第2章 水静力学

第2章 水静力学

2.1知识要点

2.1.1静水压强及其特性

静止液体作用在受压面每单位面积上的压力称为静水压强。静水压强的特性：（1）静水压强垂直于作用面，并指向作用面的内部；（2）静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等。

2.1.2等压面方程

静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。在等压面上，dp?0，等压面的方程为

Xdx?Ydy?Zdz?0 （2.1） 式中，X、Y、Z是作用于液体单位质量的质量力在x、y、z轴方向上的分量。

等压面的两个重要性质：（1）等压面也是等势面；（2）等压面与质量力的方向正交。

2.1.3重力作用下的液体平衡

1）水静力学基本方程为

p?p0??h （2.2） 或 z?p/??C （2.3） 式中，p0为液面压强； h为所测点在自由液面以下的深度；?为液体重度；z为液体内任一点距基准面的距离；C为常数。

2）绝对压强、相对压强和真空压强

以设想没有气体存在的绝对真空为零来计算的压强，称为绝对压强，以pabs表示；以当地大气压强为零来计算的压强称为相对压强，以p表示。相对压强与绝对压强的关系为

p?pabs?pa （2.4） 式中，pa为大气压强。在式（2.2）中，当p0?pa时，则静止液体中某点的相对压强变为

p??h （2.5）

当液体中某点的绝对压强小于大气压强时，水力学中认为该点存在着真空。其真空压强pV的大小以标准大气压强和绝对压强之差来量度，即

pV?pa?pabs （2.6）

相对压强的正值称为正压，负值称为负压，也称为真空。

若用液柱高度来表示真空压强的大小，即真空度hV为

hV?pV/??(pa?pabs)/? （2.7）

工程上常用pa?1kgf/cm作为大气压的计量单位，一个工程大气压相当于10m水柱高，736mm水银柱高。

22.1.4液体的相对平衡

液体相对静止状态的典型情况有两种，一为等加速作直线运动的容器内的静止液体，如图2.1所示；二为以等角速度绕铅垂轴旋转的容器内的静止液体，如图2.2所示。

1等加速直线运动

图2.1所示为一水箱，沿着与水平面成α角的斜面以等加速度a作直线运动，设作用于液面的压强为p0，其方程为

1

zzO21r222g原液面p0agxa21r222gO22r2ghAA(x,y,z)zxAgy2y2rrArO2xx

图2.1 图2.2

p?p0?(?/g)[acos?x?(asin??g)z] （2.8） z?g(p0?p)/??axcos? （2.9）

asin??g令p?常数，上式给出了等压面方程。这是一簇平行的平面，它们对水平面倾斜了一个角度?，即 tan??z/x??acos?/(asin??g) （2.10） 令p?p0，可得自由液面方程 z??acos?x/(asin??g) （2.11） 2.等角速旋转运动

图2.2所示为盛有液体的开口圆桶，设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由面的交点上，z轴垂直向上。则液体中某点的压强为

p?p0??(?2r2/2?gz) （2.12） 以相对压强表示，则 p??(?r/2?gz)??[?r/(2g)?z] （2.13） 如p为某一常数，则等压面方程为 p/???2r2/(2g)?z （2.14） 对于自由液面，p=0，故自由液面方程为 z??2r2/(2g) （2.15） 式中，?为角速度；r为欲测压强点到旋转轴的距离；z为任一点的垂直坐标，z轴向上为正，向下为负；?2r2/(2g)?z表示任一点在自由液面以下的深度，以h表示，则式（2.12）可以写成

p?p0??h 当p0?pa 时，相对压强为 p??h

22222.1.5作用于平面上的静水总压力

1作用于任意平面上的静水总压力

图2.3所示为一任意形状平面EF倾斜置放于水中，与水平面的夹角为α，平面面积为A，平面形心点为c。静水压力为

P?pcA??hcA （2.16） 上式说明，作用于任意形状平面上的静水压力P等于该平面形心点的压强pc与平面面积的乘积。

静水总压力的方向垂直指向受压面。 静水总压力的作用点（压力中心）

FPmdAAhhCdEPoLbbbDLcDeLCLD 图2.3

LD?Lc?Ιc/(LcA) （2.17）

压力中心距形心的距离为

2

e?LD?Lc?Ιc/(LcA) （2.18） 式中，Lc为平面EF形心点c距ob轴的距离；hc为平面EF形心点c在液面下的淹没深度；LD为压力中心距ob轴的距离；e为偏心距；Ιc为平面EF对通过其形心c并与ob轴平行的轴的面积惯性矩，对于矩形断面Ic?bL3/12，对于圆形断面，Ic??R4/4。

2.作用于曲面上的静水总压力

求曲面上的静水总压力P，可将总压力分为水平分力Px和垂直分力Pz，然后求其合力P。 1）静水总压力的水平分力

作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px，等于作用在该曲面的铅垂投影面Ax上的静水总压力。

Px?pcAx??hcAx （2.19）

水平分力Px的作用线应通过Ax平面的压力中心。 2）压力体

压力体由下列周界所围成：1.受压曲面本身；2.液面或液面的延长面；3.通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。当液体和压力体位于曲面同侧时，垂直分力Pz的方向向下，此时的压力体称为实压力体；当液体及压力体各在曲线一侧时，则Pz的方向向上，这个想象的压力体称为虚压力体，如图2.4所示。

实压力体虚压力体PxAxPzPxAxPz（b）（a） 图2.4 3）静水总压力的垂直分力

静水总压力的垂直分力Pz的大小等于压力体的水重，即

Pz??V （2.20） 式中，V为压力体的体积。垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。

令压力体的底面积为Ω，即 V?bΩ （2.21） 4）曲面上的静水总压力的大小、方向及其作用点 由力的合成原理，曲面上的静水总压力的大小为 P?Px2?Pz2 （2.22）

