就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系 物理学

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就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系 学生姓名：张艳娇 指导教师：肖青老师 所在学院：物理学院 所学专业：物理学 中国·长春 20 13 年 5 月

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目录

就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系············································1 目录··········································································2 摘要··········································································3 关键字·······································································3 Abstract······································································4 Keywords ·····································································4 引言··········································································5 混沌的介绍····································································6 定义········································································6 特征········································································6 分形介绍······································································7 数学定义·····································································7 几何艺术美···································································8 康托尔集中的混沌与分形·······················································11 介绍·······································································11 康托尔三分集构造····························································12 性质特点····································································12 结束语·······································································13 参考文献·····································································14

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摘要

混沌与分形的理论研究已成为21世纪一个具有明确研究对象和基本课题、独特的概

念体系和方法论框架的学科。随着各个科学方面相关理论的不断完善，有关混沌、分形的理解和研究也更加深入。混沌与分形理论的关系十分密切，混沌中有时包容有分形，而分形中有时又孕育着混沌。分形注重几何形态或几何特性，几何图形的描述，更看重有自相似性的系统而混沌更偏重数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述研究并且混沌涉及面似乎更广，对所有的有序与无序，有序与有序现象都感兴趣。但是，目前在世界上要较详细、较系统地阐明分形与混沌的关系及差异，还是比较困难,还有待混沌与分形理论进一步的深入研究拓展，完善和趋细。而康托尔集是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质，且既能产生混沌又具有分形特征，通过考虑这个集合，我们可以很好的把混沌、分形统一起来。

关键词：混沌理理论、分形理论、康托尔集

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Abstract

Research on chaos and fractal in 21st century has become clear the object of study and basic subjects, a unique system and methodology framework of the concept of disciplines.With the continuous improvement of all scientific theories, the understanding and study on chaos and fractal more in-depth. Chaos and Fractal theory is very closely related, sometimes, a fractal inclusion in the chaotic and sometimes bred in the fractal chaos.More about geometry or geometry of fractal characteristics, describes the geometry and more a system of self - similarity and Kinetics and dynamics of chaotic more mathematical and graphic description of the multidimensional study on the integration and chaos which seems to be more widely of all ordered and unordered, ordered and ordered interested in.However, at present, to be more detailed than the system to clarify the relation and difference of fractal and chaos, and difficult it remains to be seen further into chaos and Fractal theory to expand, improve and become light.While the cantor set is a collection of some of the points are located on a line segment with many significant and profound in nature, and can produce chaotic and fractal characteristics, by considering this collection, we can unify great chaos and fractal.

Keywords : Chaos Theory and Fractal theory, Cantor set of points

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引言

混沌与分形理论的产生不仅促进了非线性科学的诞生,还更多的涉及到了其他学科。在

不断的研究混沌与分形理过程中发现了一些重大发现, 这些重大的发现不仅开拓了科学家们的视野和思路, 同时又带来了一些未知的问题。混沌和分形理论的建立，进一步改变了人们对这个世界的看法，混沌与分形把简单与复杂、有序和无序、稳定与不稳定、确定和随机等矛盾体统一在了一幅美丽的自然画卷里。混沌理论与分形的近代研究，已经应用到了各个领域， 它们从另一极端对传统科学提出了严峻的挑战，同时又给传统科学提供了天然的弥补和深刻的启示，启发着新时代的科学家不断不断与时俱进！

面对新时代和新形势，混沌与分形已经变成一项代表重塑科学体系的狂飙运动，混沌与分形理论正在21世纪科学界蓬勃发展着，它们将会开启世界科学的新纪元。

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混沌的介绍

定义

布莱克在《混沌开创新科学》中写到：“相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了决定论可预见性的狂想。”更有人说21世纪的科学家只有三件事将被记住:相对论、量子力学和混沌！何为“混沌”？普通意义上，混沌只是意味着混乱、无秩序,而在非线性动力学系统中, 混沌一词则有更精细的意义。 目前在不同的学科领域里对混沌理论有着不同的理解和表达方法，体现出了在各自领域中的应用特点。 最早创立混沌理论的气象学家洛伦兹认为：混沌系统是指敏感的以来于出事条件的内在

