广东省深圳高级中学10-11学年高二上学期期中考试(理数)

深圳高级中学2010－2011学年第一学期期中测试

高二理科数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案） 1．以正方体ABCD A1BC11D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空

间直角坐标系，则与DB1共线的向量的坐标可以是

C

．

A

．

D

． B

．11

2.若a、b、c是实常数，则“a 0且b2 4ac 0”是“对任意x R，

有ax2 bx c 0的

A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分也不必要条件.

3．a,b,c均为实数，有下列命题：

22

①若a b，则ac bc； ②若a b，则ac bc； 22

③若ac bc，则a b；其中正确命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

x y 5 y x 1

4.坐标平面上的点(x,y)位于线性约束条件 所表示的区域内（含边界），则目标函数

x 0 y 0

z 3x 4y的最大值是

A．15． B．20． C．18． D．25．

5. 已知抛物线x my 0上的点到定点(0,4)和到定直线y 4的距离相等，则m A.

2

11 ； B. ； C. 16 ； D. 16. 1616

5 4x x2

6．函数f(x) 在( ,2)上的最小值是

2 x

A．0 B．1 C．2 D．3 7.

已

知

M {(x,y)|x2 2y2 3},N {(x,y)|y mx b}

,若对所有

m R,均有M N ，则b的取值范围是

A.

B.

C. (

33

D. 8． 在直三棱柱A1B1C1 ABC中， BAC

2

，AB AC AA1 1. 已知Ｇ与Ｅ分别为

A1B1和CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若

GD EF，则线段DF的长度的取值范围为

A. 1 B. [,2) C.

D.

5

55

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若||=6，⊥，则x+y的值是__________. 10．命题“若x 2y 5,则x 1或y 2”是______________命题(填真,假)

1x2y2

1的离心率为，则m=________ 11．若椭圆

24m

y2

1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2| 3:2，则12．设P为双曲线x 12

2

PF1F2的面积为___________.

13．已知x,y R且x 4y 1,则

11

的最小值为 xy

14．已知函数f(x) x3 ax2 bx c,(a,b,c R)的一个零点为x 1,另外两个零点分别可作为

椭圆和双曲线的离心率,则

b

的取值范围是______. a

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1x2y2

1表15．(本题12分) 已知命题p: x R,使2x (k 1)x 0；命题q:方程

29 kk 1

2

示焦点x轴上的椭圆，若 p为真命题，p q为真命题，求实数k的取值范围.

x2y2y22

1有相同的焦点，且椭圆与双曲线 1与双曲线x 16. （本题12分） 若椭圆

b10m

交于点P

n)，求椭圆及双曲线的方程. 3

17．（本题14分）已知不等式ax 3x 2 0的解集为{x|1 x b}， （1）求实数a,b的值； （2）解关于x的不等式

18．(本题14分)已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S；

2

x b

0（c为实常数） ax c

⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝，求向量a的坐标。

19（本题14分）．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA AD 4，AB 2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．

（1）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值； （2）求点N到平面ACM的距离．

x2y2

20.(本题14分) 设直线l:y kx m（其中k，与椭圆 m为整数） 1交于不同两点A，

1612

22 xy

ClAC BD 0，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量 1BD

412

若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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高二理科数参考答案

。

二． 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 10. 16

或3; 12. 3

12

13．____9________________________; 14.______ ( 2, )___________.

三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （本小题满分12分）

解：若p为假，则-1<k<3,若q为真，则1<k<5, 因为 p为真命题，p q为真命题 所以1<k<3.

16. （本小题满分12分）

解：

10 m 1 b 2 1n

由题知 1解得m 1,n 8

9m

10n2

1 b 9

x2y222

所以椭圆方程为 y 1，双曲线方程为x 1

108

17.（本小题满分14分）

解：（1）a=-1,b=2

当c 2时，x

(2) 当c 2时，x ( 2, c)

当c 2时，x ( c, 2)

18. 解：⑴ ( 2, 1,3), (1, 3,2), cos BAC 1

2∴∠BAC＝60°， S ||||sin60 7

⑵设a＝(x,y,z)，则a AB 2x y 3z 0,

a AC x 3y 2z 0,|a| 3 x2 y2 z2 3

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1).

19. （本小题满分14分）

解法一：AM PD，又PA AD，则M是PD的中点，故

AM

MC

1

则S ACMAM MC

2

设D到平面ACM的距离为h，由VD ACM

VM ACD，有

8，可求得h

， h．

CDPNPA8

（2）可求得PC=6．因为AN⊥NC，由，得PN ． PAPC3

设直线CD与平面ACM所成的角为

，则sin

5

． 95又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，

由⑵可知所求距离为h ．

9所以NC:PC 5:9．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的解法二：

P(0,0,4)，B(2,0,0)，（1）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，

C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；

设平面ACM的一个法向量n (x,y,z)，由n AC,n AM，

2x 4y 0

可得： ，令z 1，则n (2, 1,1)．

2y 2z 0

CD n 设所求角为

，则sin ．

CDn

2

（2）由条件可得，AN NC．在Rt PAC中，PA PN PC，

810NC5

， ，则NC PC PN ，

33PC9

5

所以所求距离等于点P到平面ACM距离的，

9

AP n5

设点P到平面ACM距离为h

，则h ，故所求距离为h ．

927n

所以PN

y kx m

20. 由 x2y2消去y化简整理得3 4k2x2 8kmx 4m2 48 0

1

1612

8km

设A x1，y1 ，B x2，y2 ，则x1 x2

3 4k2

1 8km 4 3 4k2 4m2 48 0 ① ………4分

2

y kx m

由 x2y2消去y化简整理得3 k2x2 2kmx m2 12 0

1

412

2km

设C x3，y4 ，D x4，y4 ，则x3 x4 2

3 k

2

2 2km 43 k2m2 12 0 ② …………8分

因为AC BD 0，所以 x4 x2 x3 x1 0，此时 y4 y2 y3 y1 0．

8km2km

．数学驿站

3 4k23 k241

所以2km 0或 ．由上式解得k 0或m 0．当k

0时，由①和②得

3 4k23 k2

m ．因m是整数，所以m的值为 3， 2， 1，0，1，2，3．当m 0，由

由x1 x2 x3 x4得

①和②得k ．因k是整数，所以k 1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分

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