静水总压力与水平面之间的夹角为 tan??Pz/Px （2.23）

2.1.6浮力及浮体的稳定

1.浮力

浸在水中或浮于水面上的静止物体都受到水的上举力，这就是浮力。浮力的大小等于该物体所排

开的同体积的水重，作用线铅垂向上并通过所排开液体的中心，也称浮心，所以 Pz??V （2.24） 式中V为浮体淹没在液体中的体积。

对于均质物体，当整个物体都淹没在液体中时，重心就是浮心，两者重合。对于非均质物体，根据重力G和浮力Pz的大小，有三种可能性：

3

当G＞Pz时，称为沉体；当G=Pz时，称为潜体；当G＜Pz时，称为浮体。 2.潜体的平衡及其稳定性

当物体潜没在液体中维持平衡时，必须具备两个条件：（1）重力G与浮力Pz相等，即G=Pz；（2）重心与浮心要在一条垂直线上。

根据重心C和浮心D的相对位置，可以分成三种情况：

（1）重心C位于浮心D之下，如图2.5（a）所示，这种情况下的平衡称为稳定平衡； （2）重心C位于浮心D之上，如图2.5（b）所示，这种平衡称为不稳定平衡； （3）重心C与浮心D重合，如图2.5（c）所示，这种平衡称为随遇平衡。

PzDCPzCPzPzPzDCCDCDDG(a)GG(b)GG(c) （a） （b） （c） 图 2.5 3浮体的平衡及其稳定性

浮体的平衡条件与潜体相同。

浮体的稳定性取决于重心C与浮心D的相对位置，有三种情况： 1重心C在浮心D之下

如果重心C低于浮心D，当物体发生倾斜后，浮力Pz和重力G形成使物体扶正的力矩，如图2.6所示，这时物体可得到稳定平衡。

o定心倾中oPzDCG浮轴oMPzD'DCG浮轴o （a） （b）

图 2.6

2重心C高于浮心D

如果重心C高于浮心D，浮体的稳定取决于重心C和定倾中心M的相对位置，如图2.7所示。按照C点和M点的相对位置不同可能有三种情况：

当r＞e时，称稳定平衡；r＜e时，称不稳定平衡；r=e时，称随遇平衡。

oGCeDPz浮轴ore oMGoGrCeDPz浮轴oCMerD'D'DPz浮轴o （a） （b） （c）

图 2.7 3重心C与浮心D重合

如果重心C与浮心D重合，当浮体遇有外力发生倾斜后，浮力Pz和重力G形成使物体扶正的力矩，

4

当外界干扰取消后，该力矩能使倾斜的浮体扶正，并自动恢复到原来的平衡位置，如图2.8（b）所示， 这种浮体的平衡亦称为稳定平衡。

oPzroMPzCDCDD' （a） （b）

图 2.8 oG浮轴oG浮轴4.定倾半径的计算

设浮体受到外力作用而倾斜某一角度α，浮心位置由D移至D’之间的距离为L，定倾中心M距浮心D的距离为r，如图2.9所示。 r?Ι0/(Vcos?) （2.25） 当α＜15o时，cosα≈1，则 r?I0/V （2.26） 式中，Ι0为浮面对其纵轴的惯性矩。 使浮体恢复原状的力矩可表示为

?VCMsin???Vhmsin? （2.27）

式中，hm?r?e，称为定倾高度；r为定倾半径；

x1x2aMEA'oE'GrPAPbCeD'LDsPz'Pzo'F浮轴 图2.9 e为偏心距，即浮心与重心之间的距离。

5

2.2习题解析

2.1 在装满水的锥台形的容器盖上加一力P=4kN，容器的尺寸如图所示。D=2m，d=1m，h=2m，试求A、B、C、D各点的相对压强和容器底面上的总压力（相对压力）。

解：

1. 求A、B、C、D各点的相对压强

pAdBhCDD 习题2.1图

pA?pB?P/(?d2/4)?4/(??12/4)?5.093kN/m2(kpa) pC?pD?pA??h?5.093?9.8?2?24.693kN/m2(kpa) 2.求容器底面上的总压力

P底?pD? （?D2/4)?24.693?(??22/4)?77.575kN2.2有一圆形容器，内装三种液体。上层为比重S1=0.8的油，中层为比重S2=1的水，下层为比重S3=13.6的水银。已知各层高度均为h=0.5m，容器直径d=1m，试求：

（1）A、B点的相对压强（用kN/m2表示）。 （2）A、B点的绝对压强（用米水柱高度表示）。 （3）容器底面上的总压力（相对压力）。

解：

（1） 求A、B点的相对压强

33 ?3?9.8?13.6?133.28kN/m ?1?9.8?0.8?7.845kN/m3 ?2?9.8?1?9.8kN/mSSS1hAh/2hh23Bd

习题2.2图

A点的相对压强为

pA??1h??2?(h/2)?7.845?0.5?9.8?(0.5/2)?6.3725kN/m2

B点的相对压强为

pB??1h??2h??3h?7.845?0.5?9.8?0.5?133.28?0.5?75.4625kN/m2

（2）求A、B点的绝对压强

3A点的绝对压强为 pa?pA?98?6.3725?104 .372k5N/m 用水柱高度表示为 hA?(pa?pA)/?2?104.3725/9.8?10.65m

3 B点的绝对压强为 pa?pB?98?75.462? 517.3462k5N/m 用水柱高度表示为 hB?(pa?pB)/?2?173.4625/9.8?17.7m （3） 容器底面上的总压力

PB?pB?(?d/4)?75.4625?(??1/4)?59.268kN 2.3如图所示为一封闭水箱，其自由面上的压强

2，试问水箱中A、B两点的绝对p0?25kN/m22p0h1h2AB压强、相对压强和真空度为多少？已知h1=5m，h2=2m。

习题2.3图

6

解：

A、B两点的绝对压强

pAabs?p0??h1?25?9.8?5?74kN/m2

pBabs?p0??h2?25?9.8?2?44.6kN/m2

A、B两点的相对压强

pA?pAabs?pa?74?98??24kN/m2 pB?pBabs?pa?44.6?98??53.4kN/m2 A、B两点的真空度

pAV?pa?pAabs?98?74?24kN/m2

2 pBV?pa?pBabs?98?44.6?53.4kN/m由以上计算可以看出，A点的静水压强比B点的大。

2.4 在习题2.4图所示的微压计中，管和杯的直径比为d/D，液体的重度?1和?2已知，试根据读数求出罐中的气体压强p。

解：

由图中可以看出，1-1面是等压面，所以从右边来看

习题2.4图

p0hpx初始液面1h1 p1?pa??1(x?h) （1） 从左边来看 p1?p??1(?h?x)??2h （2） 由以上两式解出 p?pa?(?2??1)h??1?h （3） 式中?h为未知数。现利用液体体积变化的关系求出?h。设想两边都作用大气压强时，显然左右两边的初始液面是水平的，由于液体的体积不变，则

