2012高考数学总结

2012高考数学知识考点精析

第一讲 集合的性质及其运算

1、研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：

{x|y?lgx}={x/x?0},{y|y?lgx}={y/y?R},{(x,y)|y?lgx}各不相同。

元素与集合的关系用“∈或?”，集合与集合的关系用“?，?，?，?，?”

2、任何一个集合是它本身的一个子集，即A?A。规定空集是任何集合的子集，即??A，???。如果A?B，且B?A，则A＝B。如果A?B且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作A?B。空集是任何非空集合的真子集。

3、含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个。 集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的映射有nm个。

4、重要性质：（1）A∪A＝A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∪?＝A， A∩CUA＝?，A∪CUA＝U （2）A∩B?A，A∩B?B，A?A∪B，B?A∪B，（3）CU（A∩B）＝（CUA）∪（CUB） ，CU（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）（4）A∩B＝A?A?B，A∪B＝A? B?A

第二讲映射与函数概念、函数的定义域和图象 一、映射、函数的有关概念：

1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B， 2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一元素在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一元素在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。 4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的映射，那么，从A到B的f：A→B，叫做A到B的函数，y=f(x),其中x∈A,y∈B,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合C?B

5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 二、求函数定义域的方法

1、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是x∈M,g(x) 的定义域是x∈N，求y=f[g(x)]的定义

域时，则只需求满足??g(x)?M?x?N的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P，则P?N。

第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

一、函数的单调性：

1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1 f(x2)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。

f?x1??f?x2?x1?x2?0??0??增?减? 任意x1,x2∈D

2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x1，x2∈D，且x1

f?x2?f?x1??f?x1??0?，并变形，（4）判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比较

f?x2?f?x1?与1的大小，

4）根据定义作出结论。 有时也根据导数。x?D,f/?x??0?f?x?在D上递增，f/?x??0?f?x?在D上递减。（注：逆命

题不成立）

3、常见函数的单调性：

（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)在R上是减函

数。 （2）

二次函数y=ax2+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－

b2ab2a）上是减函

b数，在[－，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－

b2a）上是增

函数，在[－

2a，＋∞）是减函数。

kx（3） 反比例函数y=

?k?0? 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0

时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。 （4） 对钩函数：y?ax?b?a?0,b?0,增区间为??,?????x?b???,?a??b?,???，

?a??减区间为???b??,0?,?0,??a??b??图象如右： a?

可采用导数法判断。

（5）指数函数y?a,a???单调递增，0?a??时，单调递减

x（6）对数函数y?logax,a?1时单调递增,0?a??时单调递减。 （7）三角函数：

???y=sinx的增区间是?-?2k?,?2k?2?2???y=tanx的增区间是?-?k?,?k?2?2??,减区间是?3????2k?,?2k??22???k?Z?y=cosx的增区间是?-??2k?,2k??的减区间是?2k?,??2k??,k?Z??,cotx的减区间是?k?,??k??

?二、函数的奇偶性与周期性：

1、函数的奇偶性定义：对于函数f（x）的定义域内的每一个值x，都有f（-x）=f（x），那么称f（x）为偶函数，如果对每一个值x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。

2、奇、偶函数的性质：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（2）奇函数在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点的对称区间上的单调性相反。 （3）若奇函数有对称轴x=a,则它有周期T=4a,偶函数有对称轴x=a,则它有周期T=2a, （4）若奇函数在x=0处有定义则f(0)=0 3、函数的奇、偶性类型： （1）奇函数：如?1?y?kx,?2?y?2kx,?3?y?x2n?1?n?N??4?y?sinx,?5?y?tanx,

2n（2）偶函数：如?1?y?x?c,?2?y?x,?3?y?cosx,?4?y?xsinx,?5?y?x?n?z?

??（3）非奇非偶函数：如

?1?y?kx?c?kc?0??2?y?ax2?bx?ab?0??3?y?sin?x??4?y?x?1,?5?y?a,?a?0,a?1?x???3?

（4）既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有f（x）=0. 4、定义：对于函数f（x）的定义域内的每个值x都有f（x+T）=f（x）（T?0）,则称f（x）为周期函数，T为它的一个周期。若T为f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，k为任一非0整数。 5、若f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，那么f(x)是周期函数，一个周期是 T＝｜a?b｜；

三、反函数： 1、定义：设式子y=f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=?(y),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=?(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=?(y)就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f?1(y),即x=?(y)＝f?1(y)，一般对调x=f?1(y)中的字母x,y,把它改写成y =f?1(x)

2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f?1(y)（2）将x,y互换得y =f?1(x)

（3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。 3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对

连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f?1(x)的图象关于直线y=x对称，（4）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f?1(x)的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， ?1??11?如y??与y?logx互为反函数且有一个交点是1??，?，它不在直线y=x上

?16??24?16x第四讲：函数图象的对称性与变换 一、 两个函数的图象的对称性： 1、y=f（x）与y=-f（x）关于x轴对称。 2、y=f（x）与y=f（－x）关于y轴对称。 3、 y=f（x）与y=－f（－x）关于原点对称。

4、y=f（x）与y=f?1（x）关于直线y=x对称,（或y=f（x）与x=f（y）关于直线y=x对称）。 5、y=f（x）与y=f（2a－x）｛注：y=f（a+x）与y=f（a－x）关于直线x=0对称｝关于直线x=a对称。 6、y=f（x）与y=－f（2a－x）+2b关于点（a,b）对称.

二、 一个函数的图象的对称性：

1、关于直线x=a对称时，f（x）=f（2a－x）或f（a－x）=f（a+x）,特例：a=0时，关于y轴对称，此时 f（x）=f（－x）为偶函数。

2、y=f（x）关于（a,b）对称时,f（x）=2b－f（2a－x），特别a=b=0时， f（x）=－f（－x），即f（x）关于原点对称，f（x）为奇函数。

3、y=f（x）关于直线y=x+b对称时,由上面知y=f（x）关于直线y=x+b对称的函数的解析式是y=f?1（x+b）+b。它与y=f（x）应是同一函数，所以：f（x）＝f?1（x+b）+b。特别当b＝0时，f（x）＝f?1（x），即一个函数关于直线y=x对称时，它的反函数就是它本身。

4、类似4有y=f（x）关于直线y=－x+b对称时, f（x）＝b－f?1（b－x）。特别当b＝0时，f（x）＝－f?1（－x）, f（x）关于直线y=－x对称.

5、若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)的图像关于直线x?三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。

1、平移变换（向量平移法则）：y=f（x）按a＝（h,k）平移得y=f（x－h）+k,即F（x,y）=0按a＝（h,k）平移得F（x－h,y－k）=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。当n>0时,向上平移，n<0时向下平移。对于“从y=f（x）到y=f（x－h）+k”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“a＝（h,k）”是“左负右正，上正下负”。

2、伸缩变换：将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到y?mf?/??x/??x?ax/y?mf?即y?f?x??/?

a????y?my????????????????a?b2对称，

?x?? a??3、翻折变换：（1）由y=f（x）得到y=|f（x）|，就是把y=f（x）的图象在x轴下方的部分作关于x轴对称的图象，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变。 (2) 由y=f（x）得到y=f（|x|），就是把y=f（x）的图象在y轴右边的部分作关于y轴对称的图象，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变。

第五讲 指数函数、对数函数与幂函数 一、指数：

1、n次方根的定义：如果一个数的n次方a(n>1,n∈N?)那么这个数叫做a的n次方根，即xn=a,则x叫做a的n次方根(n>1,n∈N?)。

2、n次方根的性质：（1）0的n次方根是0。即n0＝0(n>1,n∈N?)，（2）(na)n＝a(n∈N?) (3)当n为奇数时，a＝a, 当n为偶数时,

mnnna＝|a|

?n3、分数指数幂的定义：（1）a（2）a?mnn?nam?a?0,m,n?N?,n?1

??1m?1nanam?a?0,m,n?N（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有,n?1?，

意义。

二、指数函数：

1、定义：形如y=ax（a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数。 2、指数函数y=ax（a>0,且a≠1）的图象和性质： 图象 a>1 0

n由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做lgN?log10N。以无理数e＝

2.71828?为底的对数叫做自然对数。记做lnN?logeN。 2、对数的运算性质：

?1?logaMN?3?logaMn?logaM?logaN,?2?loga?n?logaM,?4?logamb?nMNnm?logaM?logaN.

logab,?M,N,a,b,n,m?0,a?1?3、对数的恒等式：

?1?loga1?0,?2?logaa?1,?3?alog?5?logaN?logbNlogba,logab?1aN?N,?4?alogbN?Nlogbalogba,logab?logbc?logac,?a,b,c,N?0,a,b?1?

