基于最优窗Burg算法的电力系统间谐波谱估计_李明

2011年1月 第26卷第1期

电 工 技 术 学 报

TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY

Vol.26 No. 1

Jan. 2011

基于最优窗Burg算法的电力系统

间谐波谱估计

李 明 王晓茹

（西南交通大学电气工程学院 成都 610031）

摘要 Burg算法适合于电力系统间谐波谱估计，但存在谱峰偏移和谱线分裂的缺点，影响其谱估计效果。本文在误差分析的基础上提出了基于最优窗Burg算法的间谐波谱估计新方法。首先通过在平均频率误差方差最小的意义下来获得最优窗，再将加窗后的预测误差平均功率最小化来求取反射系数，最终求得信号的功率谱。仿真结果表明，与传统的Burg算法和汉明窗Burg算法相比，最优窗Burg算法具有更好的谱估计性能。并且，由于采用Levinson递推，其计算复杂度明显低于特征值法。该方法可应用于电力系统间谐波谱估计。

关键词：电能质量 最优窗Burg算法 间谐波 电力系统 中图分类号：TM711

Inter-Harmonic Spectral Estimation in Power System Based on the Optimal Window Burg Algorithm

Li Ming Wang Xiaoru

（Southwest Jiaotong University Chengdu 610031 China）

Abstract The Burg algorithm is suitable for spectral estimation of inter-harmonic in power system, but its effect of spectral estimation is affected by peak bias and spectral line splitting. By analyzing the error, a new method of inter-harmonic spectral estimation based on the optimal window Burg algorithm is presented in this paper. The optimal window can be obtained by minimizing the variance of average frequency error. Then reflection coefficient is obtained by minimizing the average power of windowed prediction error. Finally, the power spectrum is obtained. Experimental results show this method has high frequency resolution compared with Burg algorithm and hamming window Burg algorithm. And by Levinson iteration, this method has lower computational complexity than eigenvalue method. This method can be used in the inter-harmonic spectral estimation in power system.

Keywords：Power quality, the optimal window Burg algorithm, inter-harmonics, power system

进行分析，从而为电力系统的监控和保护提供依 据[1]。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是最常用的电力系统谐波分析方法，但其频率分辨率较低，并且，非同步采样的情况下，还会导致长范围泄漏和栅栏效应[2]。文献[3]采用加窗插值的方式来对FFT进行改进，可减少长范围泄漏和栅栏效应的影响。但通过加窗插值的方式不能提高算法的频率分辨率，并且，在时域内加平滑窗还会进一步

1 引言

电力系统中不仅存在大量的整数次谐波，也存在着非整数次谐波（次谐波，间谐波）。间谐波对电力系统及设备的危害很大，会引起灯光闪烁、低频继电器异常运行、无源滤波器过流跳闸、感应电动机噪声和振动等问题。因此，需对电力系统间谐波

收稿日期 2009-07-20 改稿日期 2009-10-13

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电 工 技 术 学 报 2011年1月

降低频率分辨率。为了检测出信号中所有的谐波和间谐波分量，窗宽一般高达几十个信号周期，不利于实时检测。特征值算法[4-8]通过将自相关矩阵中的信息空间分解为信号子空间和噪声子空间，从而达到谐波分析的目的，具有较高的频率分辨率，故被广泛应用于电力系统间谐波检测中。但其运算量较大，硬件实现比较困难。小波变换[9-10]和时频分析[11]也被用于分析电力系统间谐波，但频率分辨率和估计精度较低，运算量也较大。

自回归（Autoregressive，AR）模型谱估计方法中的Burg算法具有很高的频率分辨率，并且由于采用Levinson递推，可进行高效计算，故被应用于电但Burg算法对初始相力系统间谐波谱估计中[12-13]。

位较为敏感，在对较短的间谐波信号进行分析时尤为明显，导致出现谱峰偏移，并在阶数较大时易出现谱线分裂。针对Burg算法的这一缺点，已有多种改进算法，Marple算法

[14]