(?D/4)?h?(?d/4)h （4） 由上式得 ?h?(d/D)2h （5） 将式（5）代入式（3）得

p?pa?[(?2??1)??1(d/D)2]h （6） 由于?1??2，所以p?pa，即罐中的气体压强比大气压强小，罐中气体的真空度为

pV?pa?p?[(?2??1)??1(d/D)2]h （7）

2.5有两个相互联通的容器如图所示。已知水的重度为

22?水?9800N/m，水深h1?1.0m，

13papah1水h2?1.25m，试求另一种液体的重度为多少？

解：

由图中可以看出，1-1面为等压面，则 pa??2h2?pa??水h1

h221

3?2??水h1/h2?9800?1/1.25?7840N/m

习题2.5图

7

2.6如图所示为一开口水箱，自由表面上的大气压强为pa?98kN/m，在水箱的右下侧连结一封闭的测压管，今用抽气机将管中的空气抽干净（即为绝对真空），求测压管水面高出自由液面的高度为多少？

解：

2p0=0paAhNB

习题2.6图

因为测压管中的液体与水箱的液体相同，故A-B面为等压面。等压面中测压管内一点N的压强与大气压强相同，即pa?pN，由此可知

pN?p0??h?0??h??h pa?pN??h

h?pa/??98/9.8?10m

2.7如图所示，已知h1=1.2m、h2=1m、h3=0.8m、h4=1m、h5=1.5m，大气压强pa=101300N/m2，

M1pa1h1水M353h34h5h4酒精6M62h2?水?9810N/m3，?乙醇?7749.9N/m3，不计

装置内空气重，求1、2、3、4、5、6各点的绝对压强、相对压强及M1、M3、M6三个压力表的表压力（或真空度）。

解：

（1）求1、2、3、4、5、6点的绝对压强 对1、2两点，有

习题2.7图

p2?pa?101300N/m2

p1?p2??水（h1?h2)?101300?9810?(1.2?1.0)?99338N/m2

3点： p3?p2??水（h2?h3)?101300?9810?(1?0.8)?103262N/m2 4点： p4?p3?103262N/m2

5点： p5?p4??乙醇（h5?h4)?103262?7749.9?(1.5?1)?99387.05N/m2 6点： p6?p5??乙醇h5?99387.05?7749.9?1.5?111011.9N/m2 （2）求M1、M2、M3压力表的表压强（真空度） M1：

pM1?pa?p1?101300?99338?1962N/m2（真空度） M3： pM3?p3?pa?103262?101300?1962N/m2（表压强） M6： pM6?p6?pa?111011.9?101300?9711.9N/m2 （表压强）

2.8 如图所示为一供水系统。已知液面压强p1?1.5?106pa，p2?4?104pa，z1?z2?0.5m，

z3?2.3m，闸门处于关闭状态，试求A、C、D、B各点的压强及点A与C、C与D、B与D的压强

差值。

解：

（一）求各点压强水头

8

A点： pA?p1??z1?1.5?106?9800?0.5?1.5049?106N/m2

hA?pA/??1.5049?106/9800?153.56m

C点： pC?pA??z3?1.5049?106?9800?2.3?152744?106N/m2 hC?pC/??1.52744?106/9800?155.86m D点 pD?p2??z2?4?104?9800?0.5?4.49?104N/m2

pB?pD?4.49?104N/m2

hB?hD?pD/??4.49?104/9800?4.58m

p1z1Ap2z3BCDz2 习题2.8图

（二）求A点与C点、C点与D点、B点与D点的压强差 （1）A点与C点压强之差

pC?pA?1.52744?106?1.5049?106?22540N/m2

（2）C点与D点压强之差

pC?pD?1.52744?105?4.49?104?1482540N/m2

(3) B点与D点压强之差

pB?pD pB?pD?0

2.9已知一盛水容器中A点的相对压强为0.8个工程大气压，如在该点左侧安装一根测压管，问至少需要多长的测压管？如在该点右侧器壁上安装水银测压计，已知水银重度?汞?133.28kN/m，

3hA水h1h2h1?0.2m，问水银柱高度差h2是多少？

解：

（1）求测压管的最小高度

习题2.9图

0.8个工程大气压=8000kgf/m2，所以A点的压强为pA?8000kgf/m，压强水柱为

2hA?pA/??8000/1000?8m。所以测压管最小高度为8m。

（2）求水银柱高度

由图得 pA??h1?8000?1000?0.2?8200kgf/m?80360N/m h2?(pA??h1)/?汞?80360/(133.25?103)?0.603m

2.10 习题2.10图所示的容器内盛有水，水面高程为1.0 m，两测压管的安装高程各为0.5m和0.2m，当

9

22地大气压强pa?100kN/m2（绝对压强），若：

p01.0（1）p0/??15m水柱高（绝对压强），则1两个测压管中液面高程各为多少？点1和点2的5.202.绝对压强、相对压强及测管水头各为多少？

000（2）p0/??6m水柱高，则点1和点2的 绝对压强、相对压强及测管水头各为多少？真空习题2.10图

度是多少？

解：

（1）当p0/??15m时

p0?15??15?9.8?147kN/m2

点1：

绝对压强为 p1abs?p0???(1?0.5)?147?9.8?0.5?151.9kN/m2 相对压强为 p1?p1abs?pa?151.9?100?51.9kN/m2 测管水头为 z1?p1/??0.5?51.9/9.8?5.8m 点2：