[1]

变化的系统，对于外来变化的敏感性本身并不意味着混沌。陈宁等人认为，如果一个系统：有对初始条件的敏感依赖性（2）是拓扑传递的（3）在出现混沌的区域内有稠密周期点。那

[2]

么这个系统就是混沌。

目前为止，混沌的定义没有严格定义，在这里就不再赘述。

特征

混沌理论是近代非线性动力学中重要的组成部分，虽然混沌的定义繁多复杂，但是混沌还是有自己的与其他非线性系统所没有的一些基本特征，从而我们可以更好地了解什么是混沌。混沌特征具体表现如下：

对初始值的敏感依赖性

混沌系统具有对初值的高度敏感性。初始状态失之毫厘，最终状态会谬以千里，出示状

[3]

态微小的差别随系统的演化越来越大。换句话说，初值上非常小的变化会导致完全不同的结果。

著名的“蝴蝶效应”。1972年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：“在巴西的一只蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一场龙卷风”。这句话的意思是说任意一个微小的扰动可能会引起世界另一边天气的变化，这种微小的扰动如同蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。这一现象的指出就是对混沌对初值敏感性依赖的最好的诠释。即蝴蝶效应是

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区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。

整体稳定而局部不稳定

由于混沌系统中轨道之间的指数性分离，导致了混沌系统的不稳定性。且在这种变化中造成了系统得能量的耗散，也就造成了系统运动轨迹需要向吸引子方向收缩。所以，为了要同时满足发散与收缩这两个动作，那就只有通过拉伸与折叠来实现了。这种拉伸与折叠的操作却保证了系统整体的稳定性。就像揉面团，它很好地解释了这一现象：经过多次的拉伸与折叠后，面团中的碱粉和面团就会充分地混合在了一起，从而导致碱粉的轨道非常混乱，即无处安家却又跑不出去。

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奇怪吸引子

对吸引子独特性质的分析研究，可以使我们了解系统作混沌运动时的一些特别性质。奇怪吸引子又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合，它常常隐藏与混沌现象的背后。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期

[5]

性。混沌轨道就运行在该吸引集中。严格说，混沌吸引子与奇怪吸引子两概念之间还存在一定的区别。奇怪吸引子是指结构具有自相似性，就其静态性质来说的。奇怪吸引子将混沌

[6]

运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生的现象。在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。不过连续流是固定在一个有

[7]

界的区域内，这种伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇怪吸引子上产生混沌运动。

分形结构和无限自相似

混沌运动的吸引子有复杂结构，其中的轨道并没有填满整个收缩区，混沌轨道遍布空间中的每一个地方，由于轨道不会相交（混沌系统轨道方向的唯一性，相邻轨道不会相交），所以轨道间会存在间隙。仔细的分析考察轨道，放大轨道的任一小部分，都会呈现出与整体相似的图像，也就是混沌的无限自相似性质。拉伸变换可以使混沌的轨道在空间中密集和遍历，折叠变换可以使吸引子具有层次结构。因此吸引子的层次结构为分形，混沌系统的维数为分维。

分形的介绍

数学定义

分形并不是分形理论产生后才出现的形态，而是在自然和艺术设计中本身就普遍存在

着的，所以分形几何亦被称为“大自然的几何学”。分形一词是芒德布罗于20世纪70年代创造的，表示支离破碎之意。芒德布罗当时只着重从支离破碎（空缺不完整）来理解分形，着重从分形结构的位数取值来定义分形。而后，法尔科内总结了芒德布罗等人的工作后曾提出：

