信号与系统课后答案

第一章

1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。其中X（0-）为系统的初始状态。

（2）y?t??e2f?t? （5）y?t??f?t?cos2t （8）y?t??f?2t? 解：（2）y?t??e2f?t? ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,f2?t??y2?t?，则 y1?t??e2??a1f1?t??a2f2?t???2f1?t?,y2?t??e2f2?t?

那么 a1f1?t??a2f2?t??y?t??e?e2a1f1?t?e2a2f2?t?，显然，

y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以是非线性的。 ② 时不变性

设f1?t??y1?t?,则 y1?t??e2f1?t?,设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??e③ 因果性

因为对任意时刻 t1，y?t1??e2f?t1?，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（5）y?t??f?t?cos2t ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,那么

2f1?t?t0?y1?t?t0??e2f1?t?t0?

?y1?t?t0?，所以是时不变的。

f2?t??y2?t?，则 y1?t??f1?t?cos2t,y2?t??f2?t?cos2t

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?t??a2f2?t???cos2t?a1f1?t?cos2t?a2f2?t?cos2t, 显然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的。 ② 时不变性

设f1?t??y1?t?,则 y1?t??f1?t?cos2t,y1?t?t0??f1?t?t0?cos2?t?t0?

设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??f1?t?t0?cos2t?y1?t?t0?，所以是时变的。 ③ 因果性

因为对任意时刻 t1，y?t1??f?t1?cos2t1，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

1

（8）y?t??f?2t? ① 线性： 设 f1?t??y1?t?,那么

f2?t??y2?t?，则 y1?t??f1?2t?,y2?t??f2?2t?

a1f1?t??a2f2?t??y?t????a1f1?2t??a2f2?2t????a1f1?2t??a2f2?2t?, 显然y?t??a1y1?t??a2y2?t?，所以系统是线性的。 ② 时不变性

设f1?t??y1?t?,则 y1?t??f1?2t?,?y1?t?t0??f1??2?t?t0???

设f1?t?t0??y2?t?,则y2?t??f1?2t?t0??y1?t?t0?，所以系统是时变的。 ③ 因果性

因为对任意时刻 t1，y?t1??f?2t1?，当 t1?0时，t1?2t1，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。

2

第二章

2.12 （a）已知信号f（t）如图所示，试分别画出下列信号的波形。 （1）f（1-t） （2）f（2t+2）

（3）f（2-t/3） （4）[f（t）+f（2-t）]U（1-t）

f(t) 2 1 -1 1 2 3 t -1 解：（1）先将f（t）向左移1得f（t+1）（见图（a））：

f(t+1) f(1-t) 2 2 1 1 -2 1 2 t -2 1 2 t -1 -1 图(a) 图(b)

然后反折即得 f（1-t）（见图（b））。

（2）首先 f（t）向左移2得f（t+2）（见图a）：

f(t+2) f(2t+2) 2 2 1 1 -3 0 1 t -3/2 0 1/2 t -1 -1 图(a) 图(b)

然后将f（t+2）的波形压缩为1/2即得f（2t+2）的波形（见图b）。

3

(3) 首先 f（t）向左移2得f（t+2）（见图a）：

f(t+2) f(t/3+2) 2 2 1 1 -3 0 1 t -9 0 3 t -1 -1 图(a) 图(b)

然后将f（t+2）的波形扩展3倍即得f（2+t/3）的波形（见图b）。 最后将f（2+t/3）进行反折即得f（2-t/3）的波形（见图c）：

f(2-t/3) 2 1 -3 3 6 9 t 图(c)

(4) 先作出f（2-t）的波形 和U（1-t）的波形（见图a和图b）：

f(2-t) U(1-t) 2 1 1 -1 1 2 3 t 1 t 图(a) 图(b)

然后作出f（t）+f（2-t）的波形（见图c）： 最后乘以U（1-t）后的波形如图d。

4

f(2-t)+f（t） 3 3 2 t 1 t 图(c) 图(d)

2.16 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：

?d?3t（2）f?t??? （8）f?t???2?t3?4???1?t?dt e??t??????dt（10）f?t???e????t?????t???dt ???t? （14）f?t???e123?2?tn??????t?n?dt

?解：（2）f?t??d0?e??t??????t? ??dt（8）因为 ??1?t????t?1?，

所以 f?t???2?t3?4???1?t?dt??2?t3?4???t?1?dt?2?t3?4???????t?1?10

??t?????t??dt?e?t（10）f?t???e?t???????t?0??e?t??t?0?2

（14）冲激串

n??????t?n? 中只有 两个：δ（t）和δ（t+1）落在积分区间

?t[-3/2 1/2]之中，因此

f?t???e123?2n??????t?n?dt???123?2?1e????t?1????t???dt?e?1 ?t2.25 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。 （1）y???t??y?t??f??t?,y?0???2,y??0???0 （3）y???t??3y??t??2y?t??f?t?,y?0???1,y??0???0

解：（1）特征方程为：?2?1?0，特征根为 ?1?i,?2??i，因此，yx（t）为：

yx?t??C1eit?C2e?itt?0，代入初始条件并求解，有：

5

?C1?C2?2?C1?C2?1，所以yx?t??eit?e?it?2costt?0 ??iC1?iC2?0（3）特征方程为：?2?3??2?0，特征根为：?1??1,?2??2，

因此，yx（t）为 ：yx?t??C1e?t?C2e?2tt?0 ；代入初始条件并求解，有：

??C1?2?C1?C2?1，所以yx?t??2e?t?e?2t?????C1?2C2?0?C2??1?t?0

2.26 系统框图如图2-58所示，试列出系统的微分方程，求单位冲激响应。

f (t) ? y???t? ?-1 ?y (t)

解：（1）如图，加法器的输出方程为：

y???t??f?t??y??t?，整理后即得系统的微分方程为：y???t??y??t??f?t? （2）求h（t）

特征方程为?2???0，特征根为：?1??1,?2?0，因此，h（t）为：

h?t???C1e?t?C2?U?t?，微分方程中令f（t）=δ（t），并将h（t）代入，得：

?t?t????CeUt?C?t?C?C?t??CeU?t???C1?C2???t??????????11121???????t?