式中，fm(n)=η(n)+

∑am(i)η(n i)，m=2M。

i=1

m

由式（2）可见，电力系统间谐波信号y(n)可看作为AR模型。另外，由于事先并不知道信号所含谐波和间谐波的个数，所以AR模型阶数m需要预估，现有的AR模型阶次准则（如最终预测误差准则，Akaike信息准则等）所预估的结果都不理想，一个经验法则是，对于一个较短的间谐波信号，可令m的取值范围为N/3～N/2（N为信号采样点数），这样得到的谱估计效果较好[18]。

AR模型中较常用的方法为Burg算法，该方法利用Levinson递推公式由低阶到高阶来求取AR模型参数，Levinson递推公式为[16,19]

am(i)=am 1(i)+am(m)am 1(m i) （3）

式中，i=1,2,…,m 1。

由式（3）可以看出，在m 1阶解已知的情况下，欲求出m阶解，仅有am(m)未知，所以，关键的问题是如何求取反射系数am(m)。Burg算法通过在前、后向预测误差平均功率最小的意义下直接求解am(m)。首先定义前、后向预测误差分别为

fm(n)=y(n+m)+

bm(n)=y(n)+

解除了Levinson递推公式

这一强约束条件，其频率偏移程度较低，且不存在谱线分裂现象，谱估计性得到提高，但是，该算法不能保证得到一个稳定的AR模型，虽然可以设定递推结束条件来保证算法的稳定性，但会使谱估计结果趋于保守，可能会丢失一些谱峰。汉明窗Burg算法

[15]

和最优窗Burg算法

[16]

通过对预测误差平均

功率进行加窗，可以降低频率偏移和谱线分裂程度，并且可以得到一个稳定的AR模型，而最优窗Burg算法通过使平均频率误差最小，其谱估计性能要进一步优于汉明窗Burg算法。

本文采用最优窗Burg算法，将其应用于电力系统间谐波谱估计。与Burg算法相比，该算法对初始相位不敏感，频率偏移和谱线分裂程度较低，谱估计性能较好，与各种特征值算法相比，其计算复杂度较低。仿真结果验证了该方法的有效性。

∑am(i)y(n+m i) （4）

i=1m

m

∑am(i)y(n+i) （5）

i=1

将式（3）代入到式（4）和式（5）中，可得

fm(n)=fm 1(n+1)+am(m)bm 1(n) （6） bm(n)=bm 1(n)+am(m)fm 1(n+1) （7）

式（6）和式（7）分别为前、后项预测误差的阶数递推公式，则m阶预测误差平均功率为

221N m

em=fm(n)+bm(n) （8）

2n=1

2 基于加窗Burg算法的间谐波检测原理

设电力系统间谐波信号为

y(n)=

∑

i=1

M

∑

2πfin

+ i +η(n) （1） Aisin fs

对预测误差平均功率em进行加窗后可得[18]

221N m

em=wm(n) fm(n)+bm(n) （9）

2n=1

式中，M为信号中所含谐波和间谐波的个数；Ai，fi， i分别为第i次谐波的幅值、频率和初始相位；fs为采样频率；η(n)为白噪声序列。

式（1）可转化为[17]

y(n)=

∑

式中，wm(n)为m阶窗函数。如果wm(n)选取合适，可明显降低谱峰偏移程度，具体原因详见第3节。

将式（6）、式（7）代入到式（9）中，再令

∑am(i)y(n i)+fm(n) （2）

i=1

m

第26卷第1期

李 明等 基于最优窗Burg算法的电力系统间谐波谱估计 179

em/ am(m)=0，可求得

式（13）可表示为

a1(1)=cosω+θsinω≈cos(ω θ)

2

am(m)=

Nmn=1

N mn1

∑wm(n)fm 1(n+1)bm 1(n)

2

2

+bm 1(n)

θ 1 （14）

式中

sinω

fn+1)∑wm(n) m 1(

（10）

由式（10）可见，|am(m)|＜1，因此，加窗Burg算法可以得到一个稳定的AR模型

[18]

θ=

∑w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

n1

N1n=1

N 1

（15）

1+cosω

∑w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

。将am(m)代入

式（3）中，可求出AR模型的m阶解am(i)。根据所求得的am(i)和预测误差em可进一步求得信号的功率谱密度

P(ω)=

+

em

2

由式（14）可知，由于存在θ 项，从而使数字频率ω 偏离其实际值，导致谱峰偏移现象。由式（15）可知，误差项θ 的大小与信号初始相位 密切相关。可通过加合适的窗函数w1(n)来减小误差项

