双曲线的几何性质教学设计

双曲线的几何性质教学设计

【复习引入】

椭圆我们先学习了定义和标准方程，并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质。 它有哪些几何性质？（范围，对称性，顶点，离心率）

学习了双曲线的定义和标准方程之后，这节课，我们就要利用双曲线的标准方程来研究双曲线有怎样的几何性质。 双曲线的标准方程是什么？

标准方程

x2y2?2?12ab焦点在x轴：

(a?0,b?0)

y2x2?2?1(a?0,b?0)2b焦点在y轴：a

给出一首歌曲《悲伤的双曲线》。 （大概一分钟左右），引起学生兴趣，渴望知道双曲线的性质，这样顺利进入探究新知环节中。

下面我们类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质。 (目的是让学生产生联想椭圆时的情景，用类比方法推导双曲线范围，……联想和类比也是数学中非常重要的思维方法．) 【新课】

一．范围，对称性和顶点 1．范围、对称性

x2y2?2?1222x?ab 由标准方程a可得x?a，当时，y才有实数值；对于y的任何值，

x都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随

着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封

闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点

???? 顶点：A1(a,0),A2?a,0 特殊点：B1(0,b),B20,?b

实轴：

A1A2长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长 x2y2?2?12b 结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程a中，令y=0得x??a，故x2y2?2?12??A(a,0),A?a,0ab12它与x轴有两个交点，且x轴为双曲线的对称轴，所以

A1(a,0),A2??a,0?与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其

x2y2?2?12AAb对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段12叫做双曲线a的实轴长，

它的长是2a.

x2y2?2?1222y??bab 在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没

有交点。但Y轴上的两个特殊点B1(0,b),B2?0,?b?，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混

淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

二．渐近线

用反比例函数双曲线伸向远处时分别于x轴，y轴无限接近，那么x轴与y轴就叫做反比例函数的渐近线。思考:是否存在直线在无穷远处与双曲线无限接近，也就是说，双曲线是否存在渐近线？(不需要回答)

在学习椭圆时，以原点为中心，2a,2b为邻变的矩形，对于估计椭圆的形状，画出椭圆的简图有很大帮助，试问对双曲线，仍然以2a,2b为邻边做一矩形，那么双曲线和这个矩形有什么关系呢？这个矩型对于估计和画出双曲线有什么指导意义呢？（不要求学生回答，只引起学生类比联想）。 接着再提出问题：当a,b为已知时，这个矩形的两条对角线所在的直线的方程是什么？（请一名同学回答）。

画出两条对角线，进一步引导学生从图中观察得出结论：双曲线

x2y2??1a2b2(a?0,b?0)各支向外延伸时，与这两条对角线逐渐接近。我们把两条直线

y??bxa叫做双曲线的渐近线。

再看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程。由于检点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程将x,y对调得到的，自然前者的渐近线方程也可以由后者渐近线方程将

x??字母x，y对调而得，所以双曲线的渐近线方程是

22bxyy??x?2?12ab 定义：直线叫做双曲线abayy??xa，也就是b。

y??的渐近线，直线

(a?0,b?0)axb叫

y2x2?2?12b做双曲线a的渐近线。

最后向学生说明我们研究渐近线是为了较准确地画出双曲线的草图。 渐近线对双曲线开口大小的影响。 三．离心率

(a?0,b?0) 椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：

?e?c,c?a,?e?1，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。 a通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

bc2?a2c22???1?e?12222aaa由等式c?a?b，可得：，不难发现：e越小（越

bb接近于1），a就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，a就越大，双曲线开口越大。所以，

双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

例1 （由双曲线求渐近方程） 求下列双曲线的实轴长、虚轴长，离心率，焦点坐标、顶点坐标，渐近线方程(写成直线的一般式)。

(1)4x2-9y2=36 (2)4x2-9y2=-36

(3)25x-4y=100

结果：

双曲线4x-9y=36，渐近线方程是：2x±3y=0，

双曲线4x2-9y2=-36，渐近线方程是：2x±3y=0， 双曲线25x2-4y2=100，渐近线方程是：5x±2y=0， 双曲线25x2-4y2=-100，渐近线方程是：5x±2y=0．

【提示】可以发现，双曲线方程与其渐近线方程之间似乎存在某种规律(启发学生讨论，归纳)．

生：每项开平方，中间用正、负号连接起来，常数项改为零，就得到渐近线方程． 师：谁还补充？

生：以各项系数绝对值的算术平方根为x，y的系数，且用正负号连接起来等于零，就是渐近线方程．

生：如果两个曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关． 生：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同． 生：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？

2

2

2

2

(4)25x-4y=-100

22

是特殊的双曲线．这个结论很容易记忆．

例2（由渐近线求双曲线方程）

x2y2??1169求与双曲线共渐近线且过A(33,?3)的双曲线的方程 解：方法一：分情况讨论：焦点在x轴上和焦点在y轴上。 方法二：总结由渐近线推导双曲线方程的一般方法。

x2y2x2y2?2?1?2??22A(33,?3)4343设与共渐近线且过的双曲线的方程为（后面证明）

11(33)2(?3)2?????216 32则 4 ，从而有

bx2y2y??x?2??(??0)2aab证明:渐近线方程为的双曲线的方程可写成的形式.

【总结】

用表格的形式让学生清楚的看到双曲线的性质。 【板书】

2.2.2双曲线的几何性质 渐近线

x2y2?2?12ab双曲线

(a?0,b?0)y??渐近线是直线

bxa

y2x2?2?12b叫做双曲线a

(a?0,b?0)y??渐近线是直线

axb.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y0e.html