四、对数函数：

1、定义：形如y=logax (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。 2、对数函数的图象与性质： a>1 图象 1 00,a≠1)与指数函数y=ax (a>0,a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。

4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类： 1）同底且大于1，真数大的对数大。2）同底且小于1，真数大的对数小。 3）同真数且大于1，在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1，在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。 五、幂函数 1、幂函数的定义 形如：y?x? ???R,?为常数?的函数叫幂函数。2、幂函数的图象与性质

(1)图象过点(1,1)，(2)当?为奇数时，是奇函数，当?为偶数时，是偶函数，0(4)掌握8类常见的幂函数的图象：y=x,y=x?3?图象不经过第四象限。1322?1?2,y=x,

2y=x,y=x,y=x3,y=x,y=x,

第六讲函数与方程、零点与二分法

1、

方程f(1)两个相同的根只能算一个零点，?x??0的解称为函数f?x?的零点。注意：(2)零点的表示方法不能用有序实数对?x,0?.f

2、

?x?在?a,b?上连续(即图象不间断)，且f?a?f?b??0，则f?x?在?a,b?上至少有一个零点，?x?在?a,b?上可能无零点也可能有无数个零点。

可能有无数个零点。f?a?f?b??0，f3、用二分法求零点只适用于零点左右附近的函数值异号的情况。

第七讲空间几何体

1、 棱柱、圆柱，棱锥、圆锥，棱台、圆台，球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。 棱柱：(1)棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。

(2)、棱柱的分类：1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、、、、、、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、3)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，直平行六面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。

(3)、棱柱的性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4)棱柱的侧面积=直截面(垂直于侧棱的截面)的周长×侧棱长，棱柱的体积=底面积×高。

(4)、平行六面体ABCD-A1B1C1D1的性质：1)平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，2）??????????2?????????????平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。AC1=AC1=AB+AD+AA1??2，3）长方体的一

条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端

222的三个相邻面所成的角分别为?，?，?，则Sin?+sin?+sin?=1，5）长方体的体对角线与共顶

点的三条棱所成的角分别为?，?，?，则Sin2?+sin2?+sin2?=2，6）长方体的对角线等于它的外接球的直径。7）正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面

???对角线。8）{平行六面体}??{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}；

圆柱：一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。

棱锥：(1)棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。

(2)、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥?

(3)、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面积是底面面积的1/4。

(4)、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。

(5)、棱锥的体积公式：V＝

13Sh (S是棱锥的底面积，h是棱锥的高)

提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。

圆锥：一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是底面圆的周长。扇形的半径等于母线长。

棱台：一个棱锥被平行于底面的平面所截，夹在底面与截面间的几何体叫棱台。 圆台：一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。

S=??r1?r2?l母线，V=1?3S上+S上S下+S下h??13??r1?r1r2?r2?h

22球：(1)、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。

(2)、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面。球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面的半径r之间的关系：r＝R?d22 。

大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。经过球面上两点的大圆，当这两点与球心不共线时，有且只有一个。当这两点与球心共线时有无数个。

(3)球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。它等于球心

角×半径。

(4)球的体积和表面积公式：V＝

4332?R,S?4?R

(5)正四面体的边长为a，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

64a,612a,?623?a,?正四面体的高为a,体积为a?， ??4312??2正方体的边长为a，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为

32a,12a,??2a,?各面的中心为顶点的八面体的边长为a,对角线为a? ??22??2D1C1O3B1O6AA1FOBGCEDD1C1B1O4O5DO1ABO2A1CDABC

2、三视图与直观图的画法。 1）、直观图的画法（斜二侧画法规则）：已知图形中平行于横轴和竖轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于纵轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行，原来相交的线段仍然相交，但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时，应先把与横轴成450的线段还原成与横轴成直角的线段。 2）、三视图的画法：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）。

第八讲 点、直线、平面的位置关系。 1、确定平面的4个公理或定理，(1)不共线的3点确定一个平面，(2)两条相交直线确定一个平面，(3)两条平行直线确定一个平面，(4)一条直线和直线外一点确定一个平面。

确定直线在平面内的定理：如果直线上有两个点在平面内，则直线在平面内。

两个平面的公共点的个数定理：如果两个平面有一个公共点，则必有无数个公共点，且这些公共点的个数在同一条直线上。此定理常用来判断空间三线共点。 2、点、线、面的位置关系的表示方法。

3、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交线和异面直线没有传递性。

4、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。

但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。

5、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。 异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aˊ／／a , b＇／／b,相交直线a＇，b＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角?∈?0,?????2?，求异面直线

的夹角常用平移法和向量法。

6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线 的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图：

CnAl1B?Dl2?????CD?nAB为公垂线段，AB? ?n异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为?，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段，长度为d,BE＝m,AF=n,EF=l则l＝d?m?n?2mnCos?（同侧为减，异侧为加） 7、(1)直线与平面的位置关系：1）直线在平面内, 2）直线与平面相交， 3）直线与平面平行, 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

(2)直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”

判定直线与平面平行的方法还有：1）面???面?，a???a???,2）b??,a?b,a???a??? 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。

(3) 直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。

直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

8、(1)平面与平面的位置关系：1）平行＿＿没有公共点，2）相交＿＿有且只有一条公共直线。两个平面

222

的公共点都在同一条直线上。

(2)两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2)推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。 3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。

(3) 两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必在第一个平面内。

9、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

10、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是0,?????2??

利用法向量可处理线面角问题

设 ?为直线l与平面?所成的角，?为直线l的方向向量v与平面?的法向量n之间的夹角，则有

???2??（图1）或???2??（图2）

图1 图2

vnv

αθωlnθαω

l

11、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB是平面ａ的一条斜线，A为斜足，直线m是平面ａ内任一直线，AB′是AB在平面ａ内?为AB和m所成的角，?1为AB和射影所成的角，?2射影AB′和m所成的角，的射影。则cos?=cos?1cos?2

重要应用：空间两条异面直线L1与L2所成的角为?≠都是?，这样的直线L可作多少条？

?2，过空间一定点P作直线L与L1，L2所成的角

B分析：（1）若?∈（0，?/2），则这样的直线L有0条

AmB'

（2）若?＝?/2，则这样的直线有1条 （3）若?∈（?/2，（4）若?＝

???22???2），则这样的直线L有2条

，则这样的直线L有3条 ，?2（5）若?∈（（6）若?＝

?2???），则这样的直线L有4条

，则这样的直线L有1条

12、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为?，?的二面角记为?-l-?,

一个平面垂直于二面角?-l-?的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角?-l-?,的平面角。

一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］

计算二面角的方法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，，再解直角三角形)。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐标法)：?或?－? 利用法向量可处理二面角问题

设 n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??的大小为?，向量 n1,n2的夹角为?，则有?????（图3）或 ???（图4）

αnnωnαθω

lθβlβn图3 图4

第九讲 直线与方程

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合

或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围?0,??。（3）在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l重合、最小正角”。 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即k＝tan?(?≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。（3）经过两点P1（x1, x2）,P2 (y1,y2)的直线的斜率公式为k?y1?y2x1?x2?x1?x2?