比较两边冲激函数的系数，得：

??C1?C2?0?C1??1??，所以 h?t???1?e?t?U?t? ???C2?1?C2?1

2.33 已知信号如图2-61所示，试分别画出f1?t?*f2?t?的波形。

6

f1(t) 1 -2 0 2 t f1(t) 1 0 1 t f1(t) 2 -1 0 1 t f1(t) 1 sint[U(t)-U(t-π) 0 1 t f2(t)

(1) (1)

-1

0 1 t

a）

f2(t) 1 0 t b）

f2(t) 1 -1 0 1 t -1 c）

f2(t) 2 1 0 t e）

7

（

（

（

（ 解：（a）f1?t?*f2?t??f1?t?*????t?1????t?1????f1?t?1??f1?t?1?,故波形如下：

f(t) 1 2（1-e-1） -3 0 （a）

1 t （b）

0 t f（t） -1 3

（b）f1?t?*f2?t??f1??t?*f2??1??t????2??t??2??t?1???*?2?1?e?t?U?t??21?e?0 ???2?1?e?t???t2e?1e???t?00?t?1t?1??t0e??d?U?t?

????t?1??U?t?1?

波形见（b）

??1?（c）f1?t?*f2?t??f1??t?*f2??1??t???2?t?1?2?t?1*f??????t? 2?? ?2f2??1??t?1??2f2??1??t?1?，而 f2??1??t? 的波形是一个等腰三角形，因此 卷积的波形为：

f(t) 2 0 -2 (e)

2 t （c） ?f1?t?*f2?t??sint?Ut?Ut??*1?Ut?1?sin?d??f?????????1?????0??1??t?*??t?1?

8

?2?f3??1??t?1?,

t?0?0t??1U??U???d???其中 f1???t???sin?????????1?cost0?t?? ???2t???t?1?2?所以，f1?t?*f2?t???3?cost1?t???1

?4t???1?卷积的波形见（d）

f(t)

4

2

0 1 π+1 t （d）

2.49 已知LTI系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为

h1?t??U?t??U?t?1?,h2?t??U?t?,h3?t????t?，求总系统的冲激响应h(t)。

h2（t） Σ f(t) h3（t） h1（t） y(t)

解：由图可知，总的冲激响应为

h?t????h2?t??h3?t???*h1?t????U?t????t???*??U?t??U?t?1???

???d??U?t????d??U?t?1??U?t??U?t?1?tt?100

?tU?t???t?1?U?t?1??U?t??U?t?1??t??U?t??U?t?1????U?t? 9

2.52 求下列系统的零输入响应，零状态响应和全响应。

（1）y???t??3y??t??2y?t??f?t?,f?t???2e?tU?t?,y?0???1,y??0???2 解：特征方程为：?2?3??2?0，特征根为：?1??1,?2??2， （1）求零输入响应

由特征根得yx?t?为：yx?t??C1e?t?C2e?2tt?0 ；代入初始条件并求解，有：

??C1?4?C1?C2?1，所以yx?t??4e?t?3e?2t??????C1?2C2?2?C2??3t?0

（2）求冲激响应h（t）

?t由特征根及微分方程的阶数可知：h?t???Ae在原微分方程中令?A2e?2t?U?t?，1f（t）=δ（t），并将h（t）代入，得：

??A1e?t?4A2e?2t?U?t????A1?2A2???t???A1?A2????t???3???A1e?t?2A2e?2t?U?t???A1?A2???t???????2?A1e?t?A2e?2t?U?t????t?比较两边冲激函数的系数，得：

??A1?1?A1?A2?0?，所以 h?t???e?t?e?2t?U?t? ???2A1?A2?1?A2??1?（3）求零状态响应

?t?2tyf?t??f?t?*h?t???2e?tU?t?*??eU?t??eU?t????

??2??t0ee????t???d?U?t??2???t0e??e?2?t???d?U?t?

???2te?tU?t??2?e?t?e?2t?U?t?因此全响应为：

y?t??yx?t??yf?t???4e?t?3e?2t?U?t??2te?tU?t??2?e?t?e?2t?U?t???6e?2te?5e?t?t?2t?U?t?

2.54 一LTI系统，初始状态不详。当激励为f（t）时全响应为?2e?3t?sin2t?U?t?，当激励为2f（t）时全响应为?e?3t?2sin2t?U?t?。求

（1）初始状态不变，当激励为f（t-1）时其全响应，并指出零输入响应和零状

态响应。

（2）初始状态是原来的两倍，激励为2f（t）时其全响应。

解：设系统的零输入响应为yx?t?，f（t）产生的零状态响应为yf?t?，因为系统是LTI系统，由题设可得

10

?yx?t??yf?t???2e?3t?sin2t?U?t??，解此方程，得 ??3t??yx?t??2yf?t???e?2sin2t?U?t?

?yx?t??3e?3tU?t?? ??3t??yf?t????e?sin2t?U?t?（1） 由时不变性，此时的零状态响应为yf?t?1?，而零输入响应不变，故全响

?3?t?1?应为：y?t??yx?t??yf?t?1??3e?3tU?t????e?sin2?t?1????U?t?1?，

其中 ：

?3?t?1??e?sin2?t?1??零输入响应为 3e?3tU?t?，零状态响应为 ???U?t?1?

（2） 根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，故

?3t全响应为：y?t??2yx?t??2yf?t???4e?2sin2t???U?t?，其中：

零状态响应为6e?3tU?t?，零状态响应为??2e?3t?2sin2t?U?t?

11

第三章

3.10 已知周期电压 u?t??2?2cos?t?45??sin?2t?45??cos?3t?60?，试画出其单边、双边幅度谱和相位谱。

解：u?t??2?2cos?t?45??sin?2t?45??cos?3t?60? ?2?2cos?t?45??cos?2t?135??cos?3t?60?

所以令 ?0?1，即有 A0?2,A1?2,?1?45,A2?1,?1?135,A3?1,?3?60, 因此单边幅度谱和相位谱如下：

A n 2 1

?n

3π/4 π/3 π/4

?0 2?0

3?0 ω ?0 2?0

3?0 ω

根据单双边谱之间的关系得：

111?j?1?j?2?j45?j135F0?A0?2,F?1?Ae?e,F?Ae?0.5e,F?A3e?j?3?0.5e?j60 1?22?3222由此的双边谱如下：

12

Fn 2 1 0.5 ?3?0 ?2?0 ??0 ?0 2?0 3?0 ω

?n

3π/4 π/3 ?3? π/4

0

?2?0 ??0

?0 2?0

3?0

ω

3.12 已知连续周期信号f（t）的波形如图3-58所示。 （1）求指数型与三角型傅里叶级数；

（2）求级数S?1?13?15?17?... 之和。

f(t) 1 …。。 -1 1 2 t

13

解：（1）有图易知T?2,?0?三角型：

2???。 T?2111111?a0??dt?an??cosn?tdt?0,bn??sinn?tdt?1?cosn????n??00202n???0n为奇数n为偶数1?21所以 f?t????sin?2n?1??t??2?1?sin3?t?sin5?t?...?；

2n?1?2n?1??2指数型：

?1111F0?a0?,Fn??an?jbn???1?cosn?????n?222n???0j??2n?1??t??1?12?e?所以 f?t????

