中学数学教学论

参考书：

1．[前苏联] 斯托利亚尔著：《数学教育学》 丁尔升等译 人民教育出版社 2．[荷兰] 弗赖登塔尔著：《作为教育任务的数学》 陈昌平等编译 上海教育出版社 3．[美] D.A.格劳斯主编：《数学教与学研究手册》陈昌平等译 上海教育出版社 4．[德] Rolf Biehler等主编：《数学教学理论是一门科学》唐瑞芬等译 上海教育出版社 5．[前苏联] 克鲁捷茨基著：《中小学数学能力心理学》李伯黍等译 上海教育出版社 6．[中] 张奠宙等著：《数学教育学》 江西教育出版社

前言：数学教育学的概念、研究意义、研究方法

一、 数学教育学的概念

较早的认识是前苏联教育家斯托利亚尔在《数学教育学》中给出的：

数学教育学—→如何教？—→教学方法。

↓

教什么？

↓

教学内容。 近期的认识是美国教育家Tom Kieren 在文章“数学教育学——三角形”中给出的：

我国较一致的认识是：数学教育学是研究数学课程论、数学教学论、数学学习论的一门实践性很强的理论学科。

中学数学教学概论 ? 数学教学论 ? 数学教育学。

二、 数学教育学的研究意义

1． 指导数学教育研究 2． 指导数学教学实践

三、 数学教育学的研究方法

1． 历史的研究方法 2． 理论的研究方法 3． 实验的研究方法 4． 个案的研究方法

四、 数学教育学的研究现状

1． 探索数学教育的特殊规律 2． 强调知识的发生、发展过程 3． 重视知识的应用 4． 重视数学文化的价值 5． 重视学生的个性发展

6． 重视学生的认知规律的探索和利用

第一章 中学数学教学目的

第一节 制定中学数学教学目的的依据

一、制定中学数学教学目的的依据

?党的教育方针 ?社会发展的需要

?普通中学的性质与任务 ?数学的特点

?中学生的年龄特征

二、在制定中学数学教学目的时应考虑的几个要求

?可操作性要求 ?多样性要求 ?时间性要求

第二节 中学数学教学目的

初中：（中华人民共和国教育部2001年颁布）

?获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；

?初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；

?体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；

?具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分的发展。 高中：（中华人民共和国教育部2002年颁布） 高中数学教学应该在9年义务教育数学课程的基础上进一步做到： ?使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，以及其中的数学思想方法。 ?在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。

?努力培养学生的数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。 ?激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辨证唯物主义的世界观。

一、正确理解基础知识与基本技能

?中学数学教学的基础知识与基本技能是指进一步学习各门数学理论课程、学习相邻学科、参加生产劳动和实际工作所必备的、最初步、最基本的知识与技能。

?基础知识不是绝对的。 二、提高学生的数学能力

?能力是“直接影响活动的效率、使活动顺利完成的个性心理特征”。 ?能力与知识有紧密的联系。

?“数学能力是一个结构复杂的心理构成物。它是一个含有多种多样心理方面的、许多特性的独特的综合，一个完整的心理品质，并且是在数学活动的过程中形成的”。这是前苏联心理学家克鲁捷茨斯基在《中小学数学能力心理学》中给数学能力下的定义。

?我国中学数学教学目的中提到的数学能力包括思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力、探究能力、建模能力和交流能力。

?运算能力是指进行运算的能力。中学数学中的运算不但包括数值的计算，而且包括各种代数运算，初等超越运算，微分、积分的初步运算，概率中的运算，集合与逻辑的简单运算以及大量的数据处理。运算能力的强弱依赖于运算知识的掌握程度，运用运算知识的熟练程度以及思维能力和运算操作能力等方面的因素，它体现在运算的准确、合理和敏捷的程度上。

?思维能力是指正确、合理地进行思考、推理、论证的能力。它包括逻辑思维，如形式逻辑思维、辩证逻辑思维，也包括非逻辑思维，如动作思维、形象思维和直觉思维。思维能力是一个公民必须具备的能力，它对学习数学有重大意义，就是在日常生活中也是不可缺少的。

?空间想象能力是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和构造的能力。 三、培养学生的应用能力与创新意识

?创新意识以应用意识为前提，没有应用，也就没有创新。应用的领域相当广泛，可以是在数学各分支中的应用、也可以是在相关学科中的应用，还可以是在实际生产与日常生活中的应用。创新的领域也相当广泛，在上述各方面都可以创新。在数学自身的创新，许多教师都能够重视，如用一题多解与一题多变来培养学生的创新解法，但在相关学科和生产生活中的创新却重视不够，而这两方面的创新更为重要。 四、培养学生的情感与态度

?任何教学都有教育性，向学生传授知识的过程必然是对学生进行教育的过程。懂得了这一点，广大教师就可以在教学过程中有意识地教育学生。同时，数学自身存在着大量的思想教育因素，只要教师能够深入挖掘这些因素，是能够受到好的教育效果的。如通过数学的美培养学生对数学的兴趣，通过数学与其它学科、生产以及生活的广泛联系培养学生刻苦的精神与顽强的毅力，通过严谨的形式推理培养学生言必有据、一丝不苟、坚持真理、修正错误的实事求是的科学态度，通过数学解题培养学生积极主动、独立思考、勇于创新的意识。

第三节 建国以来中学数学教学目的的回顾

?1951年：Ⅰ、形数知识。本科以讲授数量计算，空间形式，及其相互关系之普通知识为主。Ⅱ、科学习惯。本科教学须因数理之谨严以培养学生观察、分析、归纳、判断、推理等科学习惯，以及探讨的精神，系统的好尚。Ⅲ、辩证思想。本科教学须相机指示因某数量（或形式）之变化所引起之量变质变，籍以启发学生之辩证思想。Ⅳ、应用技能。本科教学须训练学生熟悉工具（名称、记号，定理、公式、方法），使能准确计算、精密绘图、稳健地应用它们去解决（在日常生活，社会经济、及自然环境中所遇到的）有关形与数的实际问题。”

?1956年：“教给学生有关算术、代数、几何和三角的基础知识，培养他们应用这些知识解决各种实际问题的技能和技巧，发展他们的逻辑思维和空间想象能力”。

?1960年：“使学生获得数学的基础知识，掌握计算、作图和测量等技能，并且能够把这些知识和技能技巧运用到生活、生产和学习其它科学方面去；通过数学教学，发展学生的逻辑思维和空间想象力，向学生进行共产主义的思想政治教育，培养学生的辩证唯物主义观点”。

?1963年：“使学生牢固掌握代数、平面几何、立体几何、三角和平面解析几何的基础知识，培养学生正确而且迅速的计算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，以适应生产劳动和进一步学习的需要”。

?1980年：“使学生切实学好从事现代化生产和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识，具有正确迅速的运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，从而逐步培养运用数学来分析和解决实际问题的能力。通过数学教学，向学生进行思想政治教育，激励学生为实现社会主义四个现代化学好数学的热情，培养学生的辩证唯物主义观点”。

?1989年：“使学生切实掌握现代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，包括直观的空间图形和统计的初步知识，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”。