绝对压强为 p2abs?p0???(1?0.2)?147?9.8?0.8?154.84kN/m2 相对压强为 p2?p2abs?pa?154.84?100?54.84kN/m2 测管水头为 z2?p2/??0.2?54.84/9.8?5.8m （2）当p0/??6m时

p0?6??6?9.8?58.8kN/m2

点1：

绝对压强为 p1abs?p0???(1?0.5)?58.8?9.8?0.5?63.7kN/m2 相对压强为 p1?p1abs?pa?63.7?100??36.3kN/m2 真空度为 p1V?pa?p1abs?100?63.7?36.3kN/m2 测管水头为 z1?p1/??0.5?36.3/9.8??3.2m 点2：

绝对压强为 p2abs?p0???(1?0.2)?58.8?9.8?0.8?66.64kN/m2 相对压强为 p2?p2abs?pa?66.64?100??33.36kN/m2 真空度为 p2V?pa?p2abs?100?66.64?33.36kN/m2 测管水头为 z2?p2/??0.2?33.36/9.8??3.2m 2.11 有一减压箱，上部为气体，重度为12.5N/m2，下部为水，真空表读数为73.6mmHg，hh11=1m、气体hA2=2m，试求：（1）A、B点的相对压强（以米水柱高表示）；（2）当不考虑气柱产生的压强时，A、h2B点的绝对压强（以米水柱高表示）。

解：

B (1)求点A、B的相对压强

习题2.11图

10

pB??(h??h)?pA???Z??h??汞?h

由上式解出 p2B?pA??汞?h??（?Z??h)?133.28?0.5?9.8?(2?0.5)?42.14kN/m 2.27如图所示，已知水箱真空表读数为

0.98kN/m2，水箱与油箱的液面高差H=1.5m，水

银柱高差h水H2=0.2m，油的重度?3油?7.85kN/m，油1求hh1是多少？

解：

2h已知真空表读数pV=0.98kN/m2，此时作用于

液面上的相对压强为p=-0.98kN/m2，由图可得

习题2.27图

?油h1??汞h2?p??(H?h1?h2)

由上式解出

hh2??(H?h2)?p?0.2?9.8?(1.5?0.2)?(?0.98)1??汞????133.28油9.8?7.85?5.63m

2.28 同学们采用如图所示的装置测量水管断面空气内B点的压强，测出U形水银测压管上?h的读0数为0.4m，它们误认为水银U形管左边的几支U4形管内都是被水充满，并从而计算B点的压强。h之后，经教师检查发现由于操作上的疏忽，空气05未排净，其所占位置如图中所示，问同学们原来1计算结果的误差为多少？

解：

B（1）先求B点的实际压强

习题2.28图

p1?pB???1.5?pB?9.8?1.5?pB?14.7

p2?p1?pB?14.7

p3?p2???1?pB?14.7?9.8?1?pB?24.5

p4?p3?pB?24.5

p5?p4???0.8?pB?24.5?9.8?0.8?pB?16.66

p5??汞?h?133.28?0.4?53.312kN/m2

pB?p5?16.66?53.312?16.66?69.972kN/m2 （2）求误将空气当作水求得的压强

p5??汞?h?133.28?0.4?53.312kN/m2

p3?p5??(0.8?0.4)?53.312?9.8?1.2?41.552kN/m2

p2?p3???1?41.552?9.8?1?51.352kN/m2 p1?p2???0.7?51.352?9.8?0.7?44.492kN/m2 pB?p1???1.5?44.492?9.8?1.5?59.192kN/m2

误差为

16

69.972?59.192?15.41%

69.9722.29 如图所示，用水银比压计量测水管中A、B两点的压强差，已测得U形管中水银柱高差?h?0.36m，A、B两点的高差?Z?1m，试求A、B两点的压强差。

解： 由图可得

AhhZ水银B 习题2.29图

pA??h?pB??(?Z?h??h)??汞?h

2.30 杯式微测压计由杯子及连接两个杯子的U形管组成，如图所示。杯子及U形管的面积分别为A1和A2，内装液体的重度相近，各为?1和?2，未测量时两杯内液面齐平，且U形管内两边液体分界面齐平。问当h已知时，压差pM-pN是多少？

解：

1-1面为等压面，有

1h1pA?pB??汞?h??(?Z??h)?133.28?0.36?9.8?(1?0.36)?34.653kN/m2

pMpNhA1Hh21A1A21

习题2.30图

pM??1(H?h)?pN??1(2?h?H)??2h （1） pM?pN?2?1?h??1h??2h （2） 已知杯子的断面面积为A1，U形管的断面面积为A2。则根据一端下降、另一端上升，体积不变的原理得

A1?h?A2(h/2) （3） 由上式得2?h?A2h/A1，代入式（2）得

pM?pN??1h(A2/A1?1)??2h （4） 2.31为测定汽油库内液面的高度，在图示装置中将压缩空气充满AB管段，已知油的重度

pa油HpaABh?油?6.87kN/m2，当h=0.8m时，相应油库中汽

油的深度H是多少？

解：

水 习题2.31

pa??油H?pa??h

m H??h/?油?9.8?0.8/6.87?1.14122.32 今采用三组串连的U形水银测压计测量高压水管中的压强。测压计顶端盛水，当A点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上，今从最末一组测压计右支测得水银面在0-0平面以上的读数为h，试求A点的压强。

0A水水pah0水银

习题2.32图

17

解：

由于当A点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上，所以当A点压强变化时，测压管中水银面下降和上升的高度是相等的，均为h。A点的绝对压强为

pa?2?汞h?2?h?2?汞h?2?h?2?汞h??h?pA

所以 pA?pa?6?汞h?5?h A点的相对压强为 pA?6?汞h?5?h 2.33 图示水压机大活塞直径D=0.5m，小活塞直oabF径d=0.2m，a=0.25m，b=1.0m，h=0.4m，求： （1）当外加压力F=200N时，A块受力为多大？ Ahd（2）在小活塞上压强增加Δp，大活塞上的压强P0D及总压力增加多少？

习题2.33图

解：

设小活塞上的压力为Pd，压强为pd，大活塞上的受力为P0 （1）当外加压力F=200N时，求A块所受得力

对o点取力矩 Pda?F(a?b)