2n????2n?1???n??1,?3,?5,...otherwise

??（2）在三角型级数中令t?1，得 2?1?f???1，?2?3?15??1?12?1?12?11?f?????1?sin?sin?...????1???...?，因

252?2?2??3?2??35?所以

2?1111??11???...??1???...?，即 S = π／4. ???352354??3.30 求下列信号的傅里叶变换

（2）U?t/2?1? (4) e?jt??t?2? （6）e?2?t?1???t?1? （8）U?t??U?t?1?

?1??j2?解：（2）因为 U?t/2?1??U?t?2?，所以 U?t/2?1????????? ?ej???（4）因为 e?jt??t?2??e?j2??t?2?，所以，e?jt??t?2???e?j2???1? （6）因为 e?2?t?1???t?1????t?1?，所以，e?2?t?1???t?1??e?j?

???（8）因为 U?t??U?t?1??g1?t?0.5?，所以U?t??U?t?1??Sa??e?j0.5?

?2?3.31 已知信号f1?t? 和f2?t?的带宽分别为?1和?2，并且?1??2，求下列信号的带宽。

14

（1）f1?t?f2?t?

（2）f1?t??f2?t? （5）f1?2t?f2?t?1?

（3）f1?t??2f2?t?

（4）f12?t?*f2?t?

（1）f1?t?f2?t??F?j???宽为?1??2；

1根据卷积的性质可知F?j?? 带F1?j??*F2?j??，

2?（2）因为f1?t??f2?t??F?j???F1?j??F2?j??，所以F?j??的带宽为?2； (3)因为f1?t??2f2?t??F?j???F1?j???2F2?j??，所以F?j??的带宽为?1；

?1?F1?j??*F1?j???F2?j??，所以F?j??的（4）因为f12?t??f2?t??F?j?????2??带宽为?2；

（5）因为 f1?2t?f2?t?1??F?j???12??1?????j??Fj?e??2?2F1?j2??*???，所以

????F?j??的带宽为2?1??2。

3.32 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换 （2）f?t??sin2??t?1?

??t?1?

（4）f?t??1 ?t解：（2）f?t??sin2??t?1?， ?2Sa?2??t?1??????t?1???，令 ??4?，g4??t??4?Sa?2???，根据对称性，得 ????因为g??t???Sa??24?Sa?2?t??2?g4??????2Sa?2?t??g4????，再由时移性质得： f?t??g4????e?j? （4）因为 sgn?t??

22，根据对称性，有?2?sgn????，因此 j?jt1??jsgn??? ?t3.33 已知f?t??F?j??，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换

15

（1）f?3t?5? （9）?t?5?? （7）t

f???d?

ddf?t? （8）e?j?0tf?t? dtdtd1（11）f?t?* （15）f?t?cos2t

dt?t?1????j53解：（1）f?3t?5??F?j?e

3?3?df?t??j?F?j??，再由频域微分性质，得 dtddd ?jtf?t??j?Fj??jFj??j?F?j??，所以 ????????dtd?d?dd tf?t???F?j????F?j??

dtd?d（8）由时域微分性质有 f?t??j?F?j??，再根据频移性质即得

dtd e?j?0t f?t??j???1?F?j???1????dt（7）由时域微分性质有 （9）由积分性质有 ?

t??f???d??F?j????F?0?????，再根据时移性质，得 j??t?5??f???d??F??j???5???j???5???F?0?????5?

（11）由时域微分特性，有

df?t??j?F?j?? ，由对称性可得 dt1??jsgn???，最后根据卷积定理，得 ?td1f?t?*???j?F?j???????jsgn???????F?j?? dt?t（15）因为 cos2t????????2??????2???，根据频域卷积定理，得

f?t?cos2t?111F?j??*?????2????2?Fj??2?F?j???2?????????????????2?22??

3.44 已知系统的微分方程如下：

（a）y???t??4y??t??3y?t??f?t?； （b）y???t??5y??t??6y?t??f??t??f?t? （1）求系统的频率响应H（jω）和冲激响应h（t）； （2）若激励f?t??e?2tU?t?，求系统的零状态响应yf?t?。 解：（a）

（1）由微分方程可知系统的频率响应为

16

H?j???11?1?j??2?4j??3?2??j??1?1?j??3?，因此冲激响应为?h?t??12?e?t?e?3t?U?t? （2）设 f?t??F?j??,y1f?t??Yf?j??，则F?j???j??2，由频域分析Yj???F?j??H?j???1?1?1f?j??2??? ??j??2?4j??3????j??1??j??2??j??3?可令YA1f?j???j??1?A2j??2?A3j??3 ，其中 A1??j??1?Yf?j??j???1?1?j??2??j??3??1j???12 A??j??2?Y12f?j??j???2??j??1??j??3???1 j???2A3??j??3?Y11f?j??j???3??j??1??j??2?? j???32即 Yf?j???1/2?11/j??1?j??2?2j??3，因此零状态响应为 y??1?2e?t?e?2t?1?f?t??2e?3t??U?t?

（b）

（1）由微分方程可知系统的频率响应为

H?j???j??11?j??2?j5??6??j??2?2j??3，因此冲激响应为h?t????e?2t?2e?3t?U?t?

（2）设 f?t??F?j??,yf?t??Yf?j??，则F?j???1j??2，由频域分析Y??F?j??H?j???1?j??1?j??1f?j?j??2????j??2?5j??6?????j??2?2?j??3? 可令YA23f?j???A1?j??2?2?Aj??2?j??3 ，其中

17

A1??j??2?Yf?j??2j???2?j??1?j??3???1

j???2d?2A2?j??2?Yf?j?????d?j???j???2?j??1??????j??3??j???22?j??3?2j???2?2

A3??j??3?Yf?j??即 Yf?j????1j???3?j??1?j??2?2j???3??2

?j??2?2?2?2d?1?2?2， ???j????j??2j??3d??j??2?j??2j??3因此零状态响应为

yf?t????te?2t?2e?2t?2e?3t?U?t?

