2014中考复习《二次函数》精

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初 三 数学专题 第二讲 二次函数 【本讲知识要点】

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如 的函数，叫做二次函数。

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b， 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0

x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随

x的增大而 ；x?0时，y有最 值是 ．

x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随 x的增大而 ；x?0时，y有最 值是 ．

增减性

2. y?ax2?c的性质：

a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0

x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随

x?0时，y有最 值是 ． x的增大而 ；x?0时，y随x的增大而 ；x?0时，y随

x的增大而 ；x?0时，y有最 值是 ．

增减性

1

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3. y?a?x?h?的性质：

2a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y有最 值是 ． x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随xa?0 的增大而 ；x?h时，y有最 值是 ．

4. y?a?x?h??k的性质：（顶点式）

2a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随

a?0

x?h时，y随x的增大而 ；x?h时，y随

x的增大而 ；x?h时，y有最 值是 ．

x的增大而 ；x?h时，y有最 值是 ．5．二次函数y?ax2?bx?c的性质（一般式）

a＞0 当x＝ 时，y有最 值 y随x的增大而 y随x的增大而 a＜0 y 当x＝ 时，y有最 值 y 随x的增大而 y随x的增大而 图 象 O x 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 增减性 在对称轴左侧 在对称轴右侧

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函数图像参考：

y=2x2y=2x2y=2(x-4)2y=x2

y=3(x+4)

2y=3x2y=3(x-2)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y= -x22y= -x2y=-2x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2三、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，前者是由后者配方得到的，反b?4ac?b2b4ac?b2?之后者是由前者展开得到的，这里y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222

四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称

轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?或（?,c）、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x?0，b

a

轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

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五、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a（a≠0）决定y?ax2?bx?c图象的开口方向以及图象的开口大小

①当a?0时，抛物线开口向上。当a?0时，抛物线开口向下。 ②当 a越大，抛物线的开口越小，当a越小，抛物线的开口越大。

2. a和b共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线

x??bb

，故：①当b?0时，对称轴为 ；②当?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴 侧；2aab③当?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴 侧.

a 3. c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置. 抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点 。

①c?0，抛物线经过 ; ②c?0,交点在y轴 ；③c?0,交点在y轴 。 4. a，b，c共同作用

?b4ac?b2?①决定抛物线的顶点坐标：即??，?

2a4a??②决定抛物线与x轴的交点坐标：

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个实数根即x1= ，x2= （这也是二次函数与一元二次方程之间

的关系）.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①当??0时?抛物线与x轴有两个交点；（x1，0）和（x2，0） ② 当??0时?抛物线与x轴相切；有一个交点（?b,0) 2a ③当??0时?抛物线与x轴相离. 没有交点。

【下图以a>0为例，用图象解释a，b，c的作用】

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六、用待定系数法求解析式

1、二次函数三种表达形式

①一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

② 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）； ③两根式（也叫交点式）：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有

抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2、根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

② 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； ③ 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

七、二次函数图象的平移

1、平移规律 平移口诀：右移

x减，左移x加；

上移y减，下移y加。

具体平移方法：（设m>0） (1)y?ax?bx?c在x轴上平移：

当图象向右平移m个单位，y?ax?bx?c变成y?a(x?m)?b(x?m)?c即 。 当图象向左平移m个单位，y?ax?bx?c变成y?a(x?m)?b(x?m)?c即 。 （2）y?ax?bx?c在y轴平移：

当图象向上平移m个单位，y?ax?bx?c变成y?m?ax?bx?c即 。 当图象向下平移m个单位，y?ax?bx?c变成y?m?ax?bx?c即 。

2222222222八、二次函数图象的对称性

二次函数图象的对称一般有三种情况：关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称

口诀：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变；

关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变； 关于原点成中心对称，两个都要变。

1. 关于x轴对称

y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是?y?ax2?bx?c即 。

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是?y?a?x?h??k即 。

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2. 关于y轴对称

y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?a??x??b??x??c即 ；

2y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a??x?h??k即 ； 3. 关于原点对称

y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是c?y?a??x??b??x??c即 ； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是?y?a??x?h??k即 ； k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

22222九、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程

b2?4ac. ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点，此时也是抛物线的交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；

2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；

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下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

??0 抛物线与x轴有两个交点 ??0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ??0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

十、二次函数的应用

（1）二次函数的应用主要是利用二次函数的最值解决问题，实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

【典型例题】

例 1．求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标．

(1)y=4x2+24x+35； (2)y=-3x2+6x+2； (3)y=x2-x+3； (4)y=2x2+12x+18．

例2 如图，直线y?x?m和抛物线y?x?bx?c都经过点A(1，0)，B(3，2)． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）直接写出不等式x?bx?c＞0的解集。 （3）直接写出不等式x?bx?c?x?m的解集．

例 3已知抛物线y=

O22yB2Ax125x+x-． 22 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

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例4 已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2,0）.

(1) 求点B的坐标；

(2) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

【本讲过关题】 一、选择题 1．若双曲线y?k(k?0)的两个分支在第一、三象限内，则抛物线y?kx2?2x?k2 x的图象大致是图中的 …………………………………………………… 【 】

yyyy OOxOxOxx

ABCD第4题图

22．若点（2，5），（4，5）是抛物线y?ax?bx?c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是 ……【 】 A．直线x?1 B．直线x?2 C．直线x?3 D．直线x?4 3．已知函数y?kx?7x?7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 …………… 【 】

A．k??27777 B．k??且k?0 C．k?? D．k??且k?0 44444．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是 …… 【 】

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C ．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．已知a<－1，点A（a－1，y1），B（a，y2），C（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则 ……【 】 A．y1

7、把抛物线y?x?bx?c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是

2y?x2?3x?5，则有 ……………………………………………………………… 【 】

A，b?3，c?7 B，b??9，c??15 C，b?3，c?3 D，b??9，c?21

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8、已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是 …………… 【 】 A．0??

02bbbb?1 B．0???2 C．1???2 D．??1 2a2a2a2ayx30yx第8题 第9题

第10题图 9、函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是…………… 【 】 A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c<0；②a－b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是 …………… 【 】

A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 二、填空题

11．若二次函数y?ax2?bx?c的图象经过点（-2，10），且一元二次方程ax?bx?c?0的根为?则该二次函数的解析关系式为 。

12．抛物线y?ax2?bx?c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的关系式是 。 13．把函数y?2x2?3x?4的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 得到的抛物线是函数的图象解析式为

21和2，2y3O13x第12题图

14、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象不过第四象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时，y>0。已知这四位同学的描述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个二次函数 。 15、已知抛物线C1、C2关于x轴对称，抛物线C1、C3关于y轴对称，如果C2的解析式为

3y??(x?2)2?1，则C3的解析式为 。

416．如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，

若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的关系 6题图 第式为 。

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三、解答题

17．若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与x轴两交点间的距离为8，试求该抛物线的关系式，并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标。

18、 二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像经过点A（3，0），B（2，-3），并且以x?1为对称轴。

2

（1）求此函数的解析式；

（2）作出二次函数的大致图像；

（3）在对称轴x?1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB，若存在，求出P点的坐标，

若不存在，说明理由。

19．某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且y?ax2?bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元。

（1）求y与x之间的关系式；

（2）投产后，这个企业在第几年纯利润最大？第几年就能收回投资？

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20．某瓜果基地市场部为指导该基地种植某蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基

础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了两个方面的信息，如图所示，请你根据图象提供的信息说明：

（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少 元？ （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由。

每千克售价（元）5432101234567月甲

11

每千克成本（元）5432101234567乙月

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20．某瓜果基地市场部为指导该基地种植某蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基

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