3、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x?,y?）斜率为k，则直线方程为：y-y?=k（x-x?）,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过（x1,y1）,(x2,y2)两点，则直线方程为：

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1xa?yb?1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

，它不包括垂直于坐标轴（包括x,y轴）的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y

轴上的截距为a,b,则直线方程为：

（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。

在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。“截距”不是距离，可正可负可为0。

4、点与直线的位置关系：（1）若点P（x?,y?）在直线上，则Ax?+By?+C=0.(2) 若点P（x?,y?）不在直线上，则Ax?+By?+C≠0，此时点P（x?,y?）直线的距离d=

Ax0?By0?CA?B22，

(3)由此可得，两平行线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，间的距离为d=

C1?C2A?B22

5、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l1: y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2，有若l1∥l2? k1＝k2，且b1≠b2，若l1⊥l2，? k1 k2＝－1，若l1与l2相交? k1≠k2，若l1与l2重合? k1＝k2，b1＝b

2。（2）一般的两直线：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，有若l1∥l2? A1 B2- A2 B12＝0，B1C2-B2C1≠0, (或A1C2－A2C1≠0)，若l1⊥l2，?A1A2+B1B=0，若l1与l2相交?

A1 B2- A2 B1≠0，若l1与l2重合? A1 B2- A2 B1＝0，且B1C2-B2C1＝0,且A1C2－A2C1＝0

???0,?6、到角和夹角公式：（1）l1到l2：指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?，

?且tan?=

k2?k11?k1k2( k1 k2≠-1).（2）l1与l2的夹角?,???0,?????2?且tan?=︱

k2?k11?k1k2︱( k1 k2≠-1)。

7、直线方程的参数形式：

?x?x0?tcos?过点P?x0,y0?且倾斜角为?的直线的参数方程是?,y?y?tsin?0?t表示点Q?x,y?与点P?x0,y0?间的距离，即t=PQ。?x?x0?at过点P?x0,y0?的直线的参数方程是??a,b为常数，t为参数?,?y?y0?btt表示点Q?x,y?与点P?x0,y0?间的距离的a?b倍，即t=a?b2222

PQ。直线的参数方程常用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交的问题。 8、直线的极坐标方程。

?1?过极点且倾斜角为?0的直线方程：?=?0，?2?过点?a,0?且垂直于极轴的直线方程：?cos????3?过点?b,?2?a,??且平行于极轴的直线方程：?sin??b,?

?4?过点??0，?0?且与极轴成?角的直线方程：?sin???????0sin????0?第十讲 圆与方程

1、圆的方程的四种形式：（1）圆的标准方程：?x?a???y?b??r,圆心是?a,b?,半径是r，特别当

222圆心是（0,0），半径为r

时，x2?y?2r，（2）圆的一般方程：

E??D2222x?y?Dx?Ey?F?0,?1?当D＋E－4F?0时，表示圆心在?－，－?

22??半径为12E??D22D?E?4F的圆。?2?当D2?E2?4F＝0时，表示点?－，－?22? ??0时，不表示任何图形。?x?a?rcos??y?b?rsin??3?当D2?E2?4F（3）圆的参数方程：圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是??x?rcos??y?rsin???为参数?

特别当圆心是原点时，?（4）

??为参数，r为半径?

以A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆的方程是：?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0

2、

圆的切线方程：过圆x?y?r上一点M?x0,y0?的切线方程是x0x+y0y=r，2222过圆?x-a?+?y-b?=r上一点M?x0,y0?的切线方程是?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r,2222

从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。 3、

圆的弦长问题常用弦心距d，弦长的一半?1?22r?d??a?，?2?有时也用一般的弦长公式：AB?1?k2212a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：

2x1?x2?1?k?a?1?1k2y1?y24、

圆与圆的位置关系：已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1,r2?1?当O1O2?3?当r1－r2?r1?r2时，两圆外离，?2?当O1O2＝r1?r2时，两圆外切，

?O1O2?r1?r2时，两圆相交，?4?当O1O2＝r1－r2时，两圆内切?r1－r2时，两圆内含。?5?当0?O1O25、

公切线的条数分别为4，3,2，1。圆的公切线方程与公共弦所在的直线方程：圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0,圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0它们的内公切线方程或公共弦所在的直线方程为：2222

?D1－D2?x??E1?E2?y?F1?F2?0第十一讲算法初步

1、 算法的概念：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决“某一类”问题的“明确”和“有限”的步

骤。它有下面的特点：通用性(适用于某一类问题的所有个体，而不是只用来解决一个具体问题)，可行

性(算法应有明确的步骤一步一步地引导计算机进行并且能够得到最终结果)，明确性(算法的每一个步骤必须明确___或者由规则直接确定，或者由上一步的结果确定)，有限性(算法应由有限步组成)。 2、 程序框图又称“流程图”，是一种用程序框、流程线、及文字说明来表示算法的图形。基本的程序框有：

终端框(起止框)，输入、输出框，处理框(执行框)，判断框，其中起止框是任何程序框图中不可缺少的。 3、 算法的三种基本的逻辑结构。任何算法都是由顺序结构、条件结构、循环结构三种基本的逻辑结构组成。顺序结构是由若干个依次执行的步骤所组成，是任何一个算法都离不开的基本结构。一个算法中，

算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这各过程的结构。一些算法中经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情形，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。循环结构分为当型循环结构(满足条件循环)和直到型循环结构(不满足条件循环)。循环结构中一定包含条件结构。

4、 任何一种程序都包含五种基本的算法语句，它们是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环

语句。输入语句的一般格式是INPUT“提示内容”，变量。其作用是实现算法的输入信息功能，输出语句的一般格式是：PRINT“提示内容”，表达式。其作用是实现算法的输出结果功能。赋值语句的一般格式是：变量=表达式，其作用是将表达式所代表的值赋给变量。

IF 条件 THEN 语句体1 ELSE 语句体2 END IF

5、条件语句的一般格式有两种：一种是:IF-THEN-ELSE格式，其形式为 ：，，，，，，，，，，，，， ，另一种是：:IF-THEN格式，其形式为 ：，，，，，，，，，，，，， ，

IF 条件 THEN

语句体

END IF

6、循环语句主要有两种类型：(1)当型(WHILE)，(2)直到型(UNTIL)。 WHILE语句的基本格式是：

当计算机遇到WHILE语句，先判断条件的真假，如果条件符合时，就执行WHILE与WEND之间的循环WHILE 条件 体，若条件不符合，计算机不再执行循环体，直接跳到WEND 循环体 语句后执行其他语句，因此WHILE语句也称为前测试型循环语句。 WEND

UNTIL语句的基本格式是： DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 当计算机遇到UNTIL语句时，先执行一次循环体，然后对条件的真假进行判断当条件不符合时，就执行循环体，直到条件符合，计算机不再执行循环体，跳出

循环，执行LOOP UNTIL语句后的其他语句，因此UNTIL 语句又称为后测试型循环语句。

7、辗转相除法是用于求两个数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里德在公元前300年左右首先提出，因而又叫欧几里德算法。就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到余数为零，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。更相减损术是我国古代数学专著＜＜九章算法＞＞中介绍的一种求两数最大公约数的方法，其基本过程是：对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去较小的数，继续这个操作直到差为零止，则这个数就是所求的最大公约数。

8、秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作＜＜数学九章＞＞中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法。此算法中乘法和加法的次数都是n次。

anx?an?1xnn?1???a1x?a0????anx?an?1?x?an?2??x???a0

??9、“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k。将k进制化为十进制的方法是：先把k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果。将十进制数化为k进制数的方