?2000年，初中为“使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和基本技能，进一步培养运算能力，发展思维能力和空间观念，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，并逐步形成数学创新意识。培养学生良好的个性品质和初步的辨证唯物主义的观点，”高中为“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力，以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。” ?2001年：前面已叙。

第四节 发达国家中学数学教学目的简介

一、香港

1．通过数学来提高构思、探究、推理及传意的能力，利用数学来构想和解决日常生活问题和数学问题的能力；

2．运用数学、符号及其他数学对象的能力；

3．建立数学感、符号感、空间感、度量感及鉴别结构和规律的能力； 4．对数学采取积极的态度，从美学和文化的角度欣赏数学。 二、日本

使学生加深理解有关数量和图形的基本概念、原理和规则；获得数学地表达和处理问题

的方式，促进数学地思考问题的能力；帮助学生欣赏数学地观察和思考的方式，进而培养学生愿意应用数学的态度。

三、韩国

1．通过调查日常生活中各种现象的数学体验，使学生理解数学概念、原理和规律，以及他们之间的关系；

2．通过练习和运用基本数学知识到日常生活中，使学生能够以数学观念进行观察、分析、组织、思考和解决问题；

3．培养学生对数学的持久兴趣及关注，使学生获得积极的学习态度，进一步发展学生应用已有知识和技能合理解决各类问题的能力。 四、台湾

1．引导学生认识数学在生活中的作用，以提高学习的兴趣；

2．辅导学生获得数、量、形的基本知识及技能，以提升数学素养； 3．培养学生应用数学方法解决问题的习惯与能力； 4．启发学生思考、推理与创造的能力；

5．培养学生主动学习的态度及欣赏数学的能力。 五、美国

1．平等原则：数学教学项目应该促进所有学生的数学学习；

2．数学课程原则：数学教学项目应该用内在一致和综合的课程来强调重要及有意义的数学；

3．施教原则：数学教学项目应该依靠能够教会学生理解和应用数学的能胜任和敬业的教师；

4．学习原则：数学教学项目应该使所有学生能够理解和应用数学；

5．评价原则：数学教学项目应该包括监控、强化、评估所有学生数学学习并改进教学的评价；

6．技术原则：数学教学项目应该使用技术来帮助所有学生理解数学并为越来越技术化的社会中应用数学做好准备； 7．建立有能力做数学的信心； 8．学生学会以数学方式沟通。 六、英国

1．培养学生数学学习及应用的态度； 2．培养学生数学应用的能力及信心；

3．培养学生欣赏数学本质及过程，欣赏怎样用数学观点来解释现实世界，欣赏数学美及数学史；

4．培养学生口头或书面数学交流以及阅读和理解数学的能力；

5．使学生获得在数学和其他学科及就业中进一步学习所必需的数学基础知识、技能及态度；

6．培养学生在数学应用及发展中的模式化、一般化和解释结果的能力； 7．培养学生更为一般性的学习及思考技能；

8．培养学生适当使用计算器、计算机及各种软件来学习数学的能力； 9．培养学生逻辑地辩论及对严格性的理解；

10． 使学生获得解决数学问题时广泛使用的策略。

七、澳大利亚

1．培养学生处理日常事物的信心及能力； 2．培养学生参与数学的积极态度；

3．培养学生独立及合作使用数学解决问题的能力； 4．培养学生学会数学交流；

5．培养学生学会反映现代数学的技巧及工具； 6．培养学生体验数学发展的过程。

八、新加坡

1．发展数学对数字的、几何的、代数的和统计的概念的理解； 2．选择合适的方式进行计算，比如心算、机算等；

3．能进行估计和近似，并对测量的结果和结论的合理性做出迅速的判断； 4．将测量的体系用于日常生活和解决问题中； 5．用几何的工具； 6．收集和分析数据；

7．用书面的、几何的、图表的和数表的形式，来表达、解释和应用信息； 8．用数学的语言、符号和图表，来有效地理解、表达和交流数学的概念； 9．识别、应用二维和三维图形中的空间关系； 10． 在给定的情境中适当地识别数学的序列； 11． 在不同的情境中能够识别出模式的结构并进行一般化； 12． 在熟悉和不熟悉的情境中，包括日常生活中，能应用和解释数学的概念； 13． 逻辑地思考和对结论进行推理，并将这些过程应用到数学情境中； 14． 分析问题，并用适当的策略去解决问题、证明和解释结果，学会逻辑清楚地表达数学的观点和解决数学问题的方法； 15． 认识到数学各部分内容之间的联系以及数学在其他学科中的应用； 16． 通过调查、研究性活动来发展探究性思维； 17． 通过大量的活动来欣赏和学习数学。

上述目标分为三类：一类是实用目标；一类是学科目标；一类是文化目标。实用的目标包括（1）以数学方式解决日常生活中遇到的问题；（2）提供将来大部分职业所必需的数学训练；（3）为将来升读理科及有关学科所必需的数学奠定基础。学科的目标包括（1）数、符号及其他数学对象的运算能力；（2）数感、符号感、空间感及结构与规律的认识；（3）推理与逻辑思维；（4）数学构造与解决问题的能力；（5）以数学方式表达与交流。文化的目标包括（1）欣赏数学之美；（2）认识古今数学在各地文化中的角色及其他学科的关系。

上述目标的共同特点为：（1）更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高；（2）面向全体学生，从精英转向大众；（3）关注学生的个别差异，而不是统一的模式；（4）更加注重联系现实生活与社会。

第二章 中学数学教学内容

第一节 选择中学数学教学内容的标准

1．社会作用标准：教学内容应该是现代社会生活、生产和科学技术普及需要应用的知识；

2．教育作用标准：教学内容应该是培养形成学生良好的个性品质，发展学生的数学思维和数学能力有重要意义的知识；

3．后继作用标准：教学内容应该是后继学习和走向社会所必需的知识；

4．可行性标准：教学内容应该是学生能接受的，在教学计划规定时间内能完成的知识。

第二节 中学数学教学内容

1．学习内容：分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。

“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。

“实践与综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。

课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。

?数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。

?符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择恰当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

?空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件作出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

?统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。

?应用意识主要表现在：认识带现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其他实际背景，并探索其应用价值。

?推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻

求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。

2． 课程结构：

内容结构表

学段 第一学段 第二学段 第三学段 ?数的认识 ?数的认识 ?数与式 数与代数 ?数的运算 ?数的运算 ?方程与不等式 ?常见的量 ?式与方程 ?函数 ?探索规律 ?探索规律 ?图形的认识 ?图形的认识 ?图形的认识 空间与图形 ?测量 ?测量 ?图形与变换 ?图形与变换 ?图形与变换 ?图形与坐标 ?图形与位置 ?图形与位置 ?图形与证明 统计与概率 ?数据统计活动初步 ?简单数据统计过程 ?统计 ?不确定现象 ?可能性 ?概率 实践与综合应用 ?实践活动 ?综合应用 ?课题学习 3． 教学内容的安排体系

（1） 教材体系要符合学生的思维特点和认识规律 （2） 教材体系要符合数学学科的系统性 （3） 教材体系要符合逻辑系统性。

第三节 发达国家和地区的中学教学内容简介

1．美国：数与运算，模式，函数与代数，几何与空间感，测量，数据分析，统计和概率。 2．英国：数，外形空间和度量，数据处理，代数。 3．澳大利亚：数，空间，测量，概率和数据，代数。