Pd?F(a?b)/a?200?(0.25?1.0)/0.25?1000N p222d?Pd/A?1000/(?d/4)?4?1000/(??0.2)?31831N/m

设A块所受得力为P0，则

P?D2??0.520?(pd??h)?4?(31831?9800?0.4)?4?7019.7N

（2）小活塞上压强增加Δp，求大活塞上的压强及总压力增加多少

若小活塞上压强增加Δp ，则大活塞上的压强变为

p0?(pd??p??h)

Pp?D2大活塞上的压力为 0?(d??p??h)4

2.34 图所示的水压机，已知加重活塞与举重活塞oABFGoABF直径之比为1∶4，操纵杆长度AO与BO之比为1∶3，问：（1）如图2.34(a)，在B点加力F时，PDPPDAPA水压机可举重多少？（2）如果在举重活塞上加以DdDdG=10kN的力，已知AO=0.25m，BO=0.75m，d=0.08m，F=200N时，求在平衡条件下大活塞的 (a) a b(b) 直径D（不计活塞的高差和重量）。

习题2.34 图

解：

（1）在B点加力F时，求水压机的举重力

因为AO:BO?1:3，设加重活塞上作用的压力为PA，则

PA?AO?F?BO

PA?F?BO/AO?(3/1)F?3F

18

作用在加重活塞上的压强为

pA?PA/(?d2/4)?3F/(?d2/4)?12F/(?d2)

作用在举重活塞上的压强，根据巴斯卡定律，作用在举重活塞上的压强与加重活塞上的压强相等，则作用在举重活塞上的力为

?D212F?D2D4PD?pA?2?3()2F?3?()2F?48F

4d1?d4（2）已知AO=0.25m，BO=0.75m，d=0.08m，F=200N，G=10kN时，求在平衡条件下大活塞的直径D 因为

AOBO?0.250.75?13，所以可以直接应用上面的结论，即作用在加重活塞上的压强为 pA?12F/(?d2)?12?200/(??0.082)?119366.21N/m2

处于平衡状态时，作用在举重活塞上的力PD?G?10kN?10000N，则 PD?pA(?D2/4)?119366.2?(?D2/4)?10000N

由上式的 D?10000?4119366.2???0.327m

2.35 水压机的构造如习题2.35图所示。已知大活

W塞面积为10m2，小活塞面积为0.1m2，油的比重为0.8。如需要产生一个力F=90kN，问加重W应m为若干？

c0油F7解：

设小活塞上作用的压强为pW，则

p W?W/0.1。大活塞上作用的压强为pF，则 习题2.35图

pF?F/10，?油?9.8?0.8?7.84kN/m3，依题意

pW??油?0.70?F/10

pW?F/10??油?0.75?90/10?7.84?0.70?3.512kN/m2

W?0.1pW?0.1?3.512?0.3512kN?351.2N

2.36 用水银测压计量测容器中水的压强，测得水A银柱高度为h，如图所示。若将测压管下移到虚线水位置，左侧水银面下降ΔZ，如果容器内压强不变，Zh问水银柱高度h是否变化？若容器内是气体，结Z果又如何？

水银 解：

习题2.36图设A点的压强为p，可得

p??Z??汞h 若左侧水银面下降?Z，则设h变为h0，有

1）

19

（ p??Z???Z??汞h0 （2）

以上两式相减得 ??Z??汞(h0?h) （3） 设?h?(h0?h)，代入上式得 ?h??9.8?Z?Z??Z? （4） ?汞133.2813.6?33由以上计算可知，当左侧水银面下降?Z时，水银柱高度差改变了?h。

若容器中是气体，气体的重度为?气?12.68?10kN/m，则有

?气12.68?10?3?Z ?h? （5） ?Z??Z??汞133.2810511.042.37 如图所示为一钟形潜水箱。从已知的比压计

读数R及水头H求潜水箱内的水深h。

解：

依题意有

R水银?H??h??汞R

?汞133.28h?H?R?H?R?H?13.6R

?9.82.38 如图所示为一潜水艇的断面图，气压计测出潜艇的绝对压强为p1/?汞?0.84m（水银柱），求潜艇的潜没深度h，设水面大气压强为标准的大气压强，海水的重度为10.06kN/m3。

解：

潜艇中的绝对压强为

H空气h

习题2.37图 pa气压计hp绝35cm35cm84cmp绝?0.84?汞?0.84?133.28?111.9552kN/m

2 习题2.38图

2由图得 pa??海 （h?0.35）?p绝??汞（0.35?0.35）?111.9552??133.28?0.7?205.2512kN/m2.39有一盛水的密闭水箱，顶部装有气门，底部用软管与调压筒相连，如习题2.39图所示。问：（1）当气门打开时，水箱水面作用的是什么压强，测压管1、测压管2和连通管的水面如何变化；（2）当气门关闭时，将调压筒上升或下降，容器中的水面压强p0是否变化？如有变化，分析其变化情况，并说明连通管和测压管中的水面是如何变化的。（3）已知H=0.1m，h=0.05m，气门关闭。试求：（a）当调压筒中的水面高于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强；（b）当调压筒中的水面低于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强，如有真空，求其真空压强。

解：

（1）当容器顶部的气门打开时，水箱内的水面作用的是大气压强，这时测压管1、测压管2和联通管中的水面均作用的是大气压强，如果不考虑表面张力的影响，水箱和三根管中的水面同高。

（2）当容器顶部的气门关闭时，将调压筒上升或下降，将改变容器中水面的压强。当调压筒上升时，

20

h?(205.2512?pa)/?海?0.35?（205.2512?101.325）/10.06-0.35?9.98m

?(3?h??h)??汞(2?h?0.6sin300)

?(3?h)??汞?0.6sin3009.8?(3?4.08)?133.28?0.6?0.5??0.1145m ?h?2?汞??2?133.28?9.80.5?1.05m8 弯管上水银柱长度为 0.6?2?h/sin30?0.6?2?0.114/52.48一容器如图所示，当A处的真空表读数为22cm汞柱高，?油?7.84kN/m2时，求两测管中的液柱高h1、h2，并求液柱左侧U形管中的h值。

