1309010121-王鑫-数值计算方法

《数值计算方法》总结

函数逼近问题

题目：函数逼近问题

姓名：王鑫

学号： 1309010121

专业：信息与计算科学

学院：理学院

时间： 2015 年 6 月 20 日

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一、 问题背景 函数逼近是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g ，使它是已知函数?在一定意义下的近似表示，并求出用g 近似表示 ?而产生的误差。这就是函数逼近问题。在函数逼近问题中，用来逼近已知函数?的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作?的近似表示的函数g 的确定方式仍然是各式各样的；g 对?的近似程度也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。

二、函数逼近问题

假设?（x ）是定义在某区间[a,b]上的函数，寻求另一个构造简单、计算量小的函数φ（x ）来近似代替f （x ）的问题就是所谓的函数逼近问题。通常取φ（x ）为[a ，b]上的一个线性无关函数系{φ0 x ，φ1 x ，φ2（x ），…，φn （x ）}的某种线性组合： φ x = c j φj n j =0（x ）

， 其中c0，c1，...，cn 均为实常数，这个表达式称为一个广义多项式。 常用的函数系有幂函数系：

1,x 2,，...，x n ，

三角函数系：

1,cosx ，sinx ，cos2x ，sin2x ，…，cosnx ，sinnx ，

以及指数函数系{e λx }等。幂函数的线性组合是一个多项式，由于多项式便于计算，容易求积分和微分，并且任意次可求，因此幂函数系是最常用的。然而应当指出，往往需要根据函数f （x ）的性态或实际问题的背景选择适当的函数系{φj （x ）}。

2 三、 函数逼近问题解决方法 函数逼近就是求函数的近似解，利用简单的函数来代替实际问题中的f （x ），如果f （x ）是连续函数，通常就称为函数逼近。，下面介绍的几种方法可用来解决函数逼近的几种方法：

方法1：

寻求一个不高于n 次的多项式p n （x ），使得在区间中的n+1个基点x i 处有

p n （x i ）=f （x j ），i=0,1,2，…，n ，

用它逼近f （x ），只是在基点x i （i=0,1，…，n ）处没有误差，而在其他

点处f （x ）≌p n （x ），从前面的分析可知，p n （x ）有可能很好的逼近f （x ），

也可能产生很大的误差，即使增加插值基点，也未必能保证p n （x ）很好地逼近f （x ）。假设在区间[a ，b]上给定一个无穷三角阵：

x 0（0）

?0??

?x 0

（n ）

?x n （n ） ……………① 以式①的每一行基点来构造f （x ）的拉格朗日插值多项式序列 p 0（x ），p 1（x ），p 2（x ），…p n （x ），…，

若 lim n→∞p n (x)= f （x ）,x ∈[a ，b]，

则插值过程是收敛的。若式①一致成立，则差值过程是一致收敛的。

设f （x ）是定义在[a ，b]上的整函数，则由[a ，b]上任何一个形式如式①的基点三角阵所产生的插值多项式序列{ p n （x ）}在[a ，b]上都一致

收敛于f （x ）。然而，这一结论并不是对所有定义在[a ，b]上的连续函数都成立。Faber 证明了对于任何形如式①的基点三角矩阵都存在连续函数f （x ），其由式①产生的插值多项式序列{ p n （x ）}在[a ，b]上不一致收敛

于f （x ）。Bernstein 还证明了对于区间[-1,1]上的函数|x|,以 x i

（n ）=-1+i/n ，i=0,1,…，2n+2

3 位基点构造拉格朗日插值多项式序列{P 2n+2（x ）}，除了x=-1,0,1外， 在

[-1,1]中的其他任何点都不收敛于f （x ）=|x|。

假如函数f （x ）在[a ，b]上某一点x 0邻域内充分可微，那么可将f （x ）展成泰勒级数。取其部分和φ（x ）来逼近f （x ），然而在离x 0较远的点x 处，φ（x ）会与f （x ）产生很大的偏差。