3.46 已知LTI系统的频率响应如图3-75所示，其相频特性?????0。求当输入为f?t?? H(jω) 1 n????e??jn?/2ejn?0t，其中?0?1rad/s 时的输出y（t）。

-2.5 2.5 ω

解：因为 Aej?1t?AH?j?1?eH?jn?0?ejjn?0tj?1t 且 f?t??n????e??jn?/2ejn?0t，所以

y?t??n???j??e??jn?/2??2n??2?e2?jn?/2H?jn?ejnt

??jt?ee?j2t?e2e?1?e?jejt?e?j?ej2t?1?2sint?2cos2t

3.50如图3-78所示系统，已知输入信号f（t）的频谱为F（jω），H2（jω）=

g6???，试画出x（t）和y（t）的频谱。

18

H1?j??f(t) × -5 cos5t -3 1 3 5 ω cos3t x(t) × H2?j?? y(t)

F?j?? 1 -2 2 ω

解：设x?t??X?j??，又设第一个乘法器的输出为f1?t??F1?j??，则

f1?t??f?t?cos5t，根据频域卷积定理，有：F1?j???111 F?j??*?????5????5?Fj??5?j???5?????????????F?????2?22由频域分析可知，X?j???F1?j??H1?j??，其波形如图a所示：

X(jω) -2

Y(jω) 2

1 2-5 -3 图a

3 5 ω 1 42 图b

ω

1?1?j??3?Xj??3???类似地，Y?j????X?其波形如图b所示。 ??????2???H2?j??，2??3.61已知系统的微分方程和激励如下，求系统的稳态响应。 （1）y??t??1.5y?t??f??t?,f?t??cos2t

f?t??cos2t?3

19

（2）y??t??2y?t???f??t??2f?t?,

解：（1）系统频响为 H?j???j?j??1.5，当ω=2时，频响

H?j2??j2?1.5?0.8ej36.9j2，因此稳态响应为

yss?t??H?j2?cos?2t???2???0.8cos?2t?36.9? （2）系统频响为 H?j????j??2j??2，设 cos2t?yss1?t?,3?yss2?t?，因为 H?j2???j2?2j2?2?e?j?2，H?j0???j0?2j0?2?1，所以 y?j2?cos?2t???2???cos????ss1?t??H?2t?2???sin2t，

yss2?t??H?j0?3?3

最后，总的稳态响应为 yss?t??yss1?t??yss2?t??sin2t?3

3.63 已知某理想高通滤波器的频率特性如图3-86所示，求其冲激响应。H?j?? ???? ２ －５ω －２π ２π ω ω 解：系统的频率响应为

H?j???H?j??ej?????2??1?g?j5??2e?j5??2g?j5?4??????e4????e 因为 2??t?5??2e?j5?，由对称性及时移性质可求得

4Sa??2??t?5????2g?j5?4????e，因此 冲激响应为 h?t??2??t?5??4Sa??2??t?5???

20

3.66 如图3-89所示系统，已知f?t??

cos4t × y1(t) Σ f(t) y2(t) y(t) sin2t,H?j???jsgn???，求输出y(t). ?tH?j?? × sin4t

解：如图，y?t??y1?t??y2?t?，因此 Y?j???Y1?j???Y2?j?? 由对称性求得 f?t??F?j???g4???，因为 y1?t??f?t?cos4t，所以

Y1?j???而

Y2?j???1111F?j??4?Fj??4?g??4?g4???4? ??????????2??242?21?F?j??H?j????*j???????4??????4????2??1???g4???sgn???? ?*??????4??????4???2?11??g4???4?sgn???4??g4???4?sgn???4?22??因此 Y?j???Y1?j???Y2?j???g2???5??g2???5??g12????g8???（此结果需借助图形才比较容易得到，即 将Y1?j??,Y2?j??的波形画出并相加） 因为

sin6tsin4t?g12???,?g8??? ?t?t 21

所以 y?t??sin6tsin4t2sintcos5t2???Sa?t?cos5t ?t?t?t?3.52 已知基带信号f1?t?带限于?1，信号f2?t?带限于?2，求对下列信号进行理想抽样时，所允许的最大抽样间隔T。 （1）f1?t?f2?t? （4）f12?t?

（2）f1?t??f2?t? （5）f1?3t?

（3）f1?t??f2?t?

（6）f1??t?5?f1?t?

解：（1）因为 f1?t?f2?t??F?j???1F1?j??*F2?j??，根据卷积的性质可2?知F?j?? 带限于?1??2，因此最大抽样间隔为T????1??2?；

（２）因为 f1?t??f2?t??F?j???F1?j???F2?j??，易知F?j?? 带限于

max??1,?2?，因此最大抽样间隔为T??；

max??1,?2?（３）因为 f1?t?*f2?t??F?j???F1?j??F2?j??，易知F?j?? 带限于

min??1,?2?，因此最大抽样间隔为T?（４）因为 f1?t??F?j???2?；

min??1,?2?1根据卷积的性质可知F?j?? F1?j??*F1?j??，

2?带限于2?1，因此最大抽样间隔为T?? 2?11???（５）因为 f1?3t??F?j???F?j?，根据尺度变换的性质可知F?j?? 带

3?3?限于3?1，因此最大抽样间隔为T?（６）因为f1??t?5?f1?t??F?j????； 3?11j5???F?j?e*F1?j??，由尺度变换及??1??2?卷积的性质可知，F?j??带限于2?1，因此最大抽样间隔为T?

?； 2?122

第四章

4.4 求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。 （1）e?tU??t?

（3）??t??e?2tU?t?

（5）e?t?2U?t?2?解：（1）F?s????e?tU??t?e?stdt??0????e??s?1?tdt??1s?1,Re?s???1 （3）F?s??????????t??e?2tU?t???e?stdt?1?1s?2,Re?s???2 2s?2（5）F?s?????t?2??eU?t?2?e?stdt?e2??s?1?t?2e???e??dts?1,Re?s???1

4.5 求下列信号的单边拉氏变换。 （2）2??t??3e?7tU?t? （4）e?tU?t??e??t?2?U?t?2? （6）?1?e?t?U?t? （8）U?t??2U?t?1??U?t?2? （10）?t?1?U?t?1?

（12）?1?cos?t?e??tU?t?

解：（2）2??t??3e?7tU?t??2?32ss?7??17s?7 （4）e?tU?t??e??t?2??1e?2s1?e?2sUt?2??s?1?s?1?s?1

（6）?1?e?t?U?t??11s?s?1?1s?s?1?