4．新加坡：算术，测量，代数，图形，统计，几何，三角。 5．香港：树与代数，测量，形状与空间，数据处理。 6．日本：数与代数表达，几何图形，量的关系。

7．韩国：数与运算，字母与表达，概率与统计，几何图形，测量，模式与函数。 8．台湾：数的概念，代数，平面几何，坐标几何，资料的整理与几率。

上述内容的共同点为：（1）知识的选择考虑到了全体学生的需要，使数学课程为学生的发展和成为未来的合格公民服务。（2）知识范围有所扩展，选择更多与学生生活密切联系的内容。（3）知识的选择符合现代社会的需要，让学生学习现代社会所必需的、有用的数学。（4）考虑数学学科本身的发展，将现代数学中新的内容和新的技术引入数学课程之中。

第三章 中学数学教学改革

第一节 改革的必要性

?改革是现代社会对数学教学的要求 ?改革是数学发展的必然

?改革是解决当前中学数学教学中存在的问题的有效途径

1． 中学数学教学思想跟不上时代

2． 中学数学教学内容仍然是传统的数学教学体系模式 3． 中学数学教学质量达不到现代教育的要求

第二节 国外教学改革概况

?近代化运动（十九世纪末二十世纪初）

代表人物为德国数学家克莱因与英国数学家贝利。 克莱因的代表著为《高观点下的初等数学》，他主张用近代数学的观点改革中学数学教学内容，把函数思想作为数学教学内容的核心，加强函数与微积分的教学，重视图象，用几何变换的思想方法改造传统的几何。

贝利的代表著为《实用数学》，他强调应用，强调理论与实际的结合。 改革重点是教学内容，如初等函数知识成为中学数学的固定内容，几何变换的知识在几何中得以充实，教材的实践性得到加强，解析几何在某些国家的多数中学占主要地位，微积分也出现在某些国家的教材中。这次改革对中学数学教学的影响是深刻的，对今天的改革也具有指导意义。

?数学教育现代化运动（二十世纪六十年代）

代表人物为美国教育家布鲁纳。他在1959年“全国科学院”召开的课程改革会议上发表了“教育过程”的总结报告，提出了四个新的思想：（1）学习任何学科，务必使学生理解该学科的基本结构；（2）任何学科的知识都可以用某种方式教给任何年龄的学生；（3）让学生像原来科学家那样来亲自发现所要学习的结论；（4）激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。

这次改革的主要特征为：（1）增加现代数学内容；（2）强调结构；（3）采用演绎法，强调公理思想；（4）废弃欧几里得几何；（5）削减传统计算。

改革的有益成果：（1）出现了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者，在一些国家中建立了中学、高等学校数学教师以及学习理论家之间的合作机构来研究课程的发展。（2）大多数国家的中学数学课程形成一个统一的整体。强调结构和原理，克服了传统数学教学只强调机械计算的毛病。（3）在国际上形成了数学教育工作者活跃的联络网。（4）使教师更加集中注意教育的成果。

改革的主要缺点：（1）增加的现代数学内容份量过重。（2）只强调理解，忽视了必要的基本技能训练；强调抽象理论，忽视实际应用。（3）只面向成绩好的学生，忽视了适应不同程度的学生的需要。（4）对教师的培训不够。

?新世纪改革运动 1． 课程目标的改革 2． 课程内容的改革

3． 数学教学与评价的改革：（1）数学教学改革的特点，第一，强调学生在教学过程中的主动参与，教师在教学过程中更多地是充当学生学习活动的促进者、学习环境的营造者；第二，充分注重学生的个体差异；第三，注重让学生在多样的学习活动中体验数学；第四，注重计算器与计算机等先进技术的应用。（2）数学学习评价改革的特点，第一，评价主体的多元化；第二，评价内容的多元化与开放性；第三，评价方式的多样性。

4．国际数学课程改革给我们的启示：（1）义务教育阶段的数学课程要面向全体学生。（2）设计与实施最有价值的数学，既具有基础性、发展性、现实性的知识基础性是指数学

作为一门学科有自己独特的内容与目标，如计算、图形的认识与推理、数据的收集、处理与分析等；发展性是指数学教育不仅要关注学生的数学知识的获得，更应关注学生的情感、认知、思维和一般能力的发展；现实性是指学习数学就意味着能够做数学。（3）重视对学生情感态度、价值观的培养。（4）提供现实而有吸引力的学习背景。（5）数学教学应注重自主探索与合作交流。（6）数学学习评价目标的多元化与评价方法的多样化。（7）充分重视现代信息技术在数学课程中作用。

第三节 我国教学改革简介

??????

全面学苏时期

群众性数学教育时期 总结时期

教学内容现代化时期 义务教育时期

面向新世纪的课程改革运动

——人人学有价值的数学

——人人都能获得必需的数学

——不同的人在数学上得到不同的发展

第四章 中学数学逻辑基础

一、概念是反映事物的本质属性和特征的思维形式。其中本质属性是指这类事物所特有的，而其他类事物所没有的性质。正确的概念是科学抽象的结果。概念与语词紧密相连。 概念的内涵是指概念所反映的这类事物的共同的本质属性的总和。概念的外延是指概念所反映的这类事物的全体。内涵是概念质的方面；外延是概念量的方面。 概念的关系是指概念外延的关系。根据概念的外延有无重合之处，可将概念间的关系分为相容关系和不相容关系。

概念间的相容关系是指两个概念的外延至少有一部分重合。根据重合的多少还可以进一步分为同一关系、属种关系、交叉关系。

概念间的不相容关系是指属于同一个属概念的两个种概念的外延没有重合。根据它

们与属概念的关系还可以进一步分为矛盾关系、反对关系。 二、概念的定义

?下定义是揭示概念内涵的逻辑方法。

?在中学数学中最常见的定义形式是“┈┈叫做┈┈”，其中叫做前面的叫定义项，后面的叫被定义项。被定义项的形式通常是“临近的属 + 种差”，既选择与被定义概念最接近的属概念加上在该属概念下，被定义概念与其他种概念的本质差别。临近的属概念不唯一，在同一属概念下，种差也可以不同。

中学数学中，定义除“┈┈叫做┈┈”形式外，还有语词定义、外延定义、发生定义、关系定义、公理定义等。 概念下定义遵循规则：（1）定义项与被定义项的外延必须全同；（2）定义不得循环；（3）定义项中不得用未定义过的名称；（4）定义项中一般不含有负概念，所谓负概念是指反映对象不具有某种属性的概念；（5）定义项中不得含有能够推出的本质属性。

原名：不能用别的概念来定义，且又用来定义其他概念的概念叫做基本概念，或者简称为原

名。在中学数学中，数、量、点、直线、平面、集合等都是原名。

三、概念的划分:将一个概念所指的事物，按着某种属性分成若干小类，也就是将一个属概念分成若干种概念.

