2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科数学试题

2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．

2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

参考公式：① 柱体的体积公式V?Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

② 锥体的体积公式V?1Sh，其中S为柱体的底面积，h为锥体的高． 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数y?lgx的定义域为A,B?x0?x?1,则A?B?

A．?0,??? B．?0,1? C．?0,1? D．?0,1? 2．设i为虚数单位,若复数z?m?2m?3??m?1?i是纯虚数,则实数m?

2????A．?3 B．?3或1 C．3或?1 D．1 3．设函数y?sin2x?3cos2x的最小正周期为T,最大值为A,则

A．T??,A?2 B. T??,A?2 C．T?2?,A?2 D．T?2?,A?2

4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60?的扇形,则该几何体的体积为

A．

2?? B． C．? D．2?

3325．给定命题p:若x?0，则x?0；

命题q:已知非零向量a,b,则 “a?b”是“a?b=a?b”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是

A．p?q B． ??p??q C．??p??q D．??p????q?

图1

?x2?2x,x?06．已知函数f?x???2.若f(?a)?f?a??2f(1)，则a的取值范围是

x?2x,x?0? A．[?1,0) B．?0,1? C．??1,1? D．??2,2?

7．执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为22,则输出的s的值为

1

A．232 B．211 C．210 D．191 8．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n?2）任意排成n行n列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a、b（a?b）的 比值

a,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当n?2时, 数表 b的所有可能的“特征值”最大值为

A．3 B．C．2 D．

4 33 2

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．

(一)必做题(9～13题)

9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为

1,则总体中的个体数为 . 910. 不等式x?3?2x?1的解集为_________.

11．若(x?1)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x,则a0?a2?a4的值为_______.

4234y2x2y2?1的两个焦点，P是双曲线与椭圆??1的一个公共点，则?PF1F2的12．设F1,F2是双曲线x?2449242面积等于_________.

?x?y?3?0?13．如果实数x、y满足?x?y?1?0,若直线x?ky?1?0将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值

?x?1?为______.

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线C1:?cos??1与C2:??4cos?的交点分别为A、B,则

AB? .

15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A引圆的切线AD和割线ABC， 已知AD?3，AC?33，圆O的半径为5，则圆心O 到AC的距离为 ．

BOC A D

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)

2

在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a?(Ⅰ) 求cosB的值；

(Ⅱ) 设函数f(x)?sin?2x?B?,求f?

17.(本题满分12分)

3b,B?C. 2????的值. ?6?佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、

159、162、173、181、165、176、168、178、179.

(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X,求X的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)

图4

排球队 篮球队

如图5,矩形ABCD中,AB?12,AD?6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE?3,BF?4,将

?BCE沿BE折起至?PBE位置(如图6所示),连结AP、EF、PF,其中PF?25. (Ⅰ)求证:PF?平面ABED；

(Ⅱ)求直线AP与平面PEF所成角的正弦值.

19.(本题满分14分)

如图7所示,已知椭圆C的两个焦点分别为F1??1,0?、F2?1,0?,且F2到直线x?3y?9?0的距离等

3

D E

. . F

C

D A P

C

F

图6

E B A 图5

B

于椭圆的短轴长.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 若圆P的圆心为P?0,t?(t?0),且经过F1、F2,Q是椭圆C上的动点且在圆P外,过Q作圆P的

y 32切线,切点为M,当QM的最大值为时,求t的值.

2

20.(本题满分14分)

. . O FF1 2 x 图7

数列?an?、?bn?的每一项都是正数,a1?8,b1?16,且an、bn、an?1成等差数列,bn、an?1、bn?1成等比数列,n?1,2,3,?.

（Ⅰ）求a2、b2的值；

（Ⅱ）求数列?an?、?bn?的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n,有

21.(本题满分14分)

已知函数f?x??xx?a?11112??????. a1?1a2?1a3?1an?171lnx. 2（Ⅰ）若a?1,求f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （Ⅱ）求函数f?x?的极值点；

（Ⅲ）若f?x??0恒成立，求a的取值范围

.

