线性代数B期末试卷及答案
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2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷
2009年6月22日 一 得 分 一、填空题(共6小题,每小题 3 分,满分18分) 二 三 四 五 六 总分 ?10?01?1. 设A???00??0?300100?0??,则A= .0??8?
2. A为n阶方阵,AAT=E且A?0,则A?E? . ?12?2??, B为三阶非零矩阵,4t33.设方阵A??且AB=O,则t? . ????3?11??4. 设向量组?1,?2,?,?m线性无关,向量?不能由它们线性表示,则向量组?1,?2,?,?m,? 的秩为 .
5.设A为实对称阵,且|A|≠0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= .
1,a2??1,0,?1?,a3??1,0,1?;6.设R的两组基为a1??1,1,?3T???1?(1,2,1,)T,?2??2,3,4?,?3??3,4,3?,则由基a1,a2,a3到基?1,?2,?3
的过渡矩阵为 .
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?? 分 得
6小题,每小题3分,满分18分) 二、单项选择题(共 1. 设Dn为n阶行列式,则Dn=0的必要条件是[ ]. (A) Dn中有两行元素对应成比例; (B) Dn中各行元素之和为零; (C) Dn中有一行元素全为零;
(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.
2.若向量组?,?,? 线性无关,?,?,? 线性相关,则[ ]. (A) ?必可由?,?,? 线性表示; (B) ?必可由?,?,? 线性表示; (C) ?必可由?,?,? 线性表示; (D) ?必可由?,?,? 线性表示.
3.设3阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P-1AP=[ ].
?100??; (B)0?10(A)?????000?? ?000??; (D)010 (C) ?????00-1??
?000??0?10?; ????001???100??000?. ????00-1??4.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是[ ].
(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1.
5.若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0,则A的秩R(A) =[ ].
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4.
6.实二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是 [ ].
(A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n .
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分 得
三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) 1b1000b31?b31.求D??11?b1b20?11?b200?1的值.
2. 求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.
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?100??,若P=(α,α,α), 0103.设A、P均为3阶矩阵,且PTAP=?123????000??Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ.
4.设A是n阶实对称矩阵,A2?2A?O,若R(A)?k(0?k?n),求
A?3E.
?220??82a5.设矩阵A=???相似于对角矩阵?,求a.
??006??
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?x1?a1x2?a12x3?a13,?23得 分 ?x1?a2x2?a2x3?a2,四、(本题满分10分)对线性方程组? 23 x?ax?ax?a,333?132 23??x1?a4x2?a4x3?a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等,问方程组是否有解,为什么?
(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0),且已知方程的两个解
?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T,试给出方程组的通解.
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得 分
五、(本题满分8分)设二次曲面方程axy?2xz?2byz?1(a?0)
?x??????Q???,化成222y经正交变换?????2??1,求a、b的值及正交矩???????z??????阵Q.
六、 (本题满分6分)设A为n阶实矩阵,α为A的对应于实 特征值λ的特征向量,β为AT的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.
得 分
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2008 – 2009学年第二学期《线性代数B》试卷参考答案
2009年6月22日 一 得 分 一、填空题(共6小题,每小题 3 分,满分18分) 二 三 四 五 六 总分 ?10?01?1. 设A???00??0?300100?0??,则A= 2 .0??8?
2. A为n阶方阵,AAT=E且A?0,则A?E? 0 . ?12?2??, B为三阶非零矩阵,且AB=O,则 4t33.设方阵A??t?????3?11??-3 .
4. 设向量组?1,?2,?,?m线性无关,向量?不能由它们线性表示,则向量组?1,?2,?,?m,? 的秩为 m+1 .
5.设A为实对称阵,且|A|≠0,则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=____A?1y__ .
6.设R3的两组基为a1??1,1,1?,a2??1,0,?1?,a3??1,0,1?;
T???1?(1,2,1,)T,?2??2,3,4?,?3??3,4,3?,则由基a1,a2,a3到基?1,?2,?3的过渡
34??2??矩阵P=?0?10?.
???10?1????
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得 分 二、单项选择题(共6小题,每小题3分,满分18分)
1. 设Dn为n阶行列式,则Dn=0的必要条件是[ D ].
(A) Dn中有两行元素对应成比例; (B) Dn中各行元素之和为零; (C)Dn中有一行元素全为零;(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.
2.若向量组?,?,? 线性无关,?,?,? 线性相关,则[ C ].
(A) ?必可由?,?,? 线性表示. (B) ?必可由?,?,? 线性表示.