解：

15A25油空气?pah1pa20h2（1） 因为液面处的真空压强为 pV=0.22×133.28=29.322kN/m2

所以容器中液面的相对压强为p=-29.322kN/m2，求h1和h2。

10h

习题2.48图

p??油(25?20)??油h1 p??油(25?15)??油h2

h1?p/?油?(25?20)??29.322/7.84?5?1.26m

h2?p/?油?(25?15)??29.322/7.84?10?6.26m

（2）求U形管中的水银柱高度h

p??油(25?10)??汞h

papah?[p??油(25?10)]/?汞?(?29.322?7.84?15)/133.28?0.662m

2.49图示为两种液体盛在容器中，且密度试证明测压管2的液面必低于测压管1?2??1，的液面。 证：

21h11h2hh32h4?1??1g，?2??2g，因为?2??1，所以

?2??1。对于1点，压强为p1??1h1，则

h1?p1/?1 对于2点 ，由等压面的关系有

习题2.49图

?1(h1?h2)??2h3??2h4

h4??1(h1?h2)?h3

?2由图中可以看出，第一根测压管的液面距第二根测压管测点的距离为h，且 h?h1?h2?h3 又因为?2??1 ，所以 h4??1(h1?h2)?h3?h

?2，当两种油重量相等时，求：（1）?2?8.7kN/3m两种油的深度h1及h2为多少？（2）两测压管内

25

因而第二根测压管的液面低于第一根测压管的液面。 2.50图示一圆柱形油桶，内装轻油和重油，轻油的重度为

?1?6.5kN/3m，重油的重度为

油面将上升什么高度？

papa1h15m12h22

习题2.50图

解：

（1）求两种油的深度h1及h1

依题意，当两种油重量相等时，由m1=m2得

?1V1??2V2

V1?A1h1 V2?A2h2

式中，V1、V2分别为轻油和重油的体积，A1、A2分别为轻油和重油的面积，对于圆筒，A1?A2，所以有V1/V2?h1/h2，则

h1/h2??2/?1?8.7/6.5 h1?(8.7/6.5)h2 由图得 h1?h2?5 解得 h1?2.862m h2?2.138m

（2）求两测压管内油面上升的高度

对于第一根测压管，油面上升的高度与油桶液面齐平。即液面距油箱底部的距离为5m。对于第二根测压管，油面上升的高度为

?1h1??2h2??2h

h?(?1h1??2h2)/?2?(6.5?2.862?8.7?2.138)/8.7?4.276m

式中，h为第二根测压管液面距油箱底部的距离。即第二根测压管液面距油箱底部的距离为4.276m。 2.51 一容器中有三种不同的液体，?1??2??3，如图所示。试求：(1)三根测压管中的液面是否与容器中的液面齐平，如不齐平，试比较各测压管中液面的高度？（2）?1?7.62kN/m2、?2?8.561kN/m2、（3）图中1-1、2-2、3-3三个水?3?9.8kN/m2，a1?2.5m、a2?1.5m、a3?1m时，求h1、h2和h3。平面是否都是等压面？

解：

（1）已知?1??2??3，由习题2.49的推证可知，三根测压管中的液面不齐平。由于第一根测压管中的液体与油箱中的液体为同一种液体，且上面只有一种液体，所以第一根测压管中的液面与水箱中的液面同高。其余测压管中的液面均低于水箱的液面，且第三根测压管中的液面低于第二根测压管中的液面。

（2）求h1、h2和h3 对于第三根测压管，有

31

pa12a23a31123h3h2h123h3h2h1a1

习题2.51图

?1a1??2a2??3(a3??h3)??3(h3??h3)

?1a1?2a27.62?2.58.561??a3???1.5?1?4.254m （1） ?3?39.89.8 h3?对于第二根测压管，有

?1a1??2(a2??h2)??2(h2?a3??h2)

?1a17.62?a2?a3??2.5?1.5?1?4.725m （2） h2??28.561对于第一根测压管，有

h1?a1?a2?a3?2.5?1.5?1?5m （3） （3）求等压面

由图中可以看出，只有3-3面为等压面。 2.52如图所示为一密闭的正三角形细玻璃管，其中内装密度为?1、?2、?3三种互不相混合的液

1h22h13h3L体，使该管铅垂竖立，假设管得粗细一样，正三角形的每边长为L，求图中的x。

解：

x

习题2.52图

如图所示，正三角形的边长为L，高h1?3L/2，设所求的x对应的竖向高度为h2?3x/2，

h3?3(L?x)/2，则由图可得

?2gh2??1gh3??2gh3??3gh2

?23x/2??13(L?x)/2??23(L?x)/2??33x/2

整理上式得

?2x??1(L?x)??2(L?x)??3x

(?2??1)L

2?2??1??2空气由上式解出 x?2.53如图所示为一密闭容器，当U形管测压计中的读数为0.12m时，试确定压强表的读数。

解：

液面的绝对压强为

ppa100cm水汞12cmp?pa??汞?0.12?98?133.28?0.12?82kN/m2

习题2.53图

2

压力表的读数为 p表?p???1?pa?82?9.8?1?98??6.2kN/m

压力表的读数为负值，说明该处存在着真空，真空度为pV/??6.2/9.8?0.633m 2.54矩形木箱长3m，静止时液面离箱底1.5m，已知加速度的方向与 x的方向一致，则惯性 现以a=3m/s2的加速度水平运动，试计算此时液力的方向与加速度的方向相反。在x、y、z方向面与水平面的夹角以及作用在箱底的最大压强与的单位质量力分别为X=-a、Y=0、Z=-g。由静止 最小压强。

解：

31

za1.5m习题2.54图

OxA

液体的平衡方程得

3mB

dp??(Xdx?Ydy?Zdz)

dp??(?adx?gdz)???/g(adx?gdz)

对上式积分得 p???/g(ax?gz)?C

下面确定积分常数C，在坐标原点，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa。由此得

p?pa??/g(ax?gz)

在自由表面，p=pa，由上式可得

tan??z/x?a/g?3/9.8?0.306

则

??arctan??arctan0.306?17.02?