法是：除k取余法。即用k连续去十进制所得的商，直到商为零止，然后把所得的余数倒着写出就是所得的k进制。

第十二讲统计

1、 简单随机抽样：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果

每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，这种抽样的方法就叫简单随机抽样。最常用的简

单随机抽样的方法有：抽签法与随机数表法。抽签法的优点是简单易行。但是当容量非常大时，费时费力不方便，可能导致抽样的不公平。随机数表法是由0,1，2,3，4，,5，6,7，8,9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相等。用随机数表法时先对总体内的各个个体编号，再从数表中的某个数开始按一定顺序（可以向左、右、上、下）读数，取出适合的号码，直到取够样本为止。优点节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本。

2、 按某顺序以一定的间隔进行抽取得到的样本叫系统抽样。将总体分成互不交叉的层，然后按一定比例

抽取一定数量的个体，将各层取出的个体放在一起作为样本，这种方法叫分层抽样。系统抽样的特点是：总体容量大且个体之间无差异。分层抽样的特点是：总体容量大且个体之间差异大。

3、 列频率分布表、画频率分布直方图的步骤：（1）求极差（最大值与最小值之差），（2）决定组距与组数，

（3）将数据分组，（4）列频率分布表，（5）绘频率分布直方图。在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，横轴表示样本数据，各小长方形的面积表示相应各组的频率，各小长方形的面积的总和为1。

直率分布直方图的重心就是样本平均数。

4、 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，分组

组距的不断缩小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计学中称这条光滑曲线为总体密度曲线。总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比。总体在某一区间内取值的百分比就是该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积。总体密度曲线通常是用样本的频率分布估计出来的。这是

因为：（1）并非所有的总体都存在密度曲线，如一些离散型总体没有。（2）尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样被准确地画出来，只能用样本的频率分布来对它估计。样本容量越大，这种估计越精确。

5、 茎叶图不仅能保留原始数据而且方便对数据的记录和表示。但如果数据较多，茎叶图就显得不方便。 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。

6、 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫

做这组数据的中位数。中位数可能会不是数据中的数。众数是指在一组数据中出现次数最多的数据，可能不只一个。在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。

7、 标准差、极差、方差都是描述数据的波动大小。前两者与数据的单位一致，方差与数据的单位不一致。 方差的计算公式是：

1x1?x?1?定义式：s???n?2????x1n222?x2?2???xn?x22??2???（2）简化计算公式：s?2?x1?x2???xn??x?21?222? x?x???x?nx?12n????n?即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。标准差是：s?s?21?x1?x??n????x22?x?2???xn?x??2? ??练习：

?1?若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M＋N个数的平均数是＿＿＿。MX＋NYM＋N

22?2?若数据x1,x2,?,xn的平均数是x,方差是s2,则数据ax1?b,ax2?b,?,axn+b的平均数是_______.ax?b,方差是＿＿＿＿。as.8、 相关关系：与函数关系（确定关系）不同，相关关系是一种不确定性关系。从散点图上看，如果散点

分布在从左下角到右上角的区域内，这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点分布在从左上角到

右下角的区域内，这两个变量的相关关系称为负相关。如果这些点从整体上看大致分布在一条直线的附近，则称这两个变量具有线性相关，这条直线叫回归直线。回归直线是：

?y?bx?a,其中b???xi?1nni?x??y?xi?y2??xyini?nxy,a?y?bx.?nx2???xi?1i?i?1n?xi?12i

b是回归直线方程的斜率,a是截距.回归直线总通过点x,y。????x线性相关系数：r?i?1ni?x2??yni?1i?y??2??xi?1n?r ?1?,r?0.75时认为有很强的线性相关。i?x???yi?y第十三讲概率

1、 事件分为确定事件（包括必然事件与不可能事件）与随机事件。随机事件发生的可能性的大小用概率

来度量。在n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。验次数有关，概率是不变的，与试验次数无关。频率是概率的近似值。

2、 从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准

则。这方法叫极大自然法。

3、“事件A的发生或事件B发生”称为“事件A与B的并事件（或和事件）”，记作：“A?B或A?B”， “事件A的发生且事件B发生”称为“事件A与B的交事件（或积事件）”，记作：“A?B或AB”。 若A?B＝?即A?B为不可能事件，称事件A与B互斥，即事件A与B在任何一次试验中不可能同时发生。若A?B为不可能事件且A?B为必然事件，则称事件A与B互为对立事件。即事件A与B在任何一次试验中有且只有一次发生。 3、 概率的几个性质：

nAn称为事件A发生的频率。

随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数上，这个常数称为事件A发生的概率。频率是变化的与试

?1?任何事件的概率在0?1之间，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率为：0?P?A??1，（2）概率的加法公式：事件A与B互斥时，P?A?B?＝P?A?＋P?B?事件A与B不互斥时，P?A?B?＝P?A?＋P?B?－P?A?B?事件A与B互为对立事件时，P?A?＝1－P?B?

?3?概率的乘法公式：事件A与B相互独立时，P?AB?＝P?A?P?B?。4、 关于古典概型：基本事件的特点是：任何两个基本事件是互斥的，任何事件（不可能事件除外）都可

以表示为基本事件的和。若试验中可能出现的基本事件只有有限种，且每个基本事件出现的可能性相

P?A?＝同，具有这两个特征的概率模型称为古典概型。对于古典概型：

A中包含的基本事件的个数基本事件的总数

5、 几何概型：如果每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的

概

率

模

型

为

几

何

概

型

。

计

算

公

式

是

：

P?A?＝

试验的全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）构成事件A的区域的长度（面积或体积）6、随机函数RANDBETWEEN?a,b?表示产生从整数a到整数b的取整数值的随机数。

计算机（或计算器）产生0?1上的均匀随机数，如何转化为?a,b?上的均匀随机数。a??x??0,1?,y??b?a??x????a,b?b?a??

用随机模拟计算阴影面积的方法与步骤：

(1)产生两组0?1之间的均匀随机数a1?RAND,b1?RAND,??x1?y1?2?经过平移和伸缩变换：a??x2?x1??a1?,b?y?yb??21??1??,x2?x1?y2?y1????3?数出适合阴影的随机个数N1，则N1N＝S阴

?x2?x1??y2?y1??N表示每组随机数人个数?，如“?＝4N1N”。第十四讲三角函数的概念、诱导公式与二倍解公式

1、象限角与轴线角：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就

认为这个角不属于任何象限，称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为：

??360??1800k???90?360k,k?Z,?90?360k???180?360k,k?Z?360k???270?360k,k?Z,?270?360k???36000000??0000?0??000?k?1?,k?Z?

?＝360°k,k∈Z, 角?终边在y轴的非负半轴上时可表示为：角?终边在x轴的非负半轴上时可表示为：

?＝360°k+90°,k∈Z,在x轴的非正方向上，在y轴的非正方向上可类似表示。

2、终边相同的角的表示： S??????k?360,k?Z，即任一与角?终边相同的角，都可以表成角?与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。 已知?是第几象限的角，如何确定的范围用整数k把

?n?0??n,n?N*所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据?,n?N*的范围表示出来，再对k分n种情况讨论。（2）几何法：把各象限均先n等

分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则?原来是第几象限对应的标号即

?为,n?N*的终边所在的区域。

n180??rad,1?00?180rad?0.01745rad,3、角度制与弧度制的换算：

?180?001rad????57.3?5718'???12lr?120

弧度制下的弧长与扇形面积计算公式：l?r?,S??r

02注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如：2k??45?k?Z?是错误的。

4、任意角的三角函数的定义：设?是任意一个角，?的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它与原点的距离是r?x?y?0，那么

22sin??cot??yrxy,cos??xr,tan???rxyx,?x?0??ry

?y?0?,sec??x?0??正割?,csc??y?0??余割?5、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。

根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。强调象限的区间内。 注意：?1??为锐角时，tan????sin?,?2?sin??cos??2k???4???2k??5?4

?????3?3tan??cot???k?,?k??k?,??k???????2?4??4

6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。如：

??,k?Z?????3??????3??sin??x??cosx,sin??x???cosx,cos??x???sinx,cos??x??sinx,?2??2??2??2? sin???x??sinx,sin???x???sinx,cos???x???cosx,tan???x??tanx?ABC中要注意：sinA?sin?B?C?,CosB??cos?A?C?,tanC??tan?A?B?SinA2?CosB?C2,CosB2?sinA?C2,cotC2?tanA?B2

锐角?ABC中，A＋B??2?SinA?cosB,tanA?cotB熟记关系式：sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．

???????????????sin?x???cos??x??cos?x??；cos?x???sin??x?