（8）U?t??2U?t?1??U?t?2??1??s21?2e?s?e?2s???1?e?ss

10）?t?1?U?t?1??e?s（s2

（12）?1?cos?t?e??tU?t??1s??s????s???2??2

23

4.10 求下列函数的拉氏逆变换f(t)。

s3?s2?1（2）

?s?1??s?2?（6）

s

1?e?4s（4） 25s?s?2??s?4?s?3 （8）

s?5 2s?s?2s?5?（10）

?s?2??s?1?3

s3?s2?14s?5解：（2）首先，， ?s?2?s?1s?2s?1s?2????????然后令

AA4s?54s?54s?5?1?2，其中 A1??1,A2??3

s?1s?2s?1s?2s?2s?1????s??1s??2s3?s2?113因此 ，于是 ?s?2??s?1s?2s?1s?2????f?t?????t??2??t??e?tU?t??3e?2tU?t?

1111（4） 因为 tU?t??2，由时移特性即得 f?t??tU?t???t?4?U?t?4?

55s55（6）令

s?s?2??s?4?s??A1Ass?2，其中A1???1,A2??2 s?2s?4s?4s??2s?2s??4因此

?s?2??s?4??12?，从而 f?t??2e?4t?e?2tU?t? s?2s?4??（8）令

A2?s?1?A3A1s?5???，其中 22222s?s?2s?5?s?s?1??2?s?1??2A1?A2?s?1?s?5A3s?51?1???，因此 ，通分22222s2?2s?5s?0s?s?2s?5?s?s?1??2?s?1??2A2?1?s2??A2?A3?2?s?5?s?5?后得 ，比较分子的各项系数，得 22s?s?2s?5?s?s?2s?5?A2??1,A3?0，故

?s?1?，从而 s?51??2s?s2?2s?5?s?s?1??22f?t???1?e?tcos2t?U?t?

24

（10）令

s?3?s?2??s?1?3s??23?A23A1A21A22，其中 ???32s?2?s?1??s?1?s?1A21?s?3?2s?2s??1

A1?s?3?s?1???1,?1?s?3??A22????s?2??s??1?s?2??2s??1??11?s?3???A23???2?s?2?所以

1s??1?s?2?3s??1?1s?3?s?2??s?1?3??12?11，从而 ???s?2?s?1?3?s?1?2s?1f?t???e?2tU?t???t2?t?1?e?tU?t? 4.16由时域卷积定理求下列信号的卷积。 （1）f1?t??tU?t?,f2?t??e?2tU?t? （4）f1?t??tU?t?1?,f2?t??U?t?3? （7）f1?t??U?t??U?t?4?,f2?t??sin?tU?t? 解：（1）设f1?t??F1?s?,f2?t??F2?s?，则 F1?s??积定理，f1?t?*f2?t??F1?s?F2?s??A11A12A21???，其中

s2?s?2?s2ss?211,由卷,Fs???22ss?21，作部分分式展开，有

s2?s?2?11A11??,s?2s?02A2?1s2?s??2?1??A12????s?2??s?0?1?s?2?2s?0??14

14因此，

11/2?1/41/4???，所以 22s?s?2?sss?2111f1?t?*f2?t??tU?t??U?t??e?2tU?t?

244 25

（4）设 f3?t??U?t?,记f?t??f1?t?*f2?t?,y?t??f1?t?*f3?t?，那么

f?t??y?t?3?。下面先求y?t?。

设 f1?t??F1?s?,f3?t??F3?s?，则 F1?s?理，y?t??F1?s?F3?s??s?1?e?s??,s21F3?s??,由卷积定

s?s?1?e?s??1s3?3?s?1??se， 因为2?s?121112tU?t??tU?t??3?2,所以 y?t???t?1?U?t?1???t?1?U?t?1?，从而 2ss2f?t??y?t?3??12?t?2?U?t?2???t?2?U?t?2?2

?1???t2?3t?4?U?t?2??2?（7）记 f?t??f1?t?*f2?t?，设 f1?t??F1?s?,f3?t??F2?s?，则

1?e?4s?F1?s??,F3?s??2，由卷积定理可知 2ss??f?t??F?s??F1?s?F2?s????1?e?4s?s?s2??2?，令

?s?s2??2??ABs?C，则 ?22ss??A??s??22s?0?1?，将上式右边通分，有

1?s?s??22?1???s2??2??s?Bs?C?s?s2??2??1?2?B??s?Cs????，比较分子的各项系数，??22s?s???得 B???,C?0，因此F?s??1?1s??1?e?4s?，于是 ?22????ss???0t?0??111?f?t???1?cos?t?U?t???1?cos?t?4Ut?4????????1?cos?t?0?t?4 ??????0t?4??4.20 已知某LTI系统的阶跃响应g?t??e?tU?t?，若系统的输入f?t??tU?t?2?，求该系统的零状态响应yf?t?。

26

解：设g?t??G?s?，则G?s??11，易知G?s??H?s?，因此系统函数 s?1sH?s??sG?s??s；又设f?t??F?s?,yf?t??Yf?s?，因为s?12s?1f?t??tU?t?2???t?2?U?t?2??2U?t?2?，所以F?s??2e?2s，故

sYf?s??F?s?H?s??2s?1?2s?11??2se????e，因此

s?s?1??ss?1???t?2??U?t?2? yf?t???1?e??4.27已知系统的微分方程为 y???t??3y??t??2y?t??f??t??3f?t?，求在下列两种情况下系统的全响应。 （1）f?t??U?t?,y?0???1,y??0???2 y?0???1,y??0???2

1,对微分方程两边取拉氏变换，有 s（2）f?t??e?3tU?t?,解：（1）

设f?t??F?s?,y?t??Y?s?，则F?s???s2Y?s??sy?0???y??0???3?Ys?y0代入初始条件与????????2Y?s???s?3?F?s?，

F?s?并解此代数方程，得： Y?s??s?5s?3，作部分分式展开，得 ?s2?3s?2s?s2?3s?2?3552?3?Y?s??2??2，所以全响应为 y?t????2e?t?e?2t?U?t?

2ss?1s?2?2?1，将它和新的一组初始条件代入上面关于象函数的代数方s?3s?6程中，解得：Y?s??2，作部分分式展开，得

s?3s?254Y?s???，所以全响应为y?t???5e?t?4e?2t?U?t?

s?1s?24.30 如图4-32所示电路，求 （1）系统的单位冲激响应h(t)； （2）此时F?s??（2）欲使系统的零输入响应uCx?t??h?t?,系统的初始状态；

（3）欲使系统在单位阶跃信号激励下，全响应为uC?t??U?t?，系统的初始状态。

27

iL?t? + f(t) - 1H 2Ω + 1F - uC?t?

解：先画出电路的复频域模型如下：

iL?t? s - iL?0??+ 2Ω + F(s) - 1 s+ UC?s?

- uC?0??s+ -

(1) 先求系统函数。在复频域模型中令iL?0???0,uC?0???0，此时由分压公式，得UC?s??U?s?111/s?2? F?s?，因此H?s??C2F?s?s?2s?1?s?1?s?2?1/s所以冲激响应为 h?t??te?tU?t?