下面求箱底的最大压强和最小压强。由图中可以看出，在A点压强最大，x=-1.5、z=-1.5； B点压强最小。x=1.5、z=-1.5。如果不考虑大气压强，则

pAmax???(ax?gz)??1?[(3?(?1.5)?9.8?(?1.5)]?19.2kN/m2

pBmin???(ax?gz)??1?[(3?(1.5)?9.8?(?1.5)]?10.2kN/m

2.55如图所示为一装在水平等加速运动上的U形管加速度测定仪，已测得两管中的液面高差Δh=5cm，两管相距L=30cm，求该物体的加速度。

az解：

U形管与物体一起做水平等加速度运动，此

Ox时自由液面是与水平面夹角为α的斜面。设坐标

如图所示，单位质量力除重力外，还有惯性力a，

L惯性力的方向与加速度的方向相反，由此得X=a、 Y=0、Z=-g。由静止液体的平衡方程得 习题2.55图

2dp??(Xdx?Ydy?Zdz) dp??(adx?gdz)??/g(adx?gdz)

对上式积分得 p??/g(ax?gz)?C 在坐标原点，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa，因此有 p?pa??/g(ax?gz) 在自由表面，p=pa，由上式得

tan??z/x?a/g

由图中可以看出 tan??z/x?a/g??h/L

a?g?h/L?9.8?0.05/0.3?1.63m/s2

2.56容箱宽1.2m，长1.5m，液体的密度为930kgf/m3，液体高度为0.9m，若容器以a=4.8m/s

的加速度垂直向上运动，计算此容器底部所受的力。

31

h0.9m解：

因为加速度的方向是垂直向上的，自由液面仍保持水平。单位质量力在三个方向的投影为X=0、Y=0、Z=-(a+g )，则

pazOax1.5m 习题2.56图

dp??(Xdx?Ydy?Zdz)???(a?g)dz

对上式积分得 p???(a?g)z?C 当z=0，p=pa，代入上式得C=pa，因此有

p?pa??(a?g)z

容器底部的相对压强为

p???(a?g)z??930(4.8?9.8)?(?0.9)?12220.2N/m2

容器底部的相对压力为

P?pA?12220.2?1.2?1.5?22kN

2.57一矩形底面积为6×6m的密闭水箱，高为2.0m，液体充满半高处。加速度ax?g/2，

zazp0az?g/4，求沿箱底的压强变化。

解法1

如图所示，已知ax?g/2，az?g/4，则x方向的单位质量力为X=-g/2、Y=0、Z=-(g/4+g )=-5g/4

2mOA6maxBx 习题2.57图（1）

5g?gdp??(Xdx?Ydy?Zdz)??(dx?dz)

g24对上式积分得 p??5g?g(x?z)?C g24在液面上，当x=z=0，p=p0，代入上式得C=p0，因此有

x5p?p0??(?z)

24下面求p=p0的坐标。由图中可以看出，在B点，当z??1时，p=p0，代入上式得x?2.5m。现求A点的压强。在A点，x=-3，z=-1，代入上式得

p?p0?9.8?(?35??(?1)?p0?26.95 24解法2

取坐标系如下图所示。由上面的计算已知

5g?gp??(x?z)?C

g2431

zacos30??tan12.3231? 由此得 tan?????xasin?g解出加速度a=2.83m/ s2。

(2)求B点的压强

先求B点坐标 ，由图中可以看出

BG?Bx2cos30??2.232cos30??1.933m

Gx2?Bx2sin30??2.232sin30??1.116m Ox2?OE/cos30??1.5/cos30??1.732m OG?Ox2-Gx2?1.732?1.116?0.616m

当加速度a=2.83m/ s2时，B点的压强为

pB???[(acos30?)x?(asin30??g)z]??1?[(2.83?cos30)?(?0.616)?(2.83?sin30?9.8)?(?1.933)?23.188kN/m??2

当水箱静止或以匀速运动时，此时加速度a=0，B点的压强为

pB???[(acos30)x?(asin30?g)z]??1?9.8?(?1.933)?18.94kN/m 2.73一个矩形水箱，底部尺寸为0.4m×0.2m，高

为0.4m。装水到一半高度，即0.2m。容器本身质量为10kg，容器沿30o坡下行，如容器与坡面的滑动摩擦系数为0.3，求水面与水平面的倾斜角。

解：

取坐标系如图所示，加速度的方向与水箱运动的方向一致。设水的重量为G，容器的重量为 W，由图可得

z??2水平面0fG+WNax 习题2.73图

2 G?m1g??Vg?1000?(0.4?0.2?0.2)?9.8?156.8kgm/s?156.8N W?m2g?10?9.8?98kgm/s?98N 由力的平衡关系得

x方向： (G?W)sin??f?(156.8?98)sin30?f?127.4?f?ma z方向： ?(G?W)cos??N??(156.8?98)cos30?N??220.66?N?0

由上式解出N?220.66N，则滑动摩阻力等于正应力N?乘以滑动摩族系数?，由牛顿第三定律知，

??2N?N?，而

f??N?0.3?220.66?66.2N

由此得 ma?127.4?f?127.4?66.2?61.2N

a?(127.4?f)/m?61.2/(10??V)?61.2/(10?1000?0.4?0.2?0.2)?2.354m/s2

由习题2.71已知水面对箱底的倾斜的角度?为

zgsin??a9.8?sin30??2.354tan?????0.3

xgcos?9.8cos30???arctan0.3?16.7?

40

水面与水平面的夹角为

?0?????30??16.7??13.3?

zOx2.74有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平面成30o夹角的倾斜平面向上运动，试求容器中水面的倾角?。

a30解∶

选图中的坐标系，单位质量力在三个坐标轴

? 习题2.74图

的投影为X??acos30、Y=0、Z??asin30?g。由静止液体的平衡方程得

?dp??(Xdx?Ydy?Zdz)???[(acos30?)dx?(asin30??g)dz]

对上式积分得 p???[(acos30)x?(asin30?g)z]?C 在自由液面上，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa，因此有

??p?pa??[(acos30?)x?(asin30??g)z]

在自由液面上，p=pa，则

zacos30? ???xasin30?gacos30?3.6?cos30?tan????0.269 ??asin30?g3.6sin30?9.8??arctan0.269?15.06?