4?4?4???4????4?7、同角三角函数的基本关系式：

平方关系：sin??cos??1,1?tan??sec?,1?cot??csc?

倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,

sin?cos?,cot??商数关系：tan??，一般采用“切化弦”，但已知一个角的正切值，求正弦与余弦cos?sin?有关的代数式常采用“弦化切”。 8、特殊角的三角函数值：（见下表） 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75° 222222

sin? 12 22 3210 1 1 0 -1 6?42 6?46?42 cos? 32 22 2 0 -1 0 6?42 2 tan? 331 1 3 0 0 2-3 2+3 cot? 3 33 0 0 2+3 2-3 9、两角和公式：

C?????,cos??????cos?cos??sin?sin?S?????,sin??????sin?cos??cos?sin?对第三式的??的值使等式两边有意义。 T?????,tan??????tan??tan?1?tan?tan?注意公式的变形应用如：tan??tan??tan??????1?tan?tan??

b??22a?bsin?????,?tan???

a??3210、化一公式：asin??bcos??如：（1）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= )；（2）如果

(答：－2)；

11、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：

巧变角：如??(???)???(???)??，????2???????????00???2，

???2?????2， ?????等）

?2????20????245???90??45???,??2??2

,2??????????????4)的值是_____（答：

322如（1）已知tan(???)?为锐角，si?n?x3y??51?x225，tan(???4)?14，那么tan(??35）；（2）已知?,?,c?o?sy，cos(???)??，则y与x的函数关系为______（答：

43?x(55?x1?)注意：隐含y＞0. ，

第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。 12、二倍角的正弦、余弦、正切

sin2??2sin?cos?,二倍角公式：cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

tan2??2tan?1?tan?cos??22,cot2??1?tan?2tan??1?cos2??2cos?221?cos2?21?cos2?2降幂公式与升幂公式：

sin??2

,?1?cos2??2sin?2?1?cos??,在第一、四象限??sin?1?cos???22tan??半角公式：cos??

21?cos?sin?2?1?cos???,在第二象限、第三象限?22?2tan?22?1?tan,?2?cos??1?tan2?2,3tan????22tan1?tan?22?13、万能公式：?1?sin??1?tan1?sin??(cos2?

22?2?sin?2)?cos2?2?sin?2

第十五讲三角函数的图象和性质

1、正弦函数、余弦函数的图象和性质：(1)五点法作图：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

?3?,2?的五点。 常选取横坐标分别为0，,?,22(2)正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线x?k?????2?k?Z?。

余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是?k??3??,0??k?Z?，对称轴是直线x?k??k?Z?。 2?练习：已知函数f(x)?ax?bsinx?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：

(k?2??8,1)(k?Z)、x?k?2??8(k?Z)）；（4）已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，

求?的值。（答：??k???6(k?Z)）

(3)、单调性：y?sinx在?2k?????2,2k?????k?Z?上单调递增， ?2?在2k??????2,2k??3???k?Z?单调递减。 ?2?y=cosx在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减，在?2k???,2k??2???k?Z?上单调递增。

如：函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?[k??523(x?R)的单调递增区间为___________（答：

?12,k??5?12](k?Z)）

三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区

间。强调象限的区间内。

2、y?Asin??x???的图象：(1)振幅、周期、频率、相位、初相：函数y?Asi??nx???2?,?x?0???,??AA表示这个振动的振幅，往返一次??0,0?，表示一个振动量时，

1T?所需的时间T＝

??x??称为相位，x＝0时的相位?叫初相。

，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数f??2?称为振动的频率，

(2)、函数y?Asin??x???＋K的图象与y=sinx的图象的关系：

把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）， y=sin（x+?） 把y=sin（x+?）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的注意：此处初相不变。

si?n?把y=sin（?x+?）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍， y?A?x??

1?， y=sin（?x+?）

把y?Asin??x???的图象横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0）， y?Asin??x???+K

若由y=sin（?x）得到y=sin（?x+?）的图象，则向左或向右平移

??个单位。

注意：y=sin ??x+?? 应先化为??y=sin??x+?????

????3、正切函数y=tanx的性质：（1）定义域：?xx????k?,k?Z?，。（2）值域是R，在上面定义域上无2?最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是?，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期?。（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是??k??,0??k?Z?，无对称轴。 ?2?（5）单调性：正切函数在开区间?????2?k?,???k???k?Z?内都是增函数。但要注意在整个定义域上不2?具有单调性。

4、反三角函数的定义：（1）反正弦：在闭区间??????,?上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实22??????,?，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的?22?数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中x???????,?内（-1≤a≤1） ?22?正弦值为a,且这个角在??（2）反余弦：在闭区间?0,??上，符合条件cosx?a??1?a?1?的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x??0,??,a?cosx. (3)反正切：在开区间（－

?2，

???2）内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做

arctana,即x=arctana,其中x??????,?且a?tanx.

22?反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）, tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=?-arccosa,arctan（-a）=-arctana, (3)arcsina+arccosa=

?2,(4) arc sin （sinx）=x,只有当x在??????,?内成立。同理arccos（cosx）=x只有当x22??在闭区间?0,??上成立。

5．三角函数的值域的求法：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用sinx?1?或cosx?1?，即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx型，引入辅助角? ，化为y=a?bsin（x+?）,利用函数sin?x????1即可求

22解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。

（3）y=asin2x+bsinx+c（或y=acos2x+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1≤t≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。 （4）Y=

asinx?bcsinx?dasinx?bccosx?d（或y=

acosx?bcosx?d）型，解出sinx（或cosx）,利用sinx?1?或cosx?1?去解；或

用分离常数的方法去解决。 （5）y=

（y=

acosx?bcsinx?d）型，可化归为sin（x+?）g（y）去处理；或用万能公式换元后用

判别式去处理；当a=c时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,t?转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。 6、关于三角函数的周期：

(1)一般先化为：y?Asin??x????m,T?2?,y?Atan??x????m,T?2,将sinxcosx

???,

(2) 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如

2y?sinx,y?sinx的周期都是?, y?|tanx|的周期不变；

第十六讲平面向量与空间向量

1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，有向线段的长度叫向量的模，注意不能说向量就是有向线段。长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是

?????????AB任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，常用e表示。????表示与AB同向的单位向量。

AB??????????????ABAC?：方向相同或?????????????0,????表示∠BAC的角平分线上的向量，共线向量（也叫平行向量）

?ABAC?相反的非零向量，a平行于b，记作：a∥b，

规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。

共线向量的方向不一定相同或相反，因为零向量的方程是任意的。 相反向量；长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。

??????????????????????????????2、向量加法：设AB?a,BC?b,那么向量AC叫做a与b的和，即a?b?AB?BC?AC

作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。

????????????????????????作向量减法有“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA由减向量和终点指向被减

向量和终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

??3、向量共线定理：b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数?，使得b＝?a（a?0），

4、平面向量的基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量??????a存在唯一的一对有序实数??1,?2?使a??1e1??2e2成立，不共线向量e1，e2表示这一平面内所有向量

的一组基底。 5

、

向

量

平行

的

坐

标表

示

：

??a//b?x1y2?x2y1?0，对空间向量

??????a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?,a??b?a??b?x1??x2,y1??y2,z1??z2,

6、空间直线的向量参数方程 如图：A，B，P三点共线AB?a

OP?OA?tAB=

OPBA

1?t?OA?tOB 特别当t=

1为空间任一点。即

2????????????P、A、B三点共线?OP?xOA?yOB?x?y?1?