∑

i=1

m

（11）

θ 的影响。首先令频率误差Δf=θ/2π，可得平均频率误差的方差为

var(Δf)=

=1

π

am(i)e jωi

由于数字频率ω为连续函数，需要对其进行数字离散化。将式（11）转化为

P(kΔω)=

+

em

2

∫0var(Δf)dω

N 1N 1n=1l=1

π

w(n)w1(l) δn l δ1 n+l δ1+n l 3∑∑1

448π 2

1 111

∑

i=1

m

（12）

（16）

式中，δ 为脉冲函数。为了尽量减小由θ 项引起的误差，需使平均频率误差方差〈var(Δf)〉最小，可求得一阶最优窗

w1(n)=

NN+1N+26n+1N nam(i)e jkΔωi

数字频率间隔Δω 可以根据需要设定，Δω 越小，频率估计精度越高，同时计算量也越大。为了兼顾频率估计精度和计算复杂度，本文假定Δω为π/fs，则模拟频率间隔为0.5Hz。在式（12）所对应的功率谱图上，各峰值处所对应的频率即为各次谐波和间谐波的频率。在此基础上，可用非线性最小二乘法进一步求取各次谐波和间谐波的幅值和相位信息，推导过程详见文献[8]。

（17）

同理，可求得m阶最优窗

wm(n)=

N m+1N m+2N m+36(n+1)(N m n+1)

（18）

最优窗的具体推导见文献[16]。

为了减少运算量，可将式（18）转化为如下递推形式：

3 误差分析和最优窗的推导

由式（1）可知，间谐波信号可以看作多个正弦波和噪声叠加之和。为简单分析起见，只选取其中一个正弦波x(n)=Aisin(2πfin/fs+ i)，令Ai=1，

wm(n)=2wm(n 1) wm(n 2) λ （19）

式中

ω=2πfi/fs， = i π/2，则x(n)=cos(ωn+ )。由于前、后向预测误差的初值均为x(n)，将其代入到式（10），可得一阶系数[16]

λ=

12

N m+1N m+2N m+3由式（18）可以看出，窗函数wm(n)只与信号

2

sinω

a1(1)=cosω+

∑

N 1

1+cosω

n1w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

w1(n)cos(2ωn+ω+2 )

（13）

长度N和阶数m相关，而与信号的频率、幅值和相位无关。故用该窗分析式（1）中的任意次谐波和间谐波时，均可有效减少由误差项θ 引起的频率偏差，从而减少间谐波信号的谱峰偏移，并可有效抑制谱线分裂。

∑

n=1

180

电 工 技 术 学 报 2011年1月

4 算法复杂度比较

对最优窗Burg算法分析可知，由于采用

其算法复杂度较低。为了进一步减少最优窗Burg算法运算量，可令式（12）中的比例系数em为一非零常数。另外，虽然各种特征值法的运算量和存储量不同，但均需进行自相关矩阵估计，故可用自相关矩阵估计来代替各种特征值法。具体算法复杂度比较见表1和表2。

Levinson递推求取AR模型系数，从而避免了自相关矩阵估计，相对于各种特征值法（如Pisarenko算法、Music算法、Esprit算法，Min-Norm算法等），

表1 各种算法复杂度比较

Tab.1 The comparison of computational complexity for various algorithms

各类算法 自相关矩阵[19] 最优窗Burg算法[16]

乘法 2Nm2 2m3+m2

加法 2Nm2 2m3 m2 7Nm 3m2 2N+m+3

除法

存储量 N+m2 4N+m+3

0 2m

77

8Nm m2+m 2N

22

表2 各种算法复杂度定量比较

Tab.2 The quantitative comparison of computational complexity for various algorithms