(C) ?必可由?,?,? 线性表示. (D) ?必可由?,?,? 线性表示. 3.设3阶方阵A有特征值0,-1,1,其对应的特征向量为P1,P2,P3,令P=(P1,P2,P3),则P-1AP=[ B ].
?100??000??000??100??;?0?10?;?010?;?000?.0?10(A)? (B) (C) (D)????????
??00-1???001??00-1????000??? ? ?4.设α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是[ D ].
(A)α1,α2,α3 - α1; (B)α1,α1+α2,α1+α3; (C)α1+α2,α2+α3,α3+α1; (D)α1-α2,α2-α3,α3-α1. 5.若矩阵A3?4有一个3阶子式不为0,则[ C ].
(A)R(A)=1; (B) R(A)=2; (C) R(A)=3;(D) R(A)=4 . 6.实二次型f=x?Ax为正定的充分必要条件是 [ A ]. (A) A的特征值全大于零; (B) A的负惯性指数为零; (C) |A| > 0 ; (D) R(A) = n. 分 得
三、解答题(共5小题,每道题8分,满分40分) (共 6 页 第8页)
1b1000b31?b300b31?b3?1b10001000b2100b3?1b10001000b21000?1. b31?11?b1b21.求D?0?11?b201b100?1的值
解:D?01b20?11?b200?1?11?b32. 求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出.
解:极大无关组?1,?2,
?3?2?2?3?1,?4?2?2??1.
?100??,若 0103.设A、P均为3阶矩阵,且PTAP=?????000??P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ.
解:由于
?100??100???P?110?, 110Q=(α1+α2,α2,α3)= (α1,α2,α3) ????????001???001??于是QTAQ=
??100????100???110??100????A?P?110????010?PTAP?110? ?P?110?????????????001????001???001???????????001?????110??100??100??210???010??110???110?.??010????????
??001????000????001????000??T
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4.设A是n阶实对称矩阵,A2?2A?O,若R(A)?k(0?k?n),求
A?3E.
解: 由A2?2A?O知, A的特征值-2或0,又R(A)?k(0?k?n),且A??2?????????2是n阶实对称矩阵,则A~??(k个-2),故
0???????0??A?3E?3n?k.
?220??相似于对角矩阵?,求a. 82a5.设矩阵A=?????006??解: 由|A-λE|=0,得A的三个特征值λ1=λ2=6,λ3= -2.由于A相似于对角矩阵,R(A-6E)=1,即
??420??2?10??8?4a?~?00a?, ??????000????000??显然,当a=0时,R(A-6E)=1,A的二重特征值6对应两个线性
无关的特征向量.
?x1?a1x2?a12x3?a13,?23?x1?a2x2?a2x3?a2,得 分 四、(本题满分10分)对线性方程组? 23 ?x1?a3x2?a3x3?a3,23??x1?a4x2?a4x3?a4.(1) 若a1,a2,a3,a4两两不等,问方程组是否有解,为什么?
(2)若a1?a3?b, a2?a4??b (b?0),且已知方程的两个解
(共 6 页 第10页)
?1?(1,1,?1)T, ?2?(?1,1,1)T,试给出方程组的通解.
解:(1)因为
1a11a21a31a4a122a22a32a4a133a2?(a2?a1)(a3?a1)(a3?a2)(a4?a1)(a4?a2)(a4?a3)?0,3a33a4故R(A?b)?R(A),无解. (2)R(A)?2,n?3,故通解
??2??1????1?,(k?R).
x?k(ξ2?ξ1)?ξ1?k?0??????2?????1?? 得 分
五、(本题满分8分)设二次曲面的方程axy?2xz?2byz?1)
?x??????Q???,化成222a?0经正交变换?y????2??1,求a、b的值及???????z??????正交矩阵Q.
??0?a解:设A???2?1???a20b?1??b?,由A?E?0,A?2E?0知a?2,b??1. ?0?????1??0~??01???0t0,,??(1,1,0)1?0??011??1??1??1?1当??1时,A?E????1??1?1????2?(1,?1,2)T
(共 6 页 第11页)
?101??T01?1当???2时,A?2E~???(?1,1,1). 3????000??1?1??1??263???11??1故正交阵Q??. ?63??221??0?63?得 分 ??
六、(本题满分6分)设A为n阶实矩阵,α为A的对应于实
特征值λ的特征向量,β为AT的对应于实特征值μ的特征向量,且λ≠μ,证明α与β正交.
证 :依题意得Aα=λα, ATβ=μβ,将Aα=λα的两边转置得,αTAT =λαT,在上式的两边右乘β得,αTATβ =λαTβ,即μαTβ=λαTβ,亦即(μ-λ)αTβ=0,由于λ≠μ,所以αTβ=0,故α与β正交.
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