?? 2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 D 6 C 7 B 8 D 二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 4

9．180 10．??1?2?,4? 11．8 12．24 13． 14．23 15．2

3?3?三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分12分)

【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B?C，所以c?b，……………………………………………………………2分

3b， 2a2?c2?b2所以cosB?， ………………………………………………………3分

2ac32b?42 ……………………………………………………………………4分

3b又a?3 ……………………………………………………………………5分 433解法2：∵a?b，∴sinA?sinB……………………………………………………2分

223sinB………………………………………3分 ∵B?C，且A?B?C??，所以sin2B?2?又2sinBcosB?3sinB ………………………………………4分 2∵sinB?0， ∴cosB?(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB?1?cosB?（注：直接得到sinB?所以f?23.……………………………………………………………………5分 413，………………………………………………………………7分 413不扣分） 4???????sin?B??? ………………………………………………………………8分 ?6??3??sin??3cosB?cos?3sinB ………………………………………………10分

33113??? …………………………………………………………11分 2424?3?13. …………………………………………………………12分 817.(本题满分12分)

【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）

(Ⅱ)排球队中超过170cm的有4人,超过178cm的有3人, 篮球队中超过170cm的有5人,超过178cm的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）

所以X的所有可能取值为0,1,2则……………………5分

5

排球队 篮球队

3 2 18 1

9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8

8 15 9

（注：正确写出X的值1分）

11C1C3P(X?0)?13?, 120C4C51111C1C2?C3C311P?X?1???, 1120C4C511C3C6P?X?2??12?,………………………………………………………………………………10分 1C4C520（注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）

所以X的分布列为

X P 0 3 201 11 202 6 20 ……………………………………………11分 所以X的数学期望EX?0?311623.……………………………………………12分 ?1??2??20202020（注：若学生将X写成? 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分） 18.(本题满分14分)

【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,PB?BC?6,PE?CE?9,

在?PBF中,PF?BF?20?16?36?PB,所以PF?BF ………………………………………2分 在图1中,易得EF?62??12?3?4??61, ………………………………………3分 在?PEF中,EF?PF?61?20?81?PE,所以PF?EF ………………………………………4分 又BF?EF?F,BF?平面ABED,EF?平面ABED,所以PF?平面ABED. ………………6分

A x z D P D A P

C

H F

解法二图

2222222E F 解法一图 C y B E B （注：学生不写BF?EF?F扣1分）

(Ⅱ)方法一:以D为原点,建立空间直角坐标系D?xyz如图所示,则A?6,0,0?,P6,8,25,

??????????????E?0,3,0?,F?6,8,0?,所以AP?0,8,25,FP?0,0,25,EF??6,5,0?, …………8分

????????5???25?z?0??x??y?n?FP?0设平面PEF的法向量为n??x,y,z?,则????,即?,解得?6 ???6x?5y?0???n?EF?0?z?0令y??6,得n??5,?6,0?,………………………………………………………………………………12分

6

????AP?n8128148设直线AP与平面PEF所成角为?,则sin?????. ???42784?61APn所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为方法二:过点A作AH?EF于H,

由(Ⅰ)知PF?平面ABED,而AH?平面ABED

所以PF?AH,又EF?PF?F,EF?平面PEF,PF?平面PEF, 所以AH?平面PEF,

所以?APH为直线AP与平面PEF所成的角. ………………………………………………………9分 在Rt?APF中,AP?

81281. ………………………………………………14分 427AF2?PF2?64?20?221 …………………………………………11分

在?AEF中,由等面积公式得AH?在Rt?APH中,sin?APH?48AF?AD…………………………………………………13分 ?EF61AH16381281??? AP42761221所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为

19.(本题满分14分)

81281. ………………………………………………14分 427x2y2【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0),

ab1?9?4, ……………………………………………………………………1分 依题意,2b?2所以b?2 …………………………………………………………2分 又c?1, …………………………………………………………3分

所以a?b?c?5, …………………………………………………………4分

222x2y2??1. …………………………………………………………………………5分 所以椭圆C的方程为54x2y2??1), ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 设Q?x,y?(其中54圆P的方程为x??y?t??t?1,………………………………………………………………………7分

222因为PM?QM, 所以QM?PQ?t2?1?x2??y?t??t2?1…………………………………………………8分

22??12?y?4t??4?4t2 …………………………………………………9分 4当?4t??2即t?且QM1时,当y??2时,QM取得最大值, ……………………………………………10分 23231,解得t??(舍去). ………………………………………………11分 282 7

max?4t?3?