乘法

各类算法

N=50 m=20

自相关矩阵 最优窗Burg算法

N=70 m=30

N=50 m=20

加法

N=70 m=30

N=50 m=20

除法

N=70 m=30

N=50 m=20

存储量

N=70 m=30

24400 6570

72900 13615

23600 5723

71100 11893

0 40

0 60

450 223

970 313

由表1和表2可见，特征值算法仅自相关矩阵

估计这一步，所需的运算量和存储量均已明显高于如果再将矩阵的特征值分解等运最优窗Burg算法，

算包含在内，其计算复杂度将会更高。并且，两者计算复杂度的差距还会随着信号采样点数N和AR模型阶数m的增加而进一步增加。

5 仿真算例

5.1

最优窗

Burg算法、汉明窗Burg算法和原Burg

算法谱估计性能比较

设分析信号为：x(

t)=sin(2π×50t+5π/4)，采样频率为1000Hz，采样点数为45。当AR模型阶数为

（a）谱峰偏移程度比较

2时，结果如图1a所示。当AR模型阶数为4时，结果如图1b所示。

从图1a可以看出，由于Burg算法检测到的谱峰位置与相位密切相关。故受到信号初始相位的影响，出现明显的谱峰偏移。图上检测到的谱峰为

47Hz，与实际谱峰的偏差为3Hz。偏移程度较大。加窗Burg算法通过对预测误差平均功率进行加窗处理，从而降低了谱峰偏移程度。汉明窗Burg算法和最优窗Burg算法检测的谱峰分别为49.5Hz和

（b）谱线分裂程度比较

50Hz，谱估计性能明显优于Burg算法。而最优窗Burg算法通过使平均频率误差方差最小化，从而使式（14）中的误差项达到最小，谱估计性能比汉明

图1 功率谱估计结果比较 Fig.1 Comparison of the results of

power spectral estimation

第26卷第1期

李 明等 基于最优窗Burg算法的电力系统间谐波谱估计 181

窗Burg算法进一步提高。

从图1b可以看出，当AR模型阶数增大为4时，原Burg算法出现明显的谱线分裂，检测到40Hz和

漏的影响从而检测不到。由于观测窗较短，频率分辨率较低，导致基波和1.3次谐波，5次谐波和5.2次谐波无法区分开来。3次谐波和7次谐波虽然可以检测出来，但检测到的频率为156.8627Hz、

48.5Hz两个谱峰，而汉明窗Burg算法和最优窗Burg算法均检测到一个谱峰，说明加窗可以有效抑制谱线分裂。但汉明窗Burg算法检测到的谱峰为49Hz。而最优窗Burg算法检测到的谱峰频率偏差为1Hz，

为50Hz。说明加最优窗不仅可以抑制谱线分裂，而且可以最大程度减少谱峰偏移。 5.2 多个谐波和间谐波分量检测

设信号除基波（50Hz）外还含有1.3、3、5、

352.9412Hz，与实际频率偏差较大。从图2a可以看出，最优窗Burg算法可以检测到频率为50、64.5、

150、249.5、260.5、350、450.5Hz的7个谱峰，所有谐波和间谐波分量都被检测出来。与实际谱峰相比，平均频率偏差仅为0.2857Hz，检测结果较为精确，谱估计性能明显优于FFT。

5.2、7、9次谐波分量。幅值分别为基波的7%、4%、1.3%、2%、1%、0.3%，相位分别为π/8、π/4、π/8、π/7、π/4、0，基波相位为π/3。信号的采样频率为1000Hz，采样点数N为51。AR模型预估阶数为20，采用最优窗Burg信号中加入了60dB的高斯白噪声，算法与FFT算法得到的结果如图2所示。

6 结论

本文提出了最优窗Burg算法的间谐波谱估计方法。仿真结果表明，对于较短的间谐波信号，采用该算法可以精确检测出各次谐波和间谐波的频率信息，谱估计性能较好。与Burg算法相比，加窗

Burg算法可以有效降低谱峰偏移程度、抑制谱线分裂。而选择最优窗获得的谱估计效果要优于汉明窗。因最优窗Burg算法利用了Levinson递推，计算效

率高，相对于各种特征值算法，更有利于硬件实现。

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图2 功率谱估计结果

Fig.2 The results of power spectral estimation

从图2b可以看出，图上共有4个谱峰，分别在基波、3次谐波、5次谐波和7次谐波附近。9次谐波幅值较低，在非同步采样的情况下，受到频谱泄

182

电 工 技 术 学 报 2011年1月

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王晓茹 女，1962年生，博士，教授，博士生导师，研究方向

为电力系统保护与安全稳定控制、变电站自动化。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/y011.html