（2）在复频域模型中，令F?s??0，此时由分压公式，得

??????u0u0????1/s1CC???iL?0?????iL?0???，要使 UCx?s??s?2?1/s?s?s2?2s?1?s?????UCx?s??H?s?，则应有iL?0???1A,uC?0???0 （3）此时F?s??1，由复频域模型可得 s28

UC?s??UCx?s??UCf????u0??11C??iL?0????2?2F?s?s?2s?1?s?s?2s?1???1?siL?0??uC?0??1????s?s2?2s?1???1要使UC?s??，应有iL?0???0,uC?0???1V。

s4.36 如果LTI因果系统H（s）的零极点分布如图4-35所示，且H（0）=1，求 （1）系统函数H（s）的表达式 （2）系统的单位阶跃响应。

jω jω

-6 -2 1 σ -6 -2 -1 1 σ （a） （b）

解：（a）

A?s?2?（1）由零极点图可设系统函数为 H?s??，由H?0??1?A??3，

s?6s?1????故H?s???3?s?2?

?s?6??s?1??3?s?2?1（2）设g?t??G?s?，则G?s??H?s??，做部分分式展开，得

ss?s?6??s?1??3?s?2?9?12/79/7?2，所以阶跃响应g?t???1?e?6t?et?U?t? ???7?s?s?6??s?1?ss?6s?1?7（b）

A?s?1?（1）由零极点图可设系统函数为 H?s??，由

s?5s?2s?1??????H?0??1?A??10，故H?s???10?s?1?

?s?5??s?2??s?1? 29

1（2）设g?则G?s??Hs?t??Gs??，

s得

???10?s?1?ss1??5s???2s????，做部分分式展开，

?10?s?1?1?15?5，所以阶跃响应????s?s?5??s?2??s?1?ss?5s?2s?1g?t???1?e?5t?5e?2t?5e?t?U?t?

4.41 系统框图如图4-40所示，试求：

（1）系统的传输函数H（s）和单位冲激响应； （2）描述系统输入输出关系的微分方程；

（3）当输入f?t??2e?3tU?t?时，系统的零状态响应； （4）判断系统是否稳定。

2 f(t) Σ － － 3 s?1 s?1 x (t) Σ y (t) 2

解：（1）如图设最后一个积分器的输出为x?t?，写两个加法器的输出方程，得

??x???t??f?t??3x??t??2x?t?，在零状态条件下取俩式的拉氏变换，得 ??yt?2xt?xt????????F?s???s2?3s?2?X?s?Y?s???2s?1?X?s?，因此 H?s??Y?s?2s?1 ?2F?s?s?3s?2?13?，因此 h?t???3e?2t?e?t?U?t? s?1s?2（2）由系统函数可知微分方程如下 做部分分式展开，得H?s??

y???t??3y??t??2y?t??2f??t??f?t?

30

（3）（2）利用因果信号卷积和的性质知

?n?1?m?1??1?1?2?Un*Un?Un??????????????1?m?21??2????02??nn?1U?n??2?1??12??n?1?U?n?

?（3）首先 原式 ?U?n?*U?n??2U?n?*U?n?4??U?n?4?*U?n?4?；因为

?n?U?n?*U?n????1?U?n???n?1?U?n?，根据时移特性，得

?m?0?原式 ??n?1?U?n??2?n?3?U?n?4???n?7?U?n?8? 5.26 已知LTI系统的差分方程为y?n??0.5y?n?1??f?n?； （1）求系统的单位样值响应h?n?； （2）求系统对于下列输入的响应

(a)f?n????0.5?U?n?n(b)f?n????n??0.5??n?1?

n解：（1）特征方程为 ??0.5?0，特征根为 ???0.5，所以h?n??C??0.5?U?n?。因为h?0???0.5h??1????0??1，所以C?1，故h?n????0.5?U?n?； （2）（a）

n?nmn?m?nyf?n??f?n?*h?n????0.5?U?n?*??0.5?U?n??????0.5???0.5??U?n???n?1???0.5?U?n??m?0?nn（b）

yf?n??f?n?*h?n????0.5?U?n?*????n??0.5??n?1??????0.5?U?n??0.5??0.5?nn?1nU?n?1????n?

5.27 已知LTI系统的差分方程及初始条件为：

y?n?2??3y?n?1??2y?n??f?n?,yx?0??1,yx?1??2。 （1）绘出系统框图；

（2）求系统的单位样值响应；

（3）若f?n??U?n?1?，求系统的全响应，指出零输入和零状态响应； （4）比较全响应在n=0，n=1的值与初始值，二者不同的原因是什么？ 解：（1）将原微分方程整理为 y?n?2???3y?n?1??2y?n??f?n?，因此得系统的模拟框图如下

36

f(n) Σ D -3 -2 D y(n)

（2）特征方程为 ?2?3??2?0，特征根为?1??1,?2??2，

先求系统y?n?2??3y?n??2y?n??f?n?2?的单位样值响应h1?n?,则易知原系统的单位样值为h?n??h1?n?2?。根据上述特征根可知，

nnh1?n???C1??1??C2??2??U?n?，并有 h1??1??0,h1?0??1，代入后可得

??C1?C2?1??C1??1? 解得 ，因此 ???1?1C?2??2?C1??1??C2??2??0h?n??h1?n?2??????1??n?2?2??2?n?2?U?n?2?

?nn（3）首先系统的零输入响应为 yx?n??A1??1??A2??2?,n?0，根据初始条件，有

A1?A2?1??A1?4 解得 ? ?A?1?A?2?2A??3????2?2?1因此 yx?n??4??1??3??2?,n?0； 其次零状态响应为

nnyf?n??f?n?*h?n??U?n?1?*????1??n?2?2??2?n?2?U?n?2???n?1?n?1m?m???????1??U?n?1??2????2??U?n?1??m?0??m?0?1???1?1???2???U?n?1??2U?n?1?1?(?1)1?(?2)2nn??11?????1????2??U?n?1?3?62?2nn??11?????1????2??U?n?3?62?因此全响应为

37

nn

2nnnn??11y?n??yx?n??yf?n???4??1??3??2??U?n??????1????2??U?n???3?62?11nn??19?????1????2??U?n?3?62?