当?4t??2即0?t? 且QM1时,当y??4t时,QM取最大值, …………………………………………12分 232211,解得t2?,又0?t?,所以t?.………………………………13分

4228max?4?4t2? 综上,当t?232时,QM的最大值为. ……………………………………………………………14分 42…………………………………………………1分

20.(本题满分14分)

【解析】(Ⅰ)由2b1?a1?a2，可得a2?2b1?a1?24.

2a2由a?b1b2，可得b2??36.

b122 …………………………………………………………………2分

（Ⅱ）因为an、bn、an?1成等差数列，所以2bn?an?an?1…①. ………………………………………3分

2因为bn、an?1、bn?1成等比数列，所以an?1?bnbn?1， …………………………………4分

因为数列?an?、?bn?的每一项都是正数，所以an?1?bnbn?1…②. 于是当n?2时，an?bn?1bn…③.

…………………………………………………………………4分

将②、③代入①式，可得2bn?bn?1?bn?1， …………………………………………………………5分 因此数列

?b?是首项为4，公差为2的等差数列，

n（注：学生不写上述陈述扣1分）

所以bn?b1??n?1?d?2n?2，于是bn?4?n?1?. …………………………………………………6分 由③式，可得当n?2时，an?bn?1bn?4n2?4?n?1??4n?n?1?. …………………………………7分 当n?1时，a1?8，满足该式子，所以对一切正整数n，都有an?4n?n?1?.…………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出an,bn 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为方法一:首先证明因为

2211112???L?2?.…………………………9分 723474n?4n?1712?11?????（n?2）.

4n2?4n?17?nn?1?12?11?12?????7n2?7n?8n2?8n?2 ??2224n?4n?17?nn?1?4n?4n?17n?7n?n2?n?2?0??n?1??n?2??0, …………………………10分

所以当n?2时，当n?1时，

11112??11?1??1212?1??L?2???????L?????????. …12分 7234n?4n?177??23?nn?1???7727

……………………………………………………………………13分

12?. 77综上所述，对一切正整数n，有方法二:

11112??????……………………………14分 a1?1a2?1a3?1an?171111?11???????.

4n2?4n?14n2?4n?3?2n?1??2n?3?4?2n?12n?3?当n?3时，

111 ??L?27234n?4n?1 8

?111??11??11?1??11???1???????????L????????? 7234??59??711?2n?32n?12n?12n?3??????当n?1时，

111?11?1112?????????. ……………………………………………………12分 7234?57?714147…………………………………………13分

1211112?；当n?2时，????. 77723777（验证不写扣1分）

综上所述，对一切正整数n，有方法三:

11112???...??……………………………14分 a1?1a2?1a3?1an?171111?11???????. 224n?4n?14n?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?当n?4时,

111 ??L?27234n?4n?1?1111??11??11?1??11???1????????????L????????? 723472??79??911??2n?32n?1??2n?12n?1??11112????. ……………………………………………………12分 723471471211112当n?1时，?；当n?2时，????；

777237771111112当n?3时，??????. ……13分

72347714147（验证不写扣1分）

?综上所述，对一切正整数n，有21.(本题满分14分)

【解析】f?x?的定义域为?0,???.……………………………………………………………………………1分

11112???...??……………………………14分a1?1a2?1a3?1an?171(Ⅰ)若a?1，则f?x??x?x?1??lnx，此时f?1??2.