划分与把整体分成部分是不同的。 划分遵循规则：（1）划分后的各子项应互不相容——不重；（2）划分后各子项必须穷尽母项——不漏；（3）每一次划分必须遵循同一标准——标准唯一。

二分法是将被分概念一贯地、逐次地分成两个矛盾概念，一直到不能再分为止。它是一种非常重要的划分方法。 一、判断的意义

判断是对思维对象有所断定的思维形式。它有两个基本特征：有所断定和有真假之分。 按着判断的量可将判断划分为全称判断、特称判断和单称判断；按着判断的质可将判断划分为肯定判断和否定判断；按着判断的关系可将判断划分为定言判断、选言判断和假言判断。 在数学中常用的判断形式有：全称肯定判断：所有S是┈┈；全称否定判断：所有S不是┈┈；特称肯定判断：有些S是┈┈；特称否定判断：有些S不是┈┈；定言判断：S是P；选言判断：或者P或者Q；假言判断：如果P那么Q。 二、命题及其基本形式

?可以判断真假的语句叫做命题。不能判断真假的语句不是命题。 ?根据命题的形式可以将命题分为简单命题和复合命题。没有逻辑联结词的命题叫简单命题；把简单命题用逻辑联结词连接起来就构成复合命题。

?无论在什么情况下都为真的命题称为恒真命题，通常用1表示；相反，无论在什么情况下都为假的命题称为恒假命题，通常用0表示。

?命题相等：如果两个命题A和B同真同假，那么称命题A与命题B相等。记为A≡B。也称为命题A与命题B等价。 三、命题的基本运算

?否定（非）：设P表示一个命题，若否定P，则得命题“非P”，记作P，这个式子叫做命题P的否定式。

否定一个命题与将一个命题换质不同。 ?合取（与）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“与”将其连接起来构成一个新命题“ P与Q”，记作P∧Q，这个式子叫做命题P与Q的合取式。

?析取（或）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“或”将其连接起来构成一个新命题“ P或Q”，记作P∨Q，这个式子叫做命题P与Q的析取式。

命题演算中的“或”与日常生活中的“或”不完全相同。 ?蕴涵（如果┈，那么┈，或者若┈，则┈）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“如果┈，那么┈，或者若┈，则┈”将其连接起来构成一个新命题“如果P，那么Q，或者若P则Q”，记作P→Q，这个式子叫做命题P与Q的蕴涵式。

蕴涵式在逻辑上的用法与在生活中的用法也不同。 ?等价（当且仅当）：设P、Q表示两个命题，用逻辑联结词“当且仅当”将其连接起来构成一个新命题“ P当且仅当Q”，记作P←→Q，这个式子叫做命题P与Q的等价式。 等价式与等价关系不同，前者是用两个命题构造一个新命题；后者是指两个命题之间的关系。

四、命题演算

?复合命题的真假值可以由组成它的简单命题的真假值通过真值表演算获得。 ?命题演算中常用的等价式。

?数学中命题一般都可以写成假言式，即若P则Q的形式，其中P叫做命题的条件，Q叫做命题的结论。如果把它叫做原命题，通过对P或者Q的否定可以得到它的逆命题：若Q则P，否命题：若P则Q，逆否命题：若Q则P。这四种命题的关系是：P→Q≡Q→P，Q→P≡P→Q。已知其中一个，可以用命题演算获得另外三个。

逆命题的制作：若原命题只有一个条件和一个结论，那么将它们互换即可；若有m

个条件和n个结论，那么把条件的全部或者部分和结论的全部或者部分互换，可以得到

??Ci?1j?1mnmi在中学数学中一般只关心两类逆命题，把条件的全部和结论的全部Cnj个逆命题。

互换的逆命题和把相等的条件和结论互换的逆命题。

在制作逆命题时，要注意：（1）分清原命题的条件和结论；（2）互换条件和结论后

要适当修饰词语；（3）如果原命题的条件或者结论是由多个判断组成的选言判断，只能把它们看成是一个条件或者结论。

否命题的制作与逆命题的制作相类似，需要注意的是对含有量词的命题的否定，常用的等价式有：?x{P(x)}??x{P(x)}，?x{P(x)}??x{P(x)}。

逆否命题的制作有三种方法；（1）P→Q到Q→P再到Q→P；（2）P→Q到P→Q再到Q→P；（3）利用逻辑等价式推导。如：

?为了使命题更加简洁，需要将几个有关联的命题合并成一个命题。如3是质数和7

是指数就可以合并成一个命题3和7都是质数。合并命题也可以利用命题演算达到。

第一节 推理与证明

一、推理的意义和方法 ?推理是从一个或几个已知判断获得一个新判断的思维形式。其中已知的判断叫做推理的前提，获得的新判断叫做推理的结论。推理常用的逻辑联结词有：“因为?，所以?”，“由于?，因此?”等。 ?按照推理所表现的思维进程的方向性可以把推理划分为归纳推理、演绎推理和类比推理。

?按着推理的繁简可以把推理划分为简单推理和复合推理。复合推理是由几个简单推理组成的。 1． 归纳推理

?归纳推理是从特殊到一般的推理，既由几个单称判断或特称判断得到一个新的全称判断的推理。它可以进一步划分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

完全归纳推理是考察一类事物的每一个对象，肯定或否定它们具有某一属性，从而得到这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。采用完全归纳推理应注意：（1）研究对象的数量不宜太大，且要确知全部对象为何；（2）研究的属性应是这些对象所固有的、共同的本质属性。

不完全归纳推理是考察一类事物的部分对象具有或者不具有某一属性，从而作出这类事物都具有或都不具有这一属性的一般性结论的推理形式。它所得到的结论不一定可

靠，但它确是我们认识和研究的重要推理之一。 2． 演绎推理

?演绎推理是从一般到特殊的推理。用演绎推理获得的结论，只要前提可靠，结论就一定可靠。在演绎推理中，非常重要的一种是三段论。

所谓三段论是从某类事物的全称判断和一个特称判断得出一个新的，较小的全称或特称判断的推理形式。如：

∵菱形是平行四边形， ?????? 大前提 四边形ABCD是菱形， ????? 小前提 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ??? 结 论

在大前提和小前提中都出现的（如菱形）叫中项，一般用M表示；在大前提和结论中都出现的（如平行四边形）叫小项，一般用S表示；在小前提和结论中都出现的（如四边形）叫大项，一般用P表示。

在三段论中，大前提是全称肯定判断，结论就是特称肯定判断；大前提是全称否定

判断，结论就是特称否定判断。既：M是P，S是M，则S是P；M不是P，S是M。，则S不是P。逻辑表示为：[（M→P）∧S→M]→（S→P），[（M→P）∧S→M]→（S→P）。可以用真值表证明它们都是恒真命题。

?像三段论这样的蕴涵式恒真命题都可以作为推理规则。 3． 类比推理

?类比推理是从特殊到特殊的推理。既根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，进而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式。类比推理与不完全归纳推理一样，虽然获得结论不一定可靠，但确实我们认识和研究的重要推理之一。一般说来，相同或类似的属性越多，可靠程度越大。 二、证明的意义与方法