时OP?1?OA?OB? 此时P为AB的中点。O2???0??????????????,?b,?AOB7、、两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?aOB?称为向量a，b的

夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝

?2时，a，b垂直。

??向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量abcos?叫做a与b的数量积??（或内积或点积），记作：a?b，即a?b＝abcos?。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意

数量积是一个实数，不再是一个向量。 向量数量积的性质：设两个非零向量a，b。 ????????1?e?a?a?e?acosa,e????,?2?a?b?a?b?0?2a???????2???2??3??ab?a?b?ab,a?a?a?a,a???a?b4cos??????ab

????（5）当a，b同向时，a?b＝ab，当a与b反向时，a?b＝－ab，当?为锐角时，a?b为正且????a，b不同向，a?b≠ab，当?为钝角时，a?b为负且a，b不反向，a?b≠－ab。

???? b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分 当?为锐角时，a?b＞0，且a、???? b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、????????|a?b|?|a||b|。如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是

______（答：???43或??0且?????13）；

数量积的的运算律：已知向量a,b,c和实数?，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。

?????????????????a?b?b?a,?2??a?b??a?b?a??b,?3?a?b?c?a?c?b?c

??????????????注意下列式子是错误的：?1?a?b?c?a?b?c???????????2?a?b?b?c?a?c

??a?b????3???ab?0b???4????a?b???2???2?3?3????a?a?b?b?a?b,?5?a?b?0?a?0或b?0，

?????平面向量数量积的坐标表示： a??x1,y1?,b??x2,y2?那么a?b?x1x2?y1y2，

????空间向量数量积的坐标表示：a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?,那么a?b?x1x2?y1y2?z1z2

8、向量的长度和两点间的距离公式：

???1?a??x,y?,那么a2??x?y,a?22x?y22

AB?22?2?若A?x1,y1?,B?x2,y2?,那么???3?a??x,y,z?,那么a22?x2?x1?22??y2?y1?222??x?y?z,a?AB?x?y?z ?4?若A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?,那么?x2?x1?2??y2?y1???z2?z1?229、 两向量垂直的充要条件：

??????非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?那么a?b?x1x2?y1y2＝0?a?b

??????非零向量a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?那么a?b?x1x2?y1y2?z1z2＝0?a?b

?10、bcos?叫b在a上的投影。a?b的几何意义是它等于a的模a与b在a上的投影的积。

注意：投影也叫射影，是一个数，可正可负也可为0，不再是一个向量。有两种计算方式：

???????a?ba在b上的投影?a?cosa,b??

b11、向量与平面平行：如果向量所在直线在平面内或与平面平行，则称向量与平面平行。注意与直线与平面平行的区别。

共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空间任意两个向量都共面(包括两条异面直线上的向量)。空间三个向量不一定共面。不共面的三个向量可构成空间的一个基底。

共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x,y，使得p＝xa+yb.

共面向量定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使

MP?xMA?yMB或对空间任一点O，有op?oM?xMA?yMB

＝mOM?nOA?kOB（m＋n+k=1）.这也是证四点共面的方法。

12、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序组x,y,z,使p＝xa+yb+zc.其中｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量。 13、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示，而空间坐标系的建立是：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，O－xyz为空间坐标系，向量i,j,k为坐标向量，通过每两条数轴的平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平面，yOz平面, xOz平面,作空间坐标系时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空间坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系。 14、向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面ａ，则称这个向量垂直于平面ａ，此时向量a叫做平面ａ的法向量。

15、线段的定比分点：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数? ，使P1P＝?PP2，???????????叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段P1P2的以定比为?的定比分点。当P点在线段

?>0，?<－1，P1P2上时，当P点在线段 P1P2的延长线上时，当P点在线段P2P1的延长线上时 －1

?定比分点的坐标公式：

x1??x2?x???????????1??设P1?x1,y1?,P2?x2,y2?,P?x,y?,P1P??PP2,?

?y?y1??y2?1???在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x,y）, （x1,y1）, （x2,y2）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比?。 x1?x2?x???2?当?＝1时，就得到P1P2的中点公式：

?y?y1?y2??216、在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为

?x?x2?x3y1?y2?y3?G?1,?。

33???????????????????????????????1②PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的3重心；

????????????????????????③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直线)； ④向量?(???|AB||AC|?????????????????????????⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

⑥S⊿AOB＝12xAyB?xByA

????????????????????如：（1）若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为

____（答：直角三角形）；（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足

?????????????????|AP|；（3）若点O是△ABC的外心，且AP?BP?CP?0，设??????，则?的值为___（答：2）

|PD|?????????????OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120?）；

?17、平移公式：将点P（x,y）,按a??h,k?平移至点P′（xˊ,yˊ）,

?x??x?h?x?x??h则?，??y??y?k?y?y??k??h?x??x,?，a叫平移向量。 ?k?y??y?图象的平移：设函数y=f（x）的图象为C，将C上每一点均按a??h,k?平移，得一个新的图象C′，则

C′对应的函数关系式为y-k=f（x-h）,即y=f（x-h）+k,

??（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________（答：

(??4?2k?,1)）

第十六讲正弦定理与余弦定理

1、正弦定理：在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，R为三角形ABC的外接圆的半径，则有

asinA?bsinB?csinC?a?b?csinA?sinB?sinC?2R，注意以下一些变式：

?1?a?b?c?sin?3?aA?sinB?sinC,?2?sinA?a2R,sinB?b2R,sinC?c2R

?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC.222?b?c?a?cosA?2222bc?a?b?c?2bccosA,?222?2a?c?b?222、余弦定理：在三角形ABC中，有?b?a?c?2accosB,?cosB?

2ac?2?22c?a?b?2abcosC222??a?b?c?cosC?2ab?3、其它公式：

（1） 射影公式：?12a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA

?2?七个三角形面积公式：?1?S??4?S?2aha，?2?S??1212absinC，?3?S??1abc4R?2RsinAsinBsinC，?5?S???a?b?c?r，?6?S?＝????2????AB?AC2?????????1AB??x1,y1?,AC??x2,y2?,?7?S??2?2?????????AB?ACx1y2?x2y1??2

?由?2?及向量的数量积公式可得??8?S??a?b?c??p?p?a??p?b??p?c??P???这叫海伦公式，一般不用?2??12其中r为三角形ABC内切圆半径，R为外接圆的半径，p??a?b?c?

4、正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知a,b,A.（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解。当a≥b时，有只有一个解。（二）若A为锐角，结合下图理解。1）若a≥b或a=bsinA,则只有一个解。2）若bsinA＜a＜b,则有两解。3）若a＜bsinA,则无解。

BC1AC2C3C4

也可根据a,b的关系及sinB?????1一解bsinA?sinB? ??1无解a??a?b一解???0,1?且???a?b 两解?bsinAa与1的大小关系来确定。

b，且A=60, b?4，那么满足条件的?ABC，如：?ABC中，A、B的对边分别是a、（1）只有一个解

?时，边长a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿a?aa?23或a?4

??