分形集的集合特征主要在两个方面：其一是这种集合在其几乎每一点的每一个领域内，点的分布是凌乱散落、疏稠无归的；其次是这种集合在其几乎每一点都是没有切线的。

之后，芒德布罗于1986提出了关于分形的较新的定义： （1） 分形集具有精细的结构，即有任意小比例的细节；

（2） 分形集是如此的不规则以至它的整体和局部不能用传统的几何语言来描述； （3） 分形集通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的；

（4） 一般的，分形集的分形维数（以某种方式定义）大于它的拓扑位数

（5） 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集常以非常简单的方法定义，可能由迭代

产生。

至今，分形仍没有准确的数学上的定义，只有描述性定义。如今在科学中分形经常以两种不同的方式出现：（1）作为研究不规则过程和形式的一种描述性工具；（2）作为内在混沌动态的一种数学推论。所以，分形的研究一直被各个领域的科学家重视着！

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分形几何艺术美

分形几何具有高度自相似和分维两大特征，它们也正是分形艺术区别与其他艺术的两

大特色，最初这两大特点也都是从几何学的角度提出的。分形的特点主要值得深究的是它的无穷层次的自相似性，即在整体中取出的部分与整体高度相似（部分与整体的关系一直是视觉艺术探讨的重要问题）。这一特点在大自然中有很多例子，在生活中也有很大的应用空间，许多的科学家为分形艺术美而惊叹不已！

下面几种典型或理想的分形结构，让我们一起感受分形所到来的独特美感！

（1）康托尔三分集

是康托尔1883年首先提出的一种最简单的一维空间的自相似结构：取一直线，把它平均分为3份，然后去掉当中一段······如此不断做下去，留下的所有线段就构成了所谓

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的康托尔三分集（如下图所示）。康托尔集构成了一个无穷层次的自相似结构。

康托尔三分集

（1）席尔宾斯基地毯（席尔宾斯基垫片与之相似）

一正方形，等分为9个小正方形并挖去其中间的1个，把剩下的8个正方形的每一个再等分为9个更小的正方形并挖去其中间的1个······如此继续下去，最后也得一个无穷

[9]

层次的自相似结构（如下图所示），称为席尔宾斯基地毯。

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席尔宾斯基地毯

（3）门杰海绵

与构造席尔宾斯地毯类似，由平面发展到立体。将一正方体等分为27个相等的小正方体，挖去每个表面层中间的小正方体（共6个）以及正中间的一个······继续下去，自然得到

[10]

一个自相似结构，如下图所示，这就是门杰海绵。

门杰海绵

（3）科赫曲线和科赫雪花

取一直线段，将它三等分（当然可采取其他分割方式），将中间段作为一等边三角形的两新底边，但只保留边而去掉此底边。表留的两等腰边与原来两侧的线段连起来构成一折线。对此折现的每一段采用同样做法，······如此不断下去，最后得到的折线便称为科赫曲线。

同样，从一等边三角形出发，在它的每一边中间加一边长为原三角形边长的3的小三角形，这样便形成一对称的六角形。再对此六角形的每边以同样方式增加一个小三角形，如

[11]

此继续下去，便得到一个周边具有自相似性的结构，这就是科赫雪花图案。

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科赫曲线

科赫雪花

[12]

混沌分形图形所呈现的无穷玄机和美感引发人们不断去探索，不断的学者为之感动。

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就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系

20世纪在70年代分形和混沌是两个完全风马不相及的理论，但是随着专家学者的不断研究，发现两者应该存在有很大的内在联系，而后，混沌与分形的内在联系就成为了科学界的一大研究论题。

分形与混沌有着不同的起源，但在非线性科学中又都是非线性方程所描述的非平衡的过程和结果。分形是一种非线性条件下的几何图形，混沌是非线性条件下的奇特现象，二者的联系就是非线性条件下的数形结合，它们就像数学中的代数和几何的关系，这表明它们有着