?在一门科学理论中，根据某个或某些命题的真实性来确定另一个命题的真实性的逻辑方法叫做证明。它由论题、论据和论证三部分组成。

?根据直接证明论题还是间接证明论题可以将证明方法划分为直接证法和间接证法。

直接证法是根据已知概念、真命题和本题的题设及推理规则直接证明本题结论的证明方法。

间接证法是不直接证明论题，而是通过证明反论题的虚假性，或者通过证明论题的等价论题，来确定论题真确性的证明方法。它可以进一步划分为反证法和同一法。当

证明论题P→Q时，不直接证之，而是把Q作为前提，加进原论题的前提，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论，或推出自相矛盾的结论，从而确立论题的真确性，这种证明方法叫反证法。同一法是通过证明论题的等价论题来证明原论题的证明方法。 ?根据思维时推理的顺序可以将证明方法划分为分析法和综合法。分析法是执果索因，由结论出发不断寻找论据，直至条件；综合法是由因导果，由条件出发，不断寻找结论，直至原论题的结论。 ?在中学数学中常用的证明方法还有逆证法和普通归纳法。

第五章 数学思想方法与中学数学教学

第一节 何谓数学思想方法

?数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识上被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。中学数学常用的数学思想有：数形结合思想、化归思想、分类思想、函数思想、极限思想、模型思想、统计思想、最优化思想等。

?数学方法是指在数学地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。中学数学中常用的方法有：穷举法、换元法、消元法、配方法、待定系数法、参数法、归纳法、反证法、分析与综合法、逆证法等。

?数学方法在实际运用时往往具有过程性与层次性的特点，并且层次越低，可操作性越强，层次越高，内涵越丰富。

?数学思想与数学方法是紧密联系在一起的。一般说来，强调指导思想时称数学思想；强调操作过程时称数学方法。

第二节 数学思想方法与中学数学教学

一、基本的数学思想方法 1．化归

?“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较容易解决或者已有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可得原问题A的解决。

?化归的一般原则是：化归目标简单化原则；和谐统一性原则；具体化原则；标准形式化原则；低层次化原则。

?化归的策略是：通过寻找适当的映射实现化归；通过语义转化实现化归；通过一般化与特殊化实现化归。 2．抽象

?抽象一般有两种理解：一种认为抽象是指从事物中区分出个别的非本质的属性特征和共同的本质特征的过程和方法（动词性）；另一种认为抽象是指用来形容那种偏离具体经验较远，因而不太容易理解的对象的一种程度词（形容性）。数学的抽象性是取它的形容性。

?数学的抽象是非常特殊的，具体表现在它的内容、程度和方法上。

?高度抽象不仅是数学的基本特征，也是数学发展的重要方法，同时也是数学应用（数学化）的基本方法，所有这些表明，具体——抽象——具体是数学教学的基本原则。 3．公理化 ?所谓公理化方法，是指从尽可能少的一组原始概念和一组公理出发，运用逻辑推理规则，将一个数学系统建立成为一个演绎系统的方法。如欧几里德几何就是一个用公理化方法建立的系统。

?在逻辑上，公理的选取要满足相容性、独立性和完备性。 4． 结构方法

?所谓结构是指在一个非空集合中，引进运算或变换，或元素间的某种关系。

?布尔巴基学派把数学的基本结构划分为三类：代数结构——运算，来自数量关系；序结构——先后，来自时间观念；拓扑结构——连续，来自空间观念。 二、中学数学中的数学思想方法及其对教学的启事

1． 从中学数学教学内容分析数学思想方法

?用字母代替数的思想方法； ?集合的思想方法；

?函数、映射、对应的思想方法； ?数形结合的思想方法； ?最优化的思想方法；

?统计思想和数据处理方法； ?分类讨论的思想方法； 2． 如何贯彻数学思想方法的教学

?充分挖掘教材中的数学思想方法

?有目的、有意识地渗透、介绍相应的数学思想方法

第六章 中学数学教学原则

第一节 教学原则概述

?根据教育、教学目的和对教学过程规律性的认识而制定的指导教学工作的基本要求。其中教学规律是指教学内部所包含的矛盾联系。基本要求是指教学原则所反映和处理的矛盾不是无限多的非基本的或局限的矛盾，而是一些基本的矛盾关系，带有普遍性，它制约着教学过程的各个方面和自始至终的整个过程。

?教学原则不同于教学规律、教学原理。

第二节 中学数学教学原则

一、严谨与量力相结合

?严谨性是数学的特点之一，其内涵主要是数学逻辑的严格性及结论的精确性，主要表现在：（1）概念（除原名）必须定义，（2）命题（除公理）必须证明，（3）每个数学分支所包含的概念和命题按着一定的逻辑顺序构成一个体系，（4）概念的陈述过程与命题的论证日益符号化、形式化。

?数学的严谨性具有相对性。 ?中学生的实际情况是：（1）对数学语言的理解和运用存在困难，（2）推理不严，（3）思考不慎密。

?严谨与量力相结合：（1）教学内容是科学的，思维要符合逻辑要求，（2）对数学严谨性要求只能逐步适应，严谨的程度应是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到。 二、具体与抽象相结合

?数学的研究对象是现实世界的量的关系和空间形式，其内容是极其丰富的，但为了在比较纯粹的状态下研究，才不得不把研究对象的所有其他特性抛开，而只抽象出数量关系和空间形式，这就是数学的抽象性。

?中学生抽象思维的局限：（1）过于依赖具体素材，（2）抽象与具体割裂，（3）抽象能力弱，（4）对抽象结论间的关系掌握不好。

?具体与抽象相结合：（1）从具体到抽象，再从抽象到具体，循环往复，才能认识不断提高和深化，（2）恰当使用具体材料。 三、巩固与发展相结合

?知识的掌握包括四个层次：感知、领会、巩固、应用。 ?巩固是指巩固知识，在这方面，记忆起着重要的作用，提高记忆力的基本途径为：（1）使学生加深对知识的理解，（2）将逻辑记忆与形象记忆结合起来，（3）通过对照、比较、系统整理促进记忆，（4）记忆与再现结合起来。

?发展是指发展思维能力。发展思维能力可以从以下几方面考虑：（1）明确思维的目标和方向，（2）为思维加工提供充足的原材料，（3）发展思维形式，（4）教给学生正确的思维方法。

?巩固与发展相结合：（1）面向全体学生，让学生领会基本的数学思想方法，（2）复习题的选配要着眼于发展学生的思维和培养学生的能力。

第七章 中学数学教学方法

第一节 中学数学教学中常用的教学方法

一、教学方法与数学教学方法

?对于教学方法的本质，我们从以下几个方面认识：

教学方法不同于教学工具或手段； 教学活动的双边性；

教法和学法相互联系和作用。

?教学方法是指在教学活动中，为达到教学目的，完成教学任务，实现教学内容，运用教学手段而进行的，在教学原则指导下的，一整套方式组成的，师生相互作用的活动。

?数学教学方法就是根据数学学科的特点，在数学教学活动中，为实现教学目的，完成教学任务，运用适当的教学手段而进行的，师生相互作用的活动。 二、中学数学教学中常用的教学方法 1． 讲授法

