拔高专题7 - 分式方程及其应用（含答案）

培优训练8、分式方程及其应用 姓名： 学号： 时间：

【知识精读】

1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：

分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得 例2. 解方程

x?1x?6x?2x?5??? x?2x?7x?3x?6 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差(x?6)与(x?7)、(x?2)与(x?3)1，而分子也有这个特点，因此，可将

x?6x?5x?2x?1 ???x?7x?6x?3x?211?(x?6)(x?7)(x?2)(x?3)所以(x?6)(x?7)?(x?2)(x?3)即8x??369?x??29??。

2

x2 ??1x?1x?1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根

解：方程两边都乘以(，得 x?1)(x?1) 经检验：原方程的根是x

例3. 解方程：

x?2(x?1)?(x?1)(x?1)，即x2?2x?x2??1?2， ?x2121x?0323x?4242x?316x?19???

43x?89x?87x?45x? 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分

数式之和。

?323经检验：x?是原方程的根。2

? 解：由原方程得：31221?4??3??4?

4x?38x?98x?74x?5- 1 -

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即

2222 ???8x?98x?68x?108x?7 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

5、中考题解： 例1．若解分式方程 A. C.

11于是?，(8x?9)(8x?6)(8x?10)(8x?7)所以(8x?9)(8x?6)?(8x?10)(8x?7) 解得：x?1经检验：x?1是原方程的根。2xm?1x?1产生增根，则m的值是（ ） ??x?1x?xx D.

B.

?1或?2

?1或2

1或2 1或?2

例4. 解方程：

226y?12y?4y ?2?2?0?y?4y?4y?4y?4y?4 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

22把x?0或x??1x??(m1)?(x?1)，x?0或x??1，化简原方程为：2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

26(y?2)(y?2)(y?2)y???0 解：原方程变形为： 22(y?2)(y?2)(y?2)(y?2)代入解得m，故选择D。 ?1或?2 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：

约分，得

26y?2y???0 y?2y?2(y?2)(y?2)y?2)(y?2)，得 方程两边都乘以(

22 6(y???2)(y2)?y?06066? xx?260x?120?66x

整理，得2y?16y?8 ??x?20?x?2?22经检验：x?20是原方程的根

经检验：y?8是原方程的根。- 2 -

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答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：

例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时

解：方程两边都乘以x2 x?4?mx?3x?6?4，得2 整理，得( m?1)x??1010m?1如果方程产生增根，那么x2?4?0，即x?2或x??2当m?1时，x??10?2?m??4m?110（2）若x??2，则???2?m?6m?1（3）综上所述，当m??4或6时，原方程产生增根（1）若x?2，则?

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

【实战模拟】

1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.

42?80??7??x?yx?y 由题意，得?

4070???7??x?yx?y

?x?17解得：??y?3Sa?b B.

S?avb C.

S?ava?b D.

2Sa?b

?x?17经检验：是原方程的根?y?3?

2. 如果关于x的方程 A.

- 3 -

2m?1?有增根，则m的值等于（x?3x?3）

?3

B.

?2

C.

?1

D. 3

答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时，关于x的方程

2mx3???会产生增根？ x?2x??24x培优训练8、分式方程及其应用 姓名： 学号： 时间：

3. 解方程：

4. 求x为何值时，代数式1111 （1）?????22x?912??的值等于2？

x?3x?3xx?10(xx?1)(?2)(x?23)(x?)(x?91)(x?0)

（2）xx2x4x1?x?1?x?1?x2?1?x4?0

5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两

队单独完成各需多少天？

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1?x?1?x24??221?x1?x1?x4 1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为（S?av）千米。 224 ? ??1?x21?x21?x4Sa?v448 又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为 千米/小时，应选B。????0b1?x41?x41?x8?x?0 2. 把方程两边都乘以x?3，得2?x?3?m?x?5?m.

【试题答案】

? 若方程有增根，则x ?3，即5?m?3?m??2应选B。 3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都

经检验：x?是原方程的根。 0x?912 4. 解：由已知得2???2x?3x?3x相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用

111裂项，??nn(?1)nn?1即用“互为相反数的和为0”将原方程化简 解：原方程可变为

1111111????????2

x?10x?1x?2x?2x?3x?9x?10312???2x?3x?3x ?3?1?2?0

x?3x?3x3解得x?23经检验：x?是原方程的根。2即2?329x?12 ?的值等于2。 当x?时，代数式??2x?3x?3x1??2x?1即2x?2?1

5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需

由题意，得

1x??2经检验：原方程的根是x??122x天。 3111?2(?)?1 xx2x3 （2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法

1124??2?4)?0 1?x1?x1?x1?x1124??2?4 因为其中的

1?x1?x1?x1?x( 解：x123即???1 xxx 解得：x?6?6是原方程的根 经检验x

2x?6时，x?4

3 答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。 - 5 -

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