误差度量标准： （1）max| f （x ）-φ（x ）|（a ≤x ≤b ）； （2） | f （x ）?φ（x ）|p b a W （x ）dx ，其中p ?1，W （x ）?0为权函数。 对于给定的函数系{φj （x ）}，寻求函数

φ（x ）= c j n j =0φj （x ）

（确定c j ，j=0,1,2，…，n ），使

lim n→∞max ?|f （x ）?φ（x ）|=0

的函数逼近称为一直逼近；使

lim n→∞ |f （x ）?φ（x ）|p b a W （x ）dx =0

的函数逼近称为（关于权函数W （x ）的）L p 逼近。特别的，当p=2时，称

为平方逼近。

方法2：最佳平方逼近

假设?（x ）是定义在某区间[a,b]上的函数，{φj （x ）}j =0n 是[a ，b]上的一个线性无关函数系，且φj （x ）（j=0,1，2…n ）在[a ，b]上都是连续的，W （x ）为[a ，b]上的一个权函数，确定广义多项式

φ（x ） = a j n j =0φj （x ）

的系数a 0，a 1，…，a n ，使

[f （x ）?φ（x ）]2b a W(x)dx =min,

这样得到的函数φ（x ）称为f （x ）在[a,b]上关于权函数W （x ）的最佳平方逼近。

方法3：最佳一致逼近

4 定理1：假设?（x ）是定义在某区间[a,b]上的函数，任给一个ε>0，存在一个多项式p ε（x ），使不等式 | f x ?p ε（x ）|<ε

对所有x ∈[a,b]一致成立。

定理2（Chebyshew 定理）：假设?（x ）是定义在某区间[a,b]上的函数， P （x ）∈H n ，则P （x ）是?（x ）的最佳一致逼近多项式的充分必要条件是

?（x ）-P （x ）在[a,b]上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组。 定理3：：假设?（x ）是定义在某区间[a,b]上的函数，则在H n 中，?（x ）

有唯一一个最佳一致逼近多项式P （x ）。

定理4：假设?（x ）在 [a,b]上有n+1阶导数，且?（n+1）（x ）在[a,b]中保持顶号（恒正或恒负），P （x ）∈H n 是?（x ）的最佳一致逼近多项式，则区

间[a,b]的端点属于?（x ）-P （x ）的交错点组。

四、补充：正交多项式

定义1：设W （x ）在区间（a ，b ）上给定一个非负函数，满足对于在任一个非负连续函数h （x ），如果 (x )W (x )dx b a =0， 则有h(x)≡0,x ∈[a,b]，那么取任意两个函数f(x),g(x) ∈C[a,b], (f,g)= f (x )g (x )W (x )dx b a

称为函数f(x),g(x)的带权函数W （x ）内积，并称 ||f||= （f,f ）= f (x )g (x )W (x )dx b a

为函数f(x)的2范数，其中W （x ）称为权函数。

定义2：如果函数f(x),g(x) ∈C[a,b],的内积满足

(f,g)= f (x )g (x )W (x )dx b a =0

则称它们关于权函数W （x ）正交。

定义3：记区间[a,b]上全体实系数多项式函数组成的线性空间为H[a,b]。设{φ0 x ，φ1 x ，φ2（x ），…}∈H[a,b]且线性无关，如果有

φj b a φl (x)W(x)dx =0,j ≠l,

则称{φ0x，φ1x，φ2（x），…}为区间[a,b]上关于权函数W（x）的正交多项式系。

五、方法总结

通过本章的学习，我认识到了何为函数逼近，顾名思义，就是不断地逼近函数的真实值。实际生活中的问题往往都是无法用函数直接表达的，函数逼近是一种函数近似求解方法，借用函数逼近的方法，在误差允许的范围内，来无限的逼近真实值以求得需要的数据，以解决实际生活中的一些难题。常用的函数逼近的方法有：多项式插值逼近，最佳一致逼近，最佳平方逼近等。函数逼近工具在实际应用中已经被广泛应用，可以根据不同类型的函数，选择相应的逼近工具来逼近，总的来说，函数逼近工具中基函数的性能决定了最适宜逼近何种函数和逼近效果。

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