?讲授法是教师通过语言，系统地讲述教学内容的一种教学方法。

?特点：教师作系统、概括、重点深入的启发性讲解，学生集中注意力倾听教师的讲述，并认真思考教师提出的各种问题，适当地记笔记。

?优点：保持教师讲授知识的主动性、流畅性和连贯性，时间易掌握，教学进程易控制。 ?缺点：难以及时准确地了解学生对知识理解、掌握的情况，不宜因材施教。

?对教师的要求是：讲授知识应科学、系统、深刻，具有启发性、针对性，语言要通俗易懂、生动活泼、直观形象、引人入胜。

?对学生的要求是：具有较强的理解能力，能够长时间地保持注意力的集中，善于从老师的讲述中选择要点记下笔记。 2． 问答法（谈话法）

?问答法是教师通过问答、谈话的方式进行提问、启发学生积极思考，从而使学生自己获得新知识的一种教学方法。

?特点：师生的对话。

?优点：突出教学的双边活动，有利于促使学生积极思考，努力进取。 ?缺点：时间不易掌握，运用不好会影响教学计划的完成。

?对教师的要求：设计好问题系统，善于应变，善于引导，面向全体学生，防止形式主义谈话，同时应鼓励学生互相提问和向教师提问。

?对学生的要求：积极参与，积极应答，不怕出错，有错就改。

3． 指导作业法

?指导作业法是在教师指导下，通过学生独立作业来掌握知识的一种教学方法。 ?特点：充分体现学生是学习的主体。

?优点：可以培养学生的研究能力和养成认真钻研课本的好习惯。 ?缺点：时间不易掌握，运用不好会影响教学质量。

?对教师的要求：课前准备一套由易到难、适合学生情况的问题。 ?对学生的要求：积极思考，独立完成作业，具有一定的钻研能力。 4． 教具演示法

?教具演示法是教师通过展示各种实物、模型、图片、直观教具或者幻灯、录象、计算机演示等，让学生通过观察获得感性认识的一种教学方法。

?特点：将抽象理论具体化。

?优点：使抽象理论具体化，有利于培养学生对数学的兴趣和抽象能力。 ?缺点：教具如果制作的不好，会分散学生的注意力，影响教学质量。 ?对教师的要求：制作教具要突出主题，大小适当。

?对学生的要求：认真观察，具有一定的观察能力和抽象概括能力。

第二节 数学教学方法的改革与发展趋势

一、数学教学方法改革与发展的特点和主要趋势

?确立综合发展的观念

?重视教学活动的最优设计

?心理学的研究成果被广泛运用于数学教学中 ?各派教学理论呈现出相互渗透、相互影响的趋势 二、介绍几种现代数学教学方法

?引导发现法：是教师根据教学内容的特点以及学生的基础，将教学内容划分为若干个“再创造”的发现过程，引导学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论等积极主动的思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法的一种教学方法。这种教学方法的教学模式是：创设问题情境——推测结论、探索解法——交流和小结——运用。

?单元教学法：是知识结构为标准，将教学内容组织和划分成单元，并按教学单元进行教学的一种教学方法。这种教学方法的教学模式有两种：一种是将一个单元的教学过程分为四个步骤来完成，这四个步骤是自学探究、重点讲授、综合练习、总结巩固；另一种是将一个单元的教学内容分为六种课型来完成，这六种课形是自学课、启发课、复习课、作业课、改错课、小结课。

?分层教学法：针对教学班内不同水平的学生，提出相应的教学目标，创设相应的教学情境，使得各层次的学生都能够经过努力得到最优发展的一种教学方法。运用这种教学方法一般可以采用以下策略：激发学习动机、提高参与意识、及时反馈调控、适时动态评价。运用分层教学法应注意：客观地把握学生的层次，科学地制定教学目标，灵活地选择教学方法，有效地组织教学环节。

?研究法：教师先根据教学内容和教学目的，提出富有思考性的题目和研究要求，然后放手让学生思考、探索、研究，得出初步的认识、理解、判断和概括，最后再由师生共同归纳、总结的一种教学方法。研究法对教师和学生的要求都很高，它要求教师有较高的数学素养和教学组织能力，要求学生有一定的自学、阅读能力，还要求教学内容有丰富的思维素材和研究、探索的“空间”，班级有比较浓厚的探索气氛等等。

第三节 教学方法的选择

?????

教学方法的选择要考虑中学教学目的

教学方法的选择要符合具体的教学目标要求和教学内容的特点 教学方法的选择要符合学生的实际情况

教学方法的选择要考虑教学方法的特点，将各种教学方法有机地结合起来 教学方法的选择要考虑教师的自身情况

第八章 数学学习过程的心理分析

“我听到了，但是我忘记了；我看到了，我记住了；我做了，我理解了。”

——中国古谚语。

第一节 学习与数学学习

一、什么是学习

?对学习的有广义与狭义之分。广义的学习是指有机体凭借知识经验的获得而产生的比较持久的行为变化。但不是所有的行为变化，只有积累知识经验基础上的行为变化才是学习。人的学习与动物的学习不同，人的学习往往是有目的、自觉积极主动的过程。狭义的学习是指学生在学校里的学习，是学习的一种特殊形式。

?学生学习的特点：（1）学生的学习是在人类发现基础上的“再发现”，这不同于一般的人类发现；（2）学生的学习是在教师的指导下有目的、有计划、有组织地进行，是学生积极主动的探究过程；（3）学生的学习依据一定的课程和教材进行。 二、数学学习

?“数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学”。

?学生的数学学习就是对客观现实的数量关系和空间形式的能动反映过程，是在学校教育环境中，根据数学教学计划和教学目的，由于个体经验的获得而产生的比较持久的行为变化过程。

?数学学习的特点：（1）数学学习对抽象概括能力要求比较高；（2）数学学习与逻辑和思维的关系极为密切；（3）数学学习中“再创造”要求比其他学科高；（4）数学学习中教师的主导关键在于“点拨”和“引导”。 三、学习理论对数学学习的启示 1.刺激反应学习理论

?桑代克的联结主义试误说认为学习的实质是建立直接的刺激、反应的联结而不是以思考或者推理为媒介。他提出了“三条学习定律”：准备率、练习率、效果率。这种理论对数学学习的启示是：（1）学生的数学学习在一定程度上表现为“尝试——错误”的过程，只是这个过程是有目的、有意识的；（2）“三条学习定律”对当前的数学学习研究很有启示。

?斯金纳的操作性条件反射理论继承和发展了桑代克的联结主义试误说，提出了“刺激——反应——强化”的学习模式，他倡导学习分小步走、及时反馈、学生可以自定步调等。对数学学习有指导意义。

刺激反应学习理论主张学习的结果引起行为的变化，他们提出了学习的四个基本要素：内驱力、线索、反应和奖赏。

2.认知学习理论

?早期认知学习观

格式塔学派学习观认为学习不是盲目地不断尝试，而是对环境整体和关系做了仔细了解后的豁然开朗，突然领悟，又称为“顿悟说”。这种学派强调学习者对学习情境整体的认识。

托尔曼的认知理论认为学习的实质是有机体形成一定的认知地图（既认知结构），而不是形成刺激与反应的直接连接。他提出在刺激与反应之间的变量之一就是学习主体的“内在机制”，包括学习目的、期望、需要、兴趣等，这些对学习个体的反应起着较大的调节和控制作用。

?现代认知学习观

布鲁纳的认知—发现学习理论对数学学习的启示：（1）数学学习的建构性；（2）根据学生的不同智力发展水平，采取不同的数学符号体系；（3）主张数学学习中比较和变式原理的运用；（4）主张数学学习要注意知识之间的关联，要把各种概念、原理联系起来，在统一的系统中学习，要善于发现数学结构间的联系与差别。