（2）有两解时，a?23,4，（3）无解时，a?23 余弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两边和夹角，（2）已知三边。

第十七讲不等式

一、不等式的性质

（1.）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：a＞b,c＞d ，则 a+c＞b+d, （a>b ,cb－d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘但不能相除；异向不等式可以相除但不能相乘：a>b>0 c>d>0 (a>b, cbd（或（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 a>b>0则an>bn或na?（4）ab>0,则a>b?1a?1bn??ac?bd）

b

,(ab<0 则a>b?1a?1b)

二、均值不等式： 算术平均数

与几何平均数常用公式及变形：（1）

?a2?b2?a?b?2?????a,b?R?2?2???a?b??ab?a,b?R???222a?b?2ab?a,b?R???,22?或ab?a?b?2?2a?b???ab??a,b?R??????2??21a?1b333

?2aba?b?ab?a?b2?a?b222?或a?b?2?a?b22??（2）a?b?c?3abc?a,b,c?R??a?b?c?33abc 注、对于两个正数x,y，若已知xy,x+y,x2?y2,1x?1,1yxy中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：

（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2P，x?y?2p,12221x?1y?2pp,

（2）x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有最大值S

4x?y?22S22,1x?1y?4S,1xy?1S2?4,

（3）已知x2+y2=p,则x+y有最大值为2p,xy?22p1p112,??,? 2xypxyp应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”

三、不等式的证明：（1）求差比较法：（2）求商比较法：要证a﹥b，且b﹥0,只要证

ab﹥1.（3）、综合法：

利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。（4）分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因。用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真?最后得出A或已知的性质、公理、定理。从而得出B为真。也可使用?简化叙述。即B?C?D???A或已知的性质、公理、定理。切不可使用B?C?D??A。（5）放缩法（如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩）

常用放缩技巧：

1n?1n?11?1n(n?1)12k?1n2?1n(n?1)1?1n?1?1n

k?1?k?k?1?k??k?1?k?k?k?1，n?n?1?!?1n!?1?n?1?!

（6）利用函数的单调性（本质仍然是放缩法），（7）反证法（对于“至多”“至少”问题、存在性问题、否定形式的命题等，总之“正难则反”），（8）换元法（形如：x2?y2?a,常设x?（9）判别式法（二次式的含参数问题常运用判别式） 四、不等式的解法

?f?x??0???f?x??0f?x??g?x?化为?1??或?2??g?x??0

gx?0?????2fx?g???x??asin?,y?，acos?）

1、 无理不等式：?一??f?x??0? ?二?f?x??g?x???g?x??0?2?f?x??g?x?2、指数不等式、对数不等式要注意对底数的讨论，对数不等式还要注意真要大于0。

23、“非常规不等式”常用数形结合法。如：?1?.log2??x??x?1，（2）x?logax?0在（0，

12）内恒

成立，则a满足（A）A.116?a?1,B.116?a?1,C.0?a?116,D.0?a?116

五、参数不等式：（一）解含参数的不等式： 1、

ax??a?1?x?1?0化为?ax-1??x?1??0,分三大类二个层次5个小类：2?1?a1?1??0,?xx?1?,?2?a?0,化为?x-??x?1??0,1?1,a?1??a?a??1??1?2a?1,??x?x?1?30?a?1??x1?x??a??a??

?3?a?0?a?x?1?x?21??1??x?x?1?0?xx?1或x???????aa????2、?1??a?1?x?a?2x?2?0

?a?2?1当a?0时，原不等式的解集是,2?,?2?当a?0时,原不等式的解集是?????a?1??3?当0????时?原不等式的解集是?????a?2??,a?1?????2,????

?4?当aa?2??1时,原不等式的解集是???,a?1??5?当a=1时,原不等式的解集是?2，＋??

（二）恒成立问题：解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合；③转化为函数的最值问题。你

能清楚何时用何种方法吗？

常见题型：①若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立，则m?f(x)max；若m?f(x)在x?[a,b]上恒成立，则m?f(x)min。②若m?f(x)在x?[a,b]上有解，则m?f(x)min；若m?f(x)在x?[a,b]上无解，则m?f(x)min。（注：m为常数。）③f(x)?g(x)在x?[a,b]上恒成立，是对于任意的x?[a,b]，（不是。通常移项，使h(x)min?f(x)?g(x)?0即可；若h(x)f(x)min必须大于g(x)max吗？应该怎样解？

的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在x?[a,b]上f(x)的图像始终在g(x)的上方即可。）

（1）一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）??a?0?f(m)?0?a?0?f(n)?0?f(m)?0?f(n)?0或ⅱ）?亦可合并定成?

?f(m)?0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有?

f(n)?0?（2）二次函数型：若二次函数y=ax+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有?2

?a?0???0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例1、 设f(x)=x2-2ax+2,当x?[-1,+?)时，都有f(x)?a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)?a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+?)时恒大于0的问题。

法一：解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.

ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

????0?(a?1)(a?2)?0??即?a?3?0 ?f(?1)?0?a??1,??2a????1,?2?y -1 o x 得-3?a?-2;

综合可得a的取值范围为[-3，1]。

法二：化为求F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.在x?[-1,+?)上的最小值大于等于0。再对对称轴的位置进行讨论。

法三：分离参数法：再对参数分类讨论：

22?x?2??x?1?1?x?2?/2x?1a?x?2,x??1,??a??gx?gx??0???????2?2?2x?1??2x?1?222?x?2??x?1?x?2?1?/?a?g??1???3,x???,????a??g?x??g?x??22x?1?2??2x?1?

?g?x?min?g?1??1综合知a???3,1?（3）分离变量型：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例2、 已知当x?R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a?4恒成立，求实数a的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x?R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

六、线性规划：1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右

边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。

2、设点P（x1,y1）,Q(x2,y2)，若Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。

3、线性规划中的几个几何意义：

?1?z?2??ax?by,若b?0，直线在y轴上的截距越大，z越大，若b?0，直线在y轴上的截距越大，z越小。y?mx?nyx表示过两点?x,y?,?n,m?的直线的斜率，

特别表示过原点和?n,m?的直线的斜率。2?3?t??x?m?2??y?n?表示?x,y?到点?n,m?的距离的平方，2特别t?x?y表示?x,y?到点?0,0?的距离的平方。2第十八讲常用的逻辑用语

1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p或﹁q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若﹁p 则﹁q ，（4）逆否命题：若﹁q 则﹁p，

四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。但对于“全称命题”与“特称命题”是互为否定的。 2、如果已知p?q,则有四种说法：（1）p是q的充分条件，（2）q是p的必要条件，（3）p的一个必要条件是q,（4）q的一个充分条件是P。 练习：（1）若?P是?Q的必要不充分条件，则P是Q的（A）

A 充分而不必要条件，B 必要不充分条件，C 充要条件，D 既不充分与必要条件

（2）“a?1或b?2”是“a?b?3”成立的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)． 学科网

3、复合命题的三种基本形式及真假判定：P或Q（P∨Q），P且Q（P∧），非P（﹁P）。 “P与﹁P”中的一些常用对应词 原结论 是（一定是） 反设 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多 ＝ 存在 有一个 ≠ 不存在 （都不是） 有2个 4、全称量词：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等。常用“?”表示。含有全称量词的命题叫全称命题。 存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的” “对某个”等。常用“?”表示。含有存在量词的命题叫特称命题。

全称命题p:?x?M,p?x?,它的否定?p:?x0?M,?P?x0?,不是（一定不是） 不都是 ≤（≥） 一个也没有 至少 特称命题p:?x0?M,p?x0?,它的否定?p:?x?M,?P?x?。

练习：写出下列命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数。

2（2）p：?x0?R,x0?2x0?2?0

第十九讲圆锥曲线与方程

一、曲线与方程

（一）曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0上的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫曲线的方程；这条曲线叫方程的曲线。

练习：（1）

如果命题“坐标满足方程F?x,y??0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是(　D　)ABCD坐标满足方程F?x,y??0的点都不在曲线C上，曲线C上的点的坐标不满足方程F?x,y??0，

坐标满足方程F?x,y??0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上，至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足方程F?x,y??0。分析：“都在”的否定是“不都在”，上面命题等价于“方程F?x,y??0的解为坐标的点有些不在曲线C上。”（二）求曲线方程（求轨迹）的几种常用方法：

