大物 上海交大课后答案 第八章

习题8

?8-1．如图所示，金属圆环半径为R，位于磁感应强度为B的均匀磁场

?中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v在环所在平面内

运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a、b间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律?i??d?，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感dt应电动势?i?0； （2）利用：?ab??a(v??B?)?dl?b，有：?ab?Bv?2R?2BvR。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

8-2．如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距d?0.5cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。 不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。

首先用?????0IlB?dl??0?I求出电场分布，易得：B?2?r， 则矩形线圈内的磁通量为：???x?a?0I?0Ilx?ax2?r?ldr?2?lnx， 由?d?i??NN?dt，有：?0Il11dxi??2?(x?a?x)?dt ∴当x?d时，有：?N?0Ilavi?2?(d?a)?1.92?10?4V。

解法二：利用动生电动势公式解决。

由??lB??dl???0?I求出电场分布，易得：B??0I2?r， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：?1?NB1lv， 远端部分：?2?NB2lv， 则：????0I1??2?N2?(1d?1d?a)lv?N?0Ialv2?d(d?a)?1.92?10?4V。 8-3．如图所示，长直导线中通有电流强度为I的电流，长为l的金属棒ab与长直导线共面

?且垂直于导线放置，其a端离导线为d，并以速度v平行于长直导线作匀速运动，求金属棒中的感应电动势?并比较Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决：

??0I??d??(v?B)?dl?v?dr，

2?r∴????0vI2??d?ld?0vId?ldr??ln，

2?dr由右手定则判定：Ua>Ub。

解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路abb'a'，如图，

???0Iyd?ld?l?0I???B?dS???ln， ydrSd2?d2?r∴???a'dryb'r?0Id?ldy?0Ivd?ld?。 ??ln???lndt2?ddt2?d由右手定则判定：Ua>Ub。

8-4．电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120?， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。

?BAO?AO??0Iv2R?0Iv????(v?B)?dl???dx??ln2，

R2?x2?5??0Iv5R?0Iv??2??(v?B)?dl???dx??ln，

2R2?x2?4B?OBA?O∴?AB??AO??OB???0Iv5ln。 2?2解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为?，那

??0I?0I?0I??么，B?，再由???(v?B)?dl有： ??2?x2?(2R?Rcos?)2?R(2?cos?)d??B?Rd??vsin?，∴????2?30?0I2?R(2?cos?)?Rvsin?d????0Iv5ln。 2?28-5．有一长直螺线管，每米有800匝，在管内中心放置一绕有30圈的半径为1cm的圆形小回路，在1/100s时间内，螺线管中产生5A的电流，问小回路中的感应电动势为多少？ 解：长直螺线管内部的磁场为：B1??0n1I1由题意：

穿过小回路的磁通量为：?m2?N2B1S2 小回路中的感应电动势为：

dI15??500A/s dt1/100??d?mdI??0n1N2S21 dtdt?4??10?7?800?30???10?4?500?4.74?10?3V

8-6．电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按

B?B0sin?t的规律变化。已知a?10cm，B0?2?10?2T，

??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

?i??d?dB??(???4a2??a2)?3?a2B0?cos?t， dtdt3?a2B0?cos?t?∴I? RR?iImax5πa2B0ω3π?0.12?2?10?2?50???9.42?10?3A。

R10

8-7．直导线中通以交流电，如图所示，置于磁导率为?的介质中， 已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量，求：与其共面的 N匝矩形回路中的感应电动势。

???0IB?dl??I解：首先用?求出电场分布，易得：， B?0??l2?x则矩形线圈内的磁通量为：???d?ad?0I?0Ild?a?0I0ld?a， ?ldr?ln?sin?tln2?r2?d2?dN?0I0ld?d?a∴???N。 ???cos?tlndt2?d

dB?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭dt合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合回

8-8．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有

路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?∴?感1??1332a?a?a， 224d?dB32dB， ???S?OAD??a?dtdt4dt??????????而?感1???E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??DA

lAOODADDA∴?AD?32dB； a?4dt1?2?dB?a，∴?感2??a2?， 236dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??6a2?dB； dt32dB，逆时针方向。 )a?64dtR

（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?，

5

??3a2dB回路中的电流：I??(?，逆时针方向； )?R64Rdt那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(??那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dBR??BC??()a?。 510dt

?38-9．在长为60cm、直径为5.0cm的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0?10H的线圈？

解：设需绕N匝线圈，当通以电流I时，通过螺线管线圈的磁通量为

NN2?m?NBS?N?0IS??0IS

ll?mN2??0S 由自感的定义可得：L?Il?Ll1/2?6?10?3?0.6)??因此有：N?(?4??10?7???0.0252???0S??1/2?1209匝

8-10．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：

?0NIB?2?r???R2(R1?r?R2)则????S??B?dS，有：

R1?0NIhR2?0NI ?h?dr?ln2?r2?R1??0N2hR2ln利用自感定义式：L?，有：L?。

I2?R1

8-11．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感；

（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。 解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：

?NI?NIB?0B2?2?RB?0B

4?RB2RB（1）A中的磁通链为：?A?NABSA?AB??0NANBI2RB?SA。则：M??AIB??0NANBSA2RB，

4??10?7?50?100?4?10?4?20??10?7?6.28?10?6H。 ∴M?2?0.2d?A?0NANBSAdI（2）∵???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V。

dt2RBdt

8-12．一矩形线圈长l=20cm，宽b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计，求图(a)(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。 解：设直导线通以电流I1。

图(a)情况下，通过矩形线圈的磁通量为：?m2?由互感的定义，线圈与长直导线间的互感为：

?2bbN2?0I1?Illdx?N201ln2 2?x2??m2?0l4??10?7?0.2M??N2ln2?100?ln2?2.8?10?6H

I12?2?图(b)情况下，通过矩形线圈左右两半面积的磁通量相互抵消，总磁通量为0，因此线圈与长

直导线间的互感也为0。

8-13．一个螺线管的自感为10mH，通过线圈的电流为4A，求它所储存的磁能。 解：螺线管的磁能为

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