奥苏伯尔的认知—接受学习理论对数学学习的启示：（1）数学学习要在学生已有知识结构和认知水平上才能顺利进行；（2）数学学科的特点要求数学学习的连续性和系统性更为突出；（3）接受学习并不意味着一定是机械学习，也可以是有意义学习，数学学习不能都是发现式的，也不能全都是接受式的，关键在于是否进行了有意义学习。

?建构主义学习观 建构主义认为，建构是主体对客观事实进行思维改造，在心理上形成对客观事实意义理解的过程。认识是个体独特构造活动的结果，每个人是以自己的经验为基础来构建其理解的，所以不同的人对同一客观事实有不同理解。而个体在建构过程中，通过各种实践活动，与外界不断进行交流，不断调整自己的认识建构活动，使自己的认识逐渐趋于客观事实，从而形成相对正确的认识，所以个体之间又互相理解，形成大体相同的理解。

建构主义学习观对数学学习的启示：（1）由于数学的对象主要是抽象的形式化的思想材料，数学活动也主要是思辩的思维活动，所以学习者要调动自己的注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和语言能力等的积极主动的智力参与过程，是对外界信息主动加工过程，是观察、分析、对比、综合、抽象和概括以及推理论证等的过程；（2）要重视学生在数学学习活动中的过程体验；（3）提倡数学学习中的交流与合作，鼓励创造相互交流的学习氛围。

第二节 数学学习过程

一、数学学习过程分析

?学生数学学习是在已有知识、经验背景基础上，联系周围生活现实，从现有认知水平出发，积极主动的独立获取信息的过程。

?学生数学学习的信息加工过程，实际上是数学认知的过程，既新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。

?数学学习过程涉及一系列的心理活动规律，如感知规律、记忆规律、迁移规律等。 二、数学学习动机问题

?学习动机一般指学习活动的动力因素。可划分为三种：推力、拉力、压力。推力是学习主体发自内心的对学业成就的追求，是学习的内部驱动力。拉力是基于外界环境（如学位、社会地位等）的吸引而产生的对学习活动的追求，是学习的外部驱动力。压力一般指客观现实对主体的要求（如考试、竞赛、家长的要求等），它迫使主题从事学习活动。

?数学学习动机一般指数学学习活动的动力因素。

?学习动机之所以影响学习效果，是因为它直接制约学生学习的积极性。它由问题情境

激发，作用于学习活动时，降低效应。

?归因理论与数学学习动机：归因理论也称为成就归因理论。是对学习结果的原因进行分析，从而对学习动机的激发起作用的理论，既是一门引起动机的理论。

?心理学家韦纳认为，学生主要用四个原因来解释自己学习的成功或者失败：能力高低、努力程度、任务难易、运气好坏。

?学习动机的激发：（1）从学生渴望解决的实际问题出发提出新的知识课题；（2）通过指出学生知识上的片面性或不完备性从而引进新的知识课题；（3）揭露矛盾，引发学生争论；（4）启发思考，发现规律。

第九章 数学概念、命题、例题的教学

第一节 教学过程是特殊的认识过程

一、教学的实质

?我国教育家王策三先生认为：“所谓教学，乃是教师教、学生学的统一活动，在这个活动中，学生掌握一定的知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成一定的思想品德”。

?美国教育心理学家加涅认为，教学是“以一系列交流为最突出的特征。”“构成教学的交流信息具有辅助学习这一目的，也就是说，旨在帮助学生从一种心理状态达到另一种心理状态。”“一节课上的交流是为了促进学习，偏离了这一目标就成了纯粹的闲扯。”教学即包括教的方面，又包括学的方面，忽视哪一方，或过分强调哪一方都是不正确的。

?教学永远包括教和学，教师教与学生学是教学的两个侧面，它们在教学中不是简单的相加，而是辩证统一的关系，离开了教，学就不能存在；离开了学，教也不能存在。因此，忽视了任何一方，双方都受到影响，教学也就不能获得好的效果。 二、教学过程是一种特殊的认识过程

?教学过程是一种认识过程。

?教学过程是学生主体的认识，与其它认识过程相比有其特殊性，表现在间接性、领导性和教育性三个方面。

第二节 数学概念的教学

一、数学概念教学的基本要求 ?使学生明确概念的内涵、外延，熟悉概念的表达。 ?使学生了解概念的来龙去脉，能够正确地运用概念。 ?使学生了解概念间的关系，会对概念进行分类，从而形成概念体系。 二、数学概念的教学过程 ?生动恰当的引入概念：（1）以学生的感性认知为基础引入概念；（2）在学生已有知识基础上引入概念，如通过与已掌握概念类比引入概念，通过对已掌握概念一般化或者特殊化引入概念，通过运算引入概念，通过揭示概念的发生过程引入概念，从需要引入概念，等等；（3）开门见山引入概念。 ?明确概念：（1）正面揭示概念的本质属性，准确地给概念下定义，（2）充分揭示概念饿内涵与外延，（3）分清容易混淆的概念，讲清概念的确定性和某些概念的发展与深化。 ?巩固概念：（1）当堂巩固，（2）及时复习，整理所学概念，将概念纳入概念体系中。

?灵活运用概念。

第三节 数学命题的教学

一、数学命题教学的基本要求 ?使学生深刻理解数学命题。 ?使学生了解命题的来龙去脉，能够灵活运用命题解决问题，从而发展思维。 ?使学生了解相关命题之间的内在联系，对某些命题能作适当的推广，做到掌握命题的体统。

二、数学命题的教学过程

1．公理的教学过程与概念的教学过程相似，重要的是让学生理解公理的真实性，为此，教学中可以采用如下手段获得公理：从学生熟悉的事例归纳出公理；或者在学生实践的基础上归纳出公理。

2．定理的教学过程 ?引入定理：（1）先进行实习作业，然后观察实习结果，总结出定理；（2）先组织学生演算和推理，然后归纳出定理；（3）通过做直观图形，分析图形结构得出定理；（4）通过回忆概念的定义，用简单推理获得定理；（5）通过回忆命题的关系，由一个命题得出其他三个命题或更多命题；（6）通过对定理的推广或限制引出定理。

?明确定理：从定理的条件、结论、适用范围、符号表示几个方面考虑。在确定定理的条件时要注意两类命题，一类是简化式命题，一类是有多个结论的命题。

?证明定理。 ?巩固定理：（1）当堂巩固；（2）及时复习，整理所学定理，将定理纳入定理体系中。 ?灵活运用定理。

第四节 数学解题的教学

一、数学解题的作用 ?数学解题有助于加深对基础知识的理解，有助于牢固掌握所学知识系统，有助于逐步形成和完善合理的数学认知结构。 ?数学解题有助于培养学生良好的思想品德和个性品质。 二、解题教学的基本要求 ?使学生思维严密，具有自我判断能力，迅速确定解题策略； ?使学生能够用数学语言准确表达自己的思维活动； ?使学生能够准确地运算、标准地作图； ?使学生养成解题前仔细审题、解题后认真反思的好习惯。 三、解题的教学过程 ?与学生共同审题，使学生懂得审题的重要性，并养成仔细审题的好习惯；