（4） 由上可知 y?0??yx?0??yf?0??1,y?1??yx?1??yf?1??3，y?0?与yx?0?相同，y?1?与yx?1?不同。

原因：将f?n??U?n?1?代入差分方程中并令n??2,?1可得

??y?0???3y??1??2y??2??U??1?，可知y?0?与激励无关，故与yx?0?相同； ?y1??3y0?2y?1?U0??????????而y?1?与激励有关，故与yx?1?不同。

n5.29 已知LTI系统单位阶跃响应g?n??2?1??0.5??U?n?，求系统在激励

??f?n??0.5nU?n?时的零状态响应。

解：因为 h?n??g?n??g?n?1?，所以零状态响应

yf?n??f?n?*h?n??f?n?*??g?n??g?n?1????f?n?*g?n??f?n?*g?n?1? 记 y?n??f?n?*g?n?，则yf?n??y?n??y?n?1?，下面求y?n??f?n?*g?n?

y?n??f?n?*g?n??0.5nU?n?*2?1?0.5n?U?n??n?n?m??2??0.5?U?n??2??0.5m0.5n?m?U?n?

?m?0??m?0???4?4?0.5??n?1n?2?n?1??0.5??U?n??所以yf?n??y?n??y?n?1??n?0.5?nn?1U?n?

5.36 如图5-27所示，复合系统由三个子系统组成，其单位样值响应分别为：试求复合系统的单位样值响h1?n???0.5?U?n?,h2?n????n?2?，h3?n??U?n?，应。

38

h1?t? h2?t? Σ htf(n) 3?? y(n)

解：令f?n????n?，此时系统的输出即为其单位样值响应。有图可知

h?n??????n?*h1?n?*h2?n????n???*h3?n??h1?n?*h2?n?*h3?n??h3?n???0.5?nU?n?*??n?2?*U?n??U?n??U?n???n?2?m???0.5

?0??U?n?2?m?U?n??2?1?0.5n?1?U?n?2???n??3?4???1???2????U??n??2??n?

39

第六章

6.6 根据定义求下列序列的双边z变换画出其零极点图，并注明收敛域。

?1?（2）f?n?????U??n?1?

?2?（6）f?n??2nU?n??0.5nU?n? 解：（2）

n

?1?（4） f?n????

?2?n?1?2zzn?1??1??n?n，收F?z??????U??n?1?z?????z????2z????221?2zz?0.5??n????n????n?1?nn敛域为 2z?1，即 z?（4）

F?z??1 2?nnn??????11?nzz?1.5z?1??n??1??nz????z????z???? 2z?2z?0.5?z?0.5??z?2?n????2?n?0?2?n其中第一个求和的条件为收敛域为

11z?1，即z?2；第二个求和的条件为z?，因此221?z?2 2（6）f?n?为因果序列，其双边变换与单边变换相同，所以

z?2z?2.5?zz，收敛域为 z?2 F?z????z?2z?0.5?z?2??z?0.5?6.14 已知因果序列f?n?的z变换为F?z?，求下列信号的z变换。 （1）e?anf?n?

（3） ?akf?k?

k?0n（5）f?n?1?U?n?1? 解：（1）e?anf?n??F?eaz?

（3）因为 ?af?k??af?n?*U?n?，所以 ?akf?k??knk?0k?0nnz?z?F?? z?1?a?（5）f?n?1?U?n?1??z?1F?z?

6.15 求下列单边z变换所对应的序列f?n?。

40

（2）F?z???5z?4z?1??3z?2?

（4）F?z??4z?z?1?2?z?1?

?1（6）F?z??z?1?6z?1?2

解：（2）令F?z??A1Azz?1?24z?2,则

35A?1?F?z??12?1；A?2?F?z??1251???z?4??z?1??z?1z?2?z?3??z?1

43z?14z?2z?1??34z?23因此F?z??zz?1?z4z?2，于是对应的序列为 3f?n?????1????n?4?????2?n??3????U??n?

（4）令

F?z?A11A12A2z??z?1?2?z?1?z?1,则 AF?z?11??z?1?z?4z?1?2； z?1z?1Ad?F?z???4???412?dz??z?1??z????1?z?1?z?????1；

z?1?z?1?2z?1Az?2??z?1?F?z?4

z??1?z?1?2?1z??1因此

F?z?z?2z?z?1?2?zz?1?zz?1，于是对应的序列为 f?n????2n?1???1?n??U?n?

（6）象函数即 F?z??z16z?z?6?2?6?z?6?2，因此对应的序列为 f?n??6n?1nU?n? 6.26 求下列系统的全响应

（5）y?n??2y?n?1??y?n?2??3nU?n?,y?0??y?1??0

41

解：（5）先求出y??1? 和y??2?：

??y?0??2y??1??y??2??1，解得y??1??3,y??2???5 ?y1?2y0?y?1?3????????然后对差分方程取z变换，得

?1?2?1?Y?z??2?zYz?y?1?zYz?zy??1??y??2??????????z，解得 z?32y??1??y??2??y??1?z?1zY?z???1?2z?1?z?2?1?2z?1?z?2??z?3??z?2z?9?2

?z?1??z?3?2做部分分式展开，可得

2397zzz239n?nn?716164yn??n?1??1?3?U?n? ，所以Y?z??????????2?41616z?1z?3???z?1?6.36 已知离散时间LTI系统对输入信号U?n?的零状态响应为y1?n?，当输入为某信号f?n?时，其零状态响应为y?n???y1?k?,试求该激励信号f?n?。

k?0n解：根据已知条件，y1?n?即为系统的阶跃响应。设y1?n??Y1?z?，则

Y1?z??H?z?nz；设y?n??Y?z?，则Y?z??H?z?F?z?，又因为 z?1z，从而得到 z?12y?n???y1?k??y1?n?*U?n?，因此Y?z??Y1?z?k?0zzz?z??z?Fz???，解得 H?z?F?z??Y1?z??H?z???????2z?1z?1z?1z?1?????z?1?2所以 f?n???n?1?U?n?

6.29 离散时间LTI系统的框图如图6-7所示，求 （1）系统函数H?z?； （2）系统单位样值响应h?n?； （3）系统的单位阶跃响应g?n?。

42

f(n) D D D 2 3 -1 Σ y(n)

解：（1）由图可知 y?n??3f?n?1??2f?n?2??f?n?3?，两边取z变换，有

Y?z???3z?1?2z?2?z?3?F?z?，因此系统函数为H?z??（2）根据系统函数可得系统的单位样值响应为 h?n??3??n?1??2??n?2????n?3? （3）设g?n??Gz?Y?z??3z?1?2z?2?z?3 F?z??，则G?z??H?z?zz?因此，系统的?3z?1?2z?2?z3??z?1z?1阶跃响应为 g?n??3U?n?1??2U?n?2??U?n?3?