215，所以f??1??, …………………………………………………2分 2x25所以切线方程为y?2??x?1?，即5x?2y?1?0. ……………………………………………3分

2

因为f??x??2x?1?1（Ⅱ）由于f?x??xx?a?lnx，x??0,???.

21⑴ 当a?0时，f?x??x2?ax?lnx，

214x2?2ax?1， ……………………………………………4分 f??x??2x?a??2x2x?a?a2?4?a?a2?4令f??x??0，得x1?， ?0，x2??0（舍去）

44且当x??0,x1?时，f??x??0；当x??x1,???时，f??x??0，

9

?a?a2?4所以f?x?在?0,x1?上单调递减，在?x1,???上单调递增,f?x?的极小值点为x?. …5分

41?2x?ax?lnx,x??a??2⑵ 当a?0时，f?x???. ……………………………………6分 ??x2?ax?1lnx,0?x??a?2??a?a2?4?a?a2?44x2?2ax?1① 当x??a时，f??x??，令f??x??0，得x1?,x2???a(舍去).

442x?a?a2?42若，则f??x??0，所以f?x?在??a,???上单调递增； ??a，即a??42?a?a2?42若??a，即??a?0， 则当x???a,x1?时，f??x??0；当x??x1,???时，f??x??0，

42所以f?x?在区间??a,x1?上是单调递减，在?x1,???上单调递增. ……………………………………7分

1?4x2?2ax?1② 当0?x??a时，f??x???2x?a?. ?2x2x令f??x??0，得?4x2?2ax?1?0，记??4a2?16， ……………………………………8分

若??0，即?2?a?0时，f??x??0，所以f?x?在?0,?a?上单调递减；

?a?a2?4?a?a2?4若??0，即a??2时，则由f??x??0得x3?，x4?且

440?x3?x4??a，

当x??0,x3?时，f??x??0；当x??x3,x4?时，f??x??0；当x??x4,?a?时，f??x??0，

所以f?x?在区间?0,x3?上单调递减，在?x3,x4?上单调递增；在?x4,?a?上单调递减. ………………9分

?a?a2?4?a?a2?4综上所述,当a??2时,f?x?的极小值点为x?和x??a，极大值点为x?；

44当?2?a??2时,f?x?的极小值点为x??a； 2?a?a2?42当a??时,f?x?的极小值点为x?.…………………………………………………10分

42（Ⅲ）函数f?x?的定义域为x??0,???. 由f?x??0，可得x?a?lnx…（*） …………………………………………………11分 2xlnx（ⅰ）当x??0,1?时，?0，x?a?0，不等式（*）恒成立；

2xlnx（ⅱ）当x?1时，?0，即1?a?0，所以a?1；…………………………………………………12分

2xlnxlnx（ⅲ）当x?1时，不等式（*）恒成立等价于a??x?恒成立或a??x?恒成立.

2x2xlnx?x2?1?lnx11?2x22令g?x???x?,则g??x??.令??x???x?1?lnx,则???x???2x???0, 2xx2x2x?x2?1?lnx而??1???1?1?ln1??2?0，所以??x???x?1?lnx?0，即g??x???0， 22x22 10

因此g?x???x?所以a??x?lnx在?1,???上是减函数，所以g?x?在x??1,???上无最小值， 2xlnx不可能恒成立. 2xlnx1?lnx?2x2?1?lnx令h?x???x?，则h??x???1???0，因此h?x?在?1,???上是减函数，

2x22x22x所以h?x??h?1???1，所以a??1.又因为a??1，所以a??1.

综上所述，满足条件的a的取值范围是??1,???.…………………………………………………………14分

11

因此g?x???x?所以a??x?lnx在?1,???上是减函数，所以g?x?在x??1,???上无最小值， 2xlnx不可能恒成立. 2xlnx1?lnx?2x2?1?lnx令h?x???x?，则h??x???1???0，因此h?x?在?1,???上是减函数，

2x22x22x所以h?x??h?1???1，所以a??1.又因为a??1，所以a??1.

综上所述，满足条件的a的取值范围是??1,???.…………………………………………………………14分

11

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