1、直接法：直接用动点P（x，y）的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。一般步骤是：①建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐标系。②列出点 M适合条件的几何等量关系；③用坐标表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后的方程的解是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤②直接列出直线方程。

例1：三角形ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a,边BC上的高线长为b，边BC沿一条定直线移动，求三角形ABC外心的轨迹方程。

分析：以BC边所在的直线为x轴，过A点且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则B（0，b），设外心M（x,y），则|MA|＝|MB|，B（x-a,0）,x2-2by+b2-a2=0 2、 定义法：通过圆锥曲线（或已知曲线）定义确定轨迹性质，进而求得方程。

例2、(1)由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为

2 ?OP?2?x?y?4

22（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____

y?16x

(3) 一动圆与两圆⊙M：x?y?1和⊙N：x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为

。

2222?x?2?142?y2154?1?x?2?双曲线的左支上。注：都内切时，得到该双曲线的右支。若与前者内切，与后者外切时，得到双曲线

?x?2?342?y2134?1?x?2?的左支，若与前者外切，与后者内切时，得到双曲线?x?2?342?y2134?1?x?2?的右支， （4）、

圆O的半径为r，A是圆内一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆C运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？若点A在 圆外呢？ 前者为椭圆，后者为双曲线。3、相关点代入法：当动点P（x，y）与已知曲线上动点P1（x1，y1）相关时，用x，y表示x1，y1，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。

例3：（1）动点P是抛物线y?2x2?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________

???????????x?xP??2x?xP?3x设M?x,y?,?PM?2MA????代入抛物线得 ?y?yP?2?2y?yP?3y?23y?2?2?3x??1?y?6x?12???（1） 若点P(x1,y1)在圆x2?y2?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____ ?x1x2?u22设??v?2u?1,即Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是y?2x?1 ?x1?x2?v例4、设O为平面直角坐标系的原点，已知定点A（3,0），动点B在曲线x2+y2=1上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，求动点M的轨迹方程。

分析：当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时，且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐标的影响，可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。 （4x-3）2+16y2=9

B M A

4、交轨法：已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。（常与参数法相结合。） 例5、已知直线L1过A（－2,0），直线L2过B（2,0），且L1与L2分别绕A，B旋转，它们在y轴上截距分别为b1,b2，其中b1?b2?4，试求L1与L2交点的轨迹方程。

L1:x?2?yb1?1,L2:x2?yb2?1,b1?b2?4?x?y?4?y?0?

22

5、参数法。先选定某个变量作为参数，再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式，然后再消去参数。

例6、已知常数a?0，在矩形ABCD中，AB?4，BC?4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且

BEBC?CFCD?DGDA，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P

到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 y D F P G A O B x C E

根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和

为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：2ax?(2k?1)y?0① 直线GE的方程为：?a(2k?1)x?y?2a?0②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2?y2?2ay?0 整理得

x2BEBC?CFCD?DGDA?k(0?k?1)

12?(y?a)a22?1 当a2?12时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当a?2121212时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 当a?2时，点P到椭圆两个焦点（?12?a,a),(2122?a,a)的距离之和为定值2 当a?2时，点P 到椭圆两个焦点（0，a?a2?1),(0,a?a2?1) 的距离之和为定值2a.

22本题是交轨法与参数法的例子。 例7、（本例是情侣圆锥曲线的求法）

设A1、A2是椭圆xa22?yb22＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦，求直线A1P1与A2P2的交点P的轨迹方程。分析：设A1??a,0?,A2?a,0?,P1?x0,y0?,P2?x0,?y0?,P?x,y?A1P:?x?a??y?y0??y?x?x0?,A2P:?x?a??y?y0??y?x?x0?,?x0?a2

x,y0?ayx,?xa22?yb22?1本题是相关点代入法和交轨法相结合。

6、待定系数法：已知曲线方程的类型，可先设出曲线方程的形式，然后求出有关的系数。 例8、

线段AB过x轴上一定点M?m,0?,端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线的方程为＿＿＿＿＿。2?y12??y2?设抛物线的方程为y?2px?p?0?，A?,y1?,B?,y2??2p??2p?2

?y1y2??2m?2???????y2??y12??????PA??PB?y1?2p?m??y2?2p?m??0??????y?2x2?1?y?y?1?12????0?p?1

?p?二、椭圆：

1、椭圆的定义1：PF1+PF2?2a?F1F2 ，F1，F2为两定点即焦点。定义2：

2222PFd?e??0,1?

2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上时： ≤x≤a,-b≤y≤b,

当焦点在y轴上时，标准方程为

ya22xa?yb,焦点F（?c，0）, 准线方程为x=??1（a﹥b﹥0）

a2c,-a

?xbxa22＝1（a﹥b﹥0）,焦点F（0，?c），准线方程为y=?22a2c,

223、椭圆焦点三角形：（1）设P为椭圆?yb?1，上任意一点，F1，F2为焦点且∠F1PF2

22＝?，则△F1PF2为焦点三角形，当r1=r2即P为短轴端点时，?最大且?max＝arccosb?ca2，

?b2?c2??2cos???,1，（2）它的面积公式为： S＝btan＝cy0 , 当y0=b时，P为短轴端点时，Smax?22a??的最大值为bc。（3）焦点三角形中?为锐角三角形的充要条件是，P在圆x?y?c外。焦点三角形为钝角三角形的必要条件是b＜c。

222?（4）焦点三角形的周长2a+2c.r1?r2??a?ex0??a?ex0??a2?e2x0???b,a?,当且仅当x=±a时取最

222222222?小值,当x=0时取最大值。PF1?PF2＝F1P?F2P＝?x0?c,y0???x0?c,y0??x0?y0?c???b?c,b?

????????????????.4、方程Ax?By?1表示椭圆的充要条件是：A＞0，B＞0，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。 5、离心率e＝

ca22，0﹤e﹤1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

6、焦半径公式：P(x0,y0)为

xa22?yb22上一点， F1为左焦点， F2为右焦点，P F1＝a+ ex0,P ?1（a﹥b﹥0）

F2= a- ex0（左加右减），以焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆内切。

2ba27、弦长公式：（1）通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：PQ＝径为直径的圆和相应的准线相离。 （2）过

xa22，P，Q为弦与椭圆的交点。以通

?yb22（a﹥b﹥0）的焦点F（或F2）的弦长：PQ＝2a+e(x1+x2) (或AB＝2a-e(x1+x2) )，?11x1，x2分别P，Q为的横坐标。

（3）一般的弦长公式：x1，x2分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整理得Ax2+Bx+C=0,则PQ＝1?k22x1?x2?1?kB?2ACA2，若y1,y2分别为弦PQ的纵坐标，则

PQ＝1?1k2y1?y2，

bx0ay0228、以P(x0,y0)为中点的弦A（x1,y1）,B（x2,y2）所在直线的斜率k=－

bx0ay022，直线AB的方程为：

y-y0=- (x-x0). AB的中垂线方程为y-y0=

ay0bx022(x-x0)

9、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x1,y1),Q(x2,y2)，中点M（x0,y0），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得

xa22xa2?kyb2?0（椭圆内不含端点的线段）

10、设P（x0,y0）是椭圆

?yb22?1（a﹥b﹥0）上一点，则过P点的切线方程是：

x0xa2?y0yb2?1（利

用导数求出斜率或利用判别式求斜率） 11、点P和椭圆

xa22?yb22?1（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x0,y0）在椭圆外?222222x0a22?y0b22﹥1，（2）点

P（x0,y0）在椭圆上?x0a?y0b2＝0，（3）点P（x0,y0）在椭圆内?22x0a?y0b2﹤1

12、椭圆的参数方程为：

xa22?yb?x?acos??1（a﹥b﹥0）??

?y?bsin?

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