6.43 已知离散LTI因果系统的零极点如图6-13所示，且系统的H????2，求 （1）系统函数H?z?； （2）系统单位样值响应h?n?； （3）系统的差分方程；

（4）已知激励为f?n?时，系统的零状态响应为y?n??U?n?，求f?n?。

jIm[z] -3 ○ -2 -1 ○ 0 Re[z]

解：（1）根据零极点图可将系统函数设为

H?z??Az?z?2?4z?z?2?，由 4 可得A = 4，故H?z??

z?1z?3z?1z?3????????4z?z?2?2z2znn，所以h?n???2??1??2??3??U?n? ?????z?1??z?3?z?1z?3（2）H?z??4z?z?2?4?8z?1（3）因为H?z??，所以差分方程为 ??1?2?z?1??z?3?1?4z?3z

43

y?n??4y?n?1??3y?n?2??4f?n??8f?n?1? （4）设y?n??Y?z?，则Y?z??zz?1，因为Y?z??H?z?F?z?，因此 z1F?z??Y?z??z?1?z?1??z?3?z??4z?z?2??4H,作部分分式展开，有????z?2??z?1z?1z?3??1?z?1F?z??4??z?3??z?2??z?1???3/81z2zz?24z?2?3z?1，所以

f?n???38??n???n?2?3?124??2????U?n??1?21n?1?4??n????3?12??2???U?n?1?

6.55 已知一节离散系统的系统框图如图6-18所示，求

（1）系统的差分方程；

（2）若系统的激励为f?n??U?n??cos??n???6???cos?n??，求稳态响应。 1/5 f(n) Σ y(n) 4/5 z?1 解：（1）由框图易得系统差分方程如下

y?n??415y?n?1??5f?n?

(2)系统频响为H?ej???0.21?0.8e?j?，可求得 H?ej0??1?ej?H?6???0.2j?0.396e?j52.5 ???1?0.8e?6H?ej???0.211?0.8e?j??9因此系统的稳态响应为：

y?n??U?n??0.396cos??n?ss?52.5??6???19cosn?

44

6.58 已知某离散LTI反馈系统框图如图6-20所示，其中

2H1?z??,H2?z??1?Kz?1，求使得系统稳定的K的取值范围。 ?12?zf(n) Σ x(t) H1?z? y(n) -1 H2?z?

解：如图设加法器输出为x（t），根据框图可得如下方程：

??X?z??F?z??H2?z?Y?z?，解此方程可得系统函数为 ???Y?z??X?z?H1?z?Y?z?H1?z?z2H?z????2?F?z?1?H1?z?H2?z?4z??2K?1?zz2，其两个极点为

2K?1??4z?z?4???z1?0,z2?2K?1，因此，当且仅当z2在单位圆内时，系统稳定，由此得到以下42K?153?1，解得 ??K? 422不等式：z2?1，即

（注：题中未加以说明的，默认它为因果系统）。

第七章

7.9 已知连续时间LTI系统的信号流图如图7-30所示，求其系统函数H?s?。

-1 1 1 F(s) -1 -1 s?1 s?1 s?1 1 10 Y(s)

解：

流图中的环路及其增益为

45

L1??10s?3L2??10s?2L3??s?1

L4??10s?2没有两两不接触的环路； 前向通路及其增益为

g1?10s?3g2?10s?2

特征行列式为

??1??L1?L2?L3?L4??1?s?1?20s?2?10s?3 各前向通路的余子式为

?1?1,?2?1

因此根据梅森公式，得

10s?2?10s?310s?10H?s????

?1?s?1?20s?2?10s?3s3?s2?20s?106s?157.15 已知连续时间LTI系统的系统函数为 H?s??3，试分别画出其

s?9s2?18s直接形式、串联形式及并联形式的信号流图。 解：直接形式：

kkK?g?6s?156s?2?15s?3H?s??3? 2?1?2s?9s?18s1?9s?18s6 1 F(s) s?1 -9 s?1 s?1 15 Y(s) -18

串联形式：

6s?1516s?151H?s??3?，流图如下 2s?9s?18sss?3s?6 46

6 1 F(s) s?1 s?1 -3 15 s?1 -6 1 Y(s)

并联形式：

6s?155/61/3?7/6，得并联形式如下： H?s??3???2s?9s?18sss?3s?6s?11 1 F(s) 1 5/6 s?1 -3 1/3 Y(s)

s?1 -6 -7/6

7.28 已知离散时间LTI系统的差分方程为

y?n??3y?n?1??7y?n?2??5y?n?3??3f?n??5f?n?1??10f?n?2?，试画

出其直接形式、串联形式及并联形式的信号流图。

解：先求出系统函数。由差分方程可得系统函数为：

3?5z?1?10z?2H?z??。

1?3z?1?7z?2?5z?3直接形式：

3 -5 1 F(z) 10 z?1 3 z ?1z Y(z) ?1-7 5

串联形式：

47

?3?5z?1?10z?2z3z2Hz??1?3z?1?7z?2?5z?3??5z?10z?1z2?2z?5，得串联形式如下

1 3 1 z?1 1 z?1 z?1 -5 10 F(z) 1 2 -5 并联形式：

H?z??3?5z?1?10z?21?3z?1?7z?2?5z?3?2zz?1?z2z2?2z?5，得并联形式如下

1 z?12 1 1 Y(z) F(z) z?1 z?1 2 -5 7.33 列写图7-43所示电路的状态方程和输出方程。 7.35 已知系统的微分方程为：

d3dt3y?t??8d2dt2y?t??19ddty?t??12y?t??4ddtf?t??10f?t? 试求其状态方程和输出方程。

解：由微分方程得系统函数为

H?s??4s?10s3?8s2?19s?12，据此画出系统的信号流图如下：

Y(z)

48

4 1 F(s) s?1 λ-8 3 s?1 λ-19 -12 2 s?1 λ1 10 Y(s)

选择积分器的输出作为状态变量，得到状态方程和输出方程为 状态方程：

??1??2??2??3 ?????12??19??8??f?t?123?3输出方程：y?t??10?1?4?2

z2?2z?37.46 已知离散系统的系统函数为 H?z??3，试求其状态方程和输2z?3z?2z?1出方程。

解：根据系统函数画出系统的信号流图如下：

1 1 F(z) 2 z λ-3 3 ?1z?1 λ-2 -1 2 z?1 λ1 3 Y(z)

选择延时单元的输出作为状态变量，得状态方程和输出方程如下： 状态方程：

?1?n?1???2???2?n?1???3 ????n?1?????2??3??f?n?123?3输出方程：y?n??3?1?2?2??3

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