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共同的数学祖先——动力系统。

分形起源于对不规则集合的研究，而混沌着重于非线性动力系统的研究，简而言之分形是从几何学入手，混沌是从物理学角度理解的。但是他们又有着必然的联系，混沌在研究非线性动力系统不稳定的发散过程中，总是收敛于一定的吸引子，这一过程与分形的形成过程极其相似，而分形是研究吸引子的空间结构。混沌吸引子与分形都具有自相似性，可以看出两者是从不同角度来研究同一问题的。

什么样的混沌过程产生了分形？一直都是现代数学家思考的难题。

下面引入最基本的一维空间自相似结构的康托尔集来说明只要某映射的图像是分形，可

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以导出这个映射一个混沌的，来进一步观察混沌与分形的内在联系。

康托尔集介绍

康托尔集，是由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1878年发现，由德国数学家在1883年引入的。康托尔集是一条线段上的无穷点的集合，图形看似简单但却具有许多显著和深刻的性质。最常见的点集是康托尔三分集：不断去掉一条线段的中间的三分之一而得到。这个无处稠密的完备集的例子，为现代点集拓扑学奠定了基础。 下面详细讲解一下康托尔三分集的构造：

康托尔三分集构造

,2???13，3???，留剩下的取一条长为1的线段[0,1]，将它平均三等分，去掉中间一段开区间

,1?2?0，13???和3，两段闭区间?，再将剩下的两段再分别三等分，去掉中间一段，剩下比刚才

更短的四段，将这样操作一直进行下去，直到无穷，在不断的分割与舍弃过程中，形成的线

段越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，将会得到一个离散的点集，称为康托尔三分集。通过仔细观察康托尔三分集的图形可知：此点集的极限图形长度区域0，线段的数目趋

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于无穷大。假设经过n次分割错作后 得到边数为N：2n

??2?n?得到边长为L：3

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得到康托尔点集分数维D=0.631 （根据公式N(L)=1/DL）

康托尔三分集图形

从图形上可观察到，康托尔三分集具有精细的结构，具有分形特性。

康托尔集的性质特点

通过研究康托尔三分集的图形我们发现：康托尔三分集中有无穷多个点，此点集具有

高度自相似性，局部与整体相似，是一个分形系统。 因此，研究者经过分析研究总结了康托尔三分集具有 （1）自相似性 。 （2）精细结构 。

（3）无穷操作或迭代过程

（4）传统几何学陷入危机。因为它既不满足某些简单条件点的轨迹，也不是任何简单方程的解集，所以用传统的几何语言难以描述。局部同样也难于描述，因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点的存在。 （5）长度为0 。

[16]

（6）简单与复杂的统一 。

我们知道， 产生混沌现象的必备三个条件：对初始条件的敏感依赖性、具有拓扑传递兴致、周期点的稠密性。最简单的一维自相似结构康托尔集符合产生混沌的条件，所以它是混沌的。因此康托尔集既具有分形特性又是混沌的。

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结束语

综上所述，我们发现混沌与分形的亲密关系，这种正在蓬勃发展的理论，将会给全世界带来巨大的冲击，绝不亚於相对论与量子力学。世界科学家越来越关注混沌与分形的发展，这两大世界论题将会继续发展研究下去，我们要停止无休止的争论，把精力智力放在需要我们的地方，我们终将尝到甜美滋味。

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参考文献

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东北师范大学本科生毕业论文评语

学院: 物理 专业 物理学 学生姓名： 张艳娇 学号： 1224409099

毕业论文题目： 就康托尔集讨论混沌与分形的内在联系 评语内容： 1. 论文选题是否符合专业培养目标并有一定的意义；2.运用中外文献是否充实、全面、理解是否准确；3.研究方法是否得当，数据是否可靠；4.是否论点明确、论证充分、有自己的观点并有新意；5.结构、语言、图表等是否符合写作规范。 评语： 评定成绩：＿＿＿＿＿ （毕业论文成绩按优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级评定，标准详见《东北师范大学毕业论文成绩评定指标体系》） 评阅人（签字）：＿＿ ＿＿年＿＿月＿＿日

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