332.75直径d?2m的圆柱筒容器内盛有不相混合的两种液体，重度?1?8kN/m，?2?9kN/m，

（1）容器以加速度a?0.1g沿水平方向直线h1?0.2m，h2?0.3m，容器运动时液体不溢出，试求：运动，容器壁单宽所受的最大静水压力。

pah11pah1h2hzax1h222dd

习题2.75图

解：

将两种液体用一种液体来表示，设第一种液体用第二种液体所代替，换算后的液体深度为h，两种液体交界面为等压面，由图可得

?1h1??2h

h??1h1/?2?8?0.2/9?0.1778m

（1） 求容器壁单宽所受的最大静水压力

当容器以加速度a做直线运动时，其相对运动的静压方程为

?Ydy?Zd)z dp??(Xdx由题意，X??0.1g，Z??g，Y?0，代入上式得

dp???g(0.1dx?dz)

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p???g(0.1x?z)?C

在自由液面上，x?0，z?0，p?0（相对压强），所以C?0，上式变为

p???2(0.1x?z)

或 p/?2??(0.1x?z)

在容器底部，当x??1.0，z??(0.3?0.1778)??0.4778时，压强最大，即

p/?2??(0.1x?z)??[0.1?(?1.0)?0.477]8?0.577m8

容器壁所受的静水压强为

P?12?p12(?)2??9?0.57782?1.502kN

2.76如图所示为一圆柱形容器，其2半径为

2zR=0.15m，当角速度??21rad/s时，液面中心恰好触底，试求：（1）若使容器中水旋转时不会溢出，容器高度H为多少？（2）容器停止旋转后，H容器中的水深h为多少？

h解：

（1）求使容器中水旋转时不溢出的容器高度H Dx

已知??21rad/s，R=0.15m，则

习题2.76图

H??2R22g?212?0.1522?9.80.506m

（2）求水停止后容器中的水深h

旋转抛物体的体积为 V??RR?2r2??23??202?rzdr?2??0r2gdr?g?R0rdr?4gR4

h?V??2R4?22221?0?R2?.152水深为4g?R2?4gR?4?9.8?0.253m

2.77如图所示为一离心分离器，已知半径

zr=0.15m，高H=0.5m，充水深度h=0.3m，若容器绕z轴以等加速度?旋转，试求：容器可以多大极限转速旋转时，才不致使水从容器中溢出。

H解： hxr2 z??2r2g

习题2.77图

z?2r22?4g?H?h

??4(H?h)g4(0.5?0.3)r2??9.80.152?18.67rad/s

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转数为 n?60?60?18.67??178.25转/分 2?2?z2.78如图所示，圆柱形盛水容器半径为R，原水

深为h，今以角速度?旋转，试求：转速超过多大时容器底开始露出。

解：

H由上题已知

z?R，由图中可以看出，?24g22hRxz?H，z/2?h，则

习题2.78图

??4gh2?gh RR2zr022g22.79如图所示的圆桶，设半径r0=0.3m，高z=0.8m，圆桶内盛满水。当圆桶以每分钟60转的等角速度绕其铅垂轴旋转时，求从圆桶中溢出的水量；若是圆桶底中心刚露出水面，求其角速度。

解：

如图所示，以圆桶底部为坐标轴，有 z?z0?zz0xr0y?2r022g

习题2.79图

??2?n/60?2??60/60?2?rad/s

(2?)2?(0.3)2 z?z0???0.18m

2g2?9.8旋转抛物体的体积为 V??2r02??24gr?40??(2?)24?9.8?0.34?0.0256m3

因为圆桶是盛满水的，所以溢出的水量等于V=0.0256m3。

当圆桶中心刚刚露出水面时，z=0.8m，z0=0，则

z??2r022g?0.8

??2gz2?9.8?0.8??13.2rad/s r00.360?60?13.2??126.04l/min 2?2?为零的等压面如图中的虚线所示，因为盖板的阻

挡，迫使水面不能上升，盖板上各点所受的相对

n?2.80设有一盛满水的容器，在盖板中心开一小孔，如图所示。已知容器的高度为H，绕铅垂轴旋转的角速度为ω，试求容器盖板及底部的压强分布，并求盖板上的静水总压力。

解：

当容器以等角速度ω沿铅垂轴旋转时，相对压强

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zxHr0 习题2.80

压强为

p???2r22g

在盖板的中心，p?0，在盖板的边沿，p???2r02/(2g)。其方向铅垂向上。

容器底部各点所受的压强为 p??(?2r22g?H)

在容器的中心，p??H，在容器的边沿，p??(作用在盖板上微小面积的压力为

?2r022g?H)。其方向铅垂向下。

dP?pdA??对上式积分得盖板上的静水总压力为

?2r22g(2?rdr)???2?gr3dr

P??pdA??0r0?2?g?r00rdr??3?2?4gr04

zBA2m1.5m2.81设有一封闭容器，高2m，直径1m，内装水1.5m，如图所示。已知自由表面上气体的压强为11.76N/cm2，如果水箱以12rad/s的角速度旋转，试求水箱底部中心和边沿处的压强，以及相应于底部中心处水深为零的旋转角速度。

解：

容器旋转后，自由表面如图所示。由自由表面方程可得

r1BAz1z2OhDC1mrDx

习题2.81图

122r12 z1???7.347r12 （1）

2g2?9.8由于容器是封闭的，故旋转后形成的无水空间应等于静止时水面所留的空间，即

?r(2?1.5)??r1z1/2 （2） 式中，r=0.5m，联立式（1）、（2）得r1?0.43m，z1?1.355m。因为表面压强

22?2r12p0?11.76N/cm2?117.6kN/m2，底部中心C点得压强为

pC?p0??h?117.6?9.8?(2?1.355)?123.92kN/m2?123.92kPa

底部D点得压强为

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