?)?[??,???]?[,2424422????3?15???? 得：???,????2424224（9）已知??0，函数f(x)?sin(?x?

??- 3 -

（10） 已知函数f(x)?1；则y?f(x)的图像大致为（ ）

ln(x?1)?x【解析】选B

xg(x)?ln(?1x?)x??gx(?)? 1?x?g?(x)?0???1x?0?g,x?()?0?x?0g?x()g?(0) 得：x?0或?1?x?0均有f(x)?0 排除A,C,D

0（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，?ABC是边长为1的正三角形， SC为球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为（ ）

(A)2322 (B) (C) (D) 6632【解析】选A

?ABC的外接圆的半径r?63，点O到面ABC的距离d?R2?r2? 3326 3 SC为球O的直径?点S到面ABC的距离为2d? 此棱锥的体积为V?113262 S?ABC?2d????33436 另：V?

13排除B,C,D S?ABC?2R?36- 4 -

（12）设点P在曲线y?

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ最小值为（ ） 2(A)1?ln2 (B) 2(1?ln2) (C) 1?ln2 (D)2(1?ln2)

【解析】选A 函数y?1xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于y?x对称 21xe?x1x1x2 函数y?e上的点P(x,e)到直线y?x的距离为d?

222 设函数g(x)?1x11?ln2e?x?g?(x)?ex?1?g(x)min?1?ln2?dmin? 222 由图象关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?2(1?ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，

第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

???????

（13）已知向量a,b夹角为45，且a?1,2a?b?10；则b?_____ ?【解析】b?_____32 ????2?2???2a?b?10?(2a?b)?10?4?b?4bcos45?10?b?32 ?x,y?0?(14) 设x,y满足约束条件：?x?y??1；则z?x?2y的取值范围为

?x?y?3?【解析】z?x?2y的取值范围为 [?3,3]

约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则z?x?2y?[?3,3]

- 5 -

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502) 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p?

1 2

3 42超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P1?1?(1?p)? 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2?p1?p?3 8（16）数列{an}满足an?1?(?1)nan?2n?1，则{an}的前60项和为 【解析】{an}的前60项和为 1830 可证明：bn?1?a4n?1?a4n?2?a4n?3?a4n?4?a4n?3?a4n?2?a4n?2?a4n?16?bn?16

?0 b1?a1?a2?a3?a4115?14?S151?01?5?21?6?1 830三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，acosC?3asinC?b?c?0 （1）求A （2）若a?2，?ABC的面积为3；求b,c。 【解析】（1）由正弦定理得：

acosC?3asinC?b?c?0?sinAcosC?3sinAsinC?sinB?sinC ?sinAcosC?3sinAsinC?sin(a?C)?sinC ?3sinA?cosA?1?sin(A?30?)?12

?A?30??30??A?60?

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（2）S?1bcsinA?3?bc?4 2 a2?b2?c2?2bccosA?b?c?4 解得：b?c?2（l fx lby）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n?N）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，

数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。 【解析】（1）当n?16时，y?16?(10?5)?80 当n?15时，y?5n?5(16?n)?10n?80

?10n?80(n?15) 得：y??(n?N)

80(n?16)? （2）（i）X可取60，70，80

P(X?60)?0.1,P(X?70)?0.2,P(X?80)?0.7 X的分布列为

X 60 0.1 70 0.2 80 0.7 P EX?60?0.1?70?0.2?80?0.7?76

222 DX?16?0.1?6?0.2?4?0.7?44

（ii）购进17枝时，当天的利润为

y?(14?5?3?5)?0.1?(15?5?2?5)?0.2?(16?5?1?5)?0.16?17?5?0.54?76.4

76.4?76 得：应购进17枝

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（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1AA1， 2D是棱AA1的中点，DC1?BD

（1）证明：DC1?BC

（2）求二面角A1?BD?C1的大小。 【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC 得：?ADC?45?

?? 同理：?A1DC1?45??CDC1?90

得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC （2）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC

取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H A?C1O?1C1?B1C1 OH?BD?1CH?，面ABA1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD 1H与点D重合 得：点BD 且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角 设AC?a，则C1O?2a?，C1D?2a?2C1O??C1DO?30 2? 既二面角A1?BD?C1的大小为30 （20）（本小题满分12分）

设抛物线C:x?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心，

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2FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若?BFD?900，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m,n距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p

点A到准线l的距离d?FA?FB?2p

1 S?ABD?42??BD?d?42?p?2

2 圆F的方程为x2?(y?1)2?8

2x0p （2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,)

22p22x0x0p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2

2p2p23pp?3p22x?p?x?3y?3p?0 )，直线m:y? 得：A(3p,2223px2x333pp x?2py?y?,) ?y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0 63363p3p:?3。（lfx lby） 26坐标原点到m,n距离的比值为

（21）（本小题满分12分）

x?1已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)e?f(0)x?12x； 2（1）求f(x)的解析式及单调区间；

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12x?ax?b，求(a?1)b的最大值。 212x?1x?1【解析】（1）f(x)?f?(1)e?f(0)x?x?f?(x)?f?(1)e?f(0)?x

2（2）若f(x)? 令x?1得：f(0)?1

x?1 f(x)?f?(1)e?x?12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e 2x 得：f(x)?e?x?12x?g(x)?f?(x)?ex?1?x 2

g?(x)?ex?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0

x 得：f(x)的解析式为f(x)?e?x?12x 2 且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) （2）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0 (a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x?xlnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?2222e时，F(x)max?e 2e 2 当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

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（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D,E分别为?ABC边AB,AC的中点，直线DE交

?ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明：

（1）CD?BC；

（2）?BCD??GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BF

CF//AB?AF?BC?BC?CD （2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是??x?2cos?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

?y?3sin?为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上， 且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求PA?PB?PC?PD的取值范围。 【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,2222?3)

?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)

?x0?2cos?(?为参数) （2）设P(x0,y0)；则?y?3sin??022 t?PA?PB?PC?PD?4x?4y?40

2222 ?56?20sin2??[56,76]（lfxlby）

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（24）（本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲

已知函数f(x)?x?a?x?2

（1）当a??3时，求不等式f(x)?3的解集；

（2）若f(x)?x?4的解集包含[1,2]，求a的取值范围。 【解析】（1）当a??3时，f(x)?3?x?3?x?2?3

x?2x?3??2?x?3? ??或??或??

3?x?2?x?33?x?x?2?3x?3?x?2?3??? ?x?1或x?4

（2）原命题?f(x)?x?4在[1,2]上恒成立

?x?a?2?x?4?x在[1,2]上恒成立

??2?x?a?2?x在[1,2]上恒成立

??3?a?0

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