?引导学生分析解题思路，发现解题规律，寻求解题途径； ?用数学语言准确地表达思维过程；

?解题后引导学生对解题过程回顾与探讨，分析与研究：（1）检查结果的正确性，推理的有据性，答案的详尽性；（2）讨论解法；（3）推广结果。 四、合理控制学生的解题活动 ?创设情境，启迪思维，指明方向，引导学生主动、独立地进行数学解题活动；

?向学生提供功能特征显著，具有代表性的数学问题。

第十章 中学数学教学工作

第一节 课前工作

?为了上好课，教师在课前要进行一系列准备，这些课前工作统称为备课。 ?备课工作包括：（1）学习教学大纲，钻研教材和参考资料，做到a.明确教材的地位与作用，b.确定教学目标，c.掌握教材的重点、难点和关键，d.备好习题；（2）深入了解学生的实际情况，包括了解学生的思想状况、学习水平、心理特点等；（3）恰当选择教学方法；（4）制定教学计划，包括学年教学计划、学期教学计划、单元教学计划和课时教学计划。课时教学计划又叫教案，一般包括教学课题、教学目的、教学方法、教学过程、教学后记等环节。教案有三种形式：详案、略案和提纲。

第二节 课上工作

一、数学课的类型 ?根据教学目的的不同可以将数学课划分为新授课、练习课、复习课、测验课、讲评课、讨论课、实习课等。 二、数学课的基本要求

?教学目的明确具体 ?合理安排教学内容

?激发学生学习的主动性和积极性 ?教学基本功要求 在语言方面：（1）具有科学性；（2）具有启发性；（3）通俗易懂；（4）生动活泼，形象有趣。

在板书方面：（1）具有计划性；（2）具有示范性；（3）条理清楚；（4）具有启发性；（5）便于学生记忆；（6）前后照应。

第三节 课外工作

一、课外辅导

形式有集体辅导和个别答疑两种。 ?集体辅导必须在教师充分了解学生普遍存在的知识缺陷的基础上才能进行。集体辅导的次数不能太多，不能变成习题课，不能是课堂教学的简单重复。

?个别答疑要针对不同学生采用不同的方法。对学习落后学生要先搞清他落后的原因，这样回收事半功倍的效果。 二、数学课外活动的组织与指导 ?课外活动的目的：（1）发展学生的智力，激发学生对数学的兴趣；（2）扩大学生的知识范围，开阔学生的视野；（3）发展学生的数学才能，培养学生一定程度的科学研究习惯，培养较高的数学思维能力和创造才能；（4）发展学生独立钻研数学读物的能力，应用数学知识的能力；（5）培养学生用数学进行交流与合作的精神，密切教师和学生的联系。

?课外活动的内容：（1）数学专题讲座或读书报告会；（2）数学竞赛；（3）数学游艺，数学晚会；（4）数学演讲；（5）数学墙报。

?组织数学课外活动要注意：（1）使学生感到兴趣；（2）使学生明确活动的目的和注意事项；（3）选出组长，制定活动计划，确定小组成员的权利与义务，分配任务；（4）小组活动不易安排过多，一周一次为宜；（5）开展课外活动要课内、课外互相呼应，要有助于课堂教学质量的提高，有助于学生数学能力的提高；（6）如果成绩落后的学生愿意参加小组活动，只要是他们力所能及的，就应该表示欢迎，教师应更加细心对待他们，使他们通过活动增加对数学的兴趣。

第四节 数学教学研究

一、数学教学研究与数学教学的关系 ?从教师日常工作来看

?从提高教学质量来看 ?从数学教育的特点来看 二、数学教学研究工作 ?根据研究的目的的不同可以将数学教学研究工作划分为具体内容的研究工作和专题研究工作，但二者没有严格的界限。

?具体内容的研究工作是为某一具体内容教学服务的。可以个人研究也可以集体研究。集体研究又可以划分为集体备课和观摩教学两种形式。集体备课一般安排在学期前、章或单元前、关键内容前等，目的是集思广益，共同讨论和研究教学中有普遍性的问题，保证教学工作有计划、有目的地进行。观摩教学的一般程序是：准备——听课——评议。准备环节包括确定主讲人、确定教定教学内容、集体备课、编写教案；听课教师应本着学习的精神参加观摩，评议会的主要过程是先由主讲人做自我分析，再由听课教师发表意见进行讨论，最后由主持人总结。

?专题研究工作是指数学教学理论专题研究，它不仅为某一个具体内容教学服务，而且对整个教学有理论指导意义。专题可以从数学教学实践中提出，也可以从理论文献中提出。 三、数学教学研究的方法

?理论研究的方法 ?历史研究的方法 ?个案研究的方法 ?实验研究的方法

第五节 数学教学评价

一、教学评价的意义

?教学评价是指在教学过程中有目的、有计划地观察、测定学生在学习活动中的种种变化，据此，对照教学目标，对教学效果，学生的学习质量以及个性发展水平作出科学的判断，进而调整、优化教学过程的教学实践活动。

?中学数学教学中常用的教学评价可以划分为诊断性评价、形成性评价和终结性评价。 ?教学评价的几个问题：（1）指标体系科学化问题；（2）教学评价为改进教学的思想有待加强；（3）对非智力因素的评价还缺乏有效的措施。 二、标准化考试

?标准化考试是指按系统科学的程序组织考试，具有统一的标准，并对试题误差作了严格的质量控制的考试。

?标准化考试的优点：（1）试题取材广泛，容量大，可以全面考察学生的学习质量；（2）

考题较小，解答节省时间；（3）可以测试学生对概念、原理的鉴别性和清晰性，以及对概念、原理的理解；（4）答案、评分标准唯一，增加了考试的客观性。

?标准化考试的缺点：（1）不利于考察学生的推理论证能力和探索精神；（2）对具有谈论性的问题或者涉及多种方法解答的问题不好处理。 三、评价试题的四项指标

1．平均分：是反映考生整体学习水平的指标。计算公式为：

X??Xi?1NiN；

X——该题考生平均分，Xi——第i名考生该题得分，N——考生人数。

2． 标准差：是反映考生分数的离散程度的指标。由标准差可以看出考生之间水平的差异。

计算公式为：

S??(Xi?X)2N；

S——该题的标准差，Xi——第i名考生该题得分，

X——该题考生平均分，N——考生人数。

3． 难度：是反映试题难易程度的指标。

数学试题有两种：二分法记分试题与非二分法记分试题。 二分法记分试题难度计算公式为：

P?R； NP——该题的难度，R——答对人数，N——考试人数。 非二分法记分试题难度计算公式为：

P?X； XX——该题考生平均分，X——该题满分。

由此可见，P的值在0与1之间，P越大，试题越容易。

4． 区分度：是反映试题对不同考生学习水平的鉴别程度的指标。区分度数值越大，对考生的区别能力越强。计算公式为：

D?XH?XL； XD——该题的区分度，XH——高分组该题平均分，XL——低分组该题平均分，X——该题满分。

或者： D?N?XiYij??Xi?YijN?X?(?Xi)2i2N?Y?(?Yij)2ij2；

N——考生人数，Xi——第i名考生所得总分，Yij——第i名考生第j题得分。

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