(13)2014届河南省开封市高三第二次模拟考试 数学试卷(理工类)

2015年宁夏海南（黑吉辽宁琼豫晋新冀蒙滇甘黔青）高考考生必备用卷

新课标高考模拟试题汇编（数学试卷）

新课标人教版普通高中语文教师整理（第1页）

2015年普通高等学校招生模拟考试（新课标 第十三套）

数学试卷（理工类）（选自2014届河南省开封市高三第二次模拟考试）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22、23、24题为选考题，其它题为必考题。满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}{}2|290,|log 0A x x B x x =-≤=>，则

A. {}|03x x <

B. {}|31x x -≤≤

C.{}|0x x <

D.{}|13x x <≤ 2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的 A. 充分非必蕞条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：

且最后发现，两个分类变量X 和y 没有任何关系，则m 的可能值是

A ．200

B ．720

C ．100

D ．180

4．已知()f x 是R 上的奇函数，若(1)2f =，当x>0，()f x 是增函数，且对任意的x ， y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 在区间[-3，-2]的最大值为

A ．-5

B ．-6

C ．-2

D ．-4

5．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

A

B

．(4π+ C

D

6.

设函数())cos(2)()2

f x x x π

???=+++<，且其图象关于直线x=0对称，则

A. ()y f x =的最小正周期为π，且在(0,

)2

π

上为增函数

B ．()y f x =的最小正周期为2

π，且在(0,)4π

上为增函数

C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2

π

上为减函数

D. ()y f x =的最小正周期为

2

π，且在(0,)4π

上为减函数

7．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知双曲线2222:1x y M a b -=和双曲线22

22:1y x N a b

-=，其中b>a>0，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好

是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是 A

C

D

9．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为

A.1 B

C

D

10．在平行四边形ABCD 中，1,60AD BAD =∠=,E 为CD 的中点．若1

2

AD BE ?=，则AB 的长为 A.

12 B.1 C ．3

2

D ．2 11.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

A ．12种 B. 18种 C ．36种 D ．54种

12．函数[]11,0,2()1(2),(2,)2

x x f x f x x ?--∈?

=?-∈+∞??,则下列说法中正确命题的个数是

①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点； ②若0x >时，函数()k f x x ≤

恒成立，则实数k 的取值范围是3,2??

+∞????

； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值，

④()2(2),()f x kf x k k N =+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

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13．由直线,,03

3

x x y π

π

=-

=

=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的两积为_____．

14．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点A(2，0)，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则

:FM MN =_________．

15.已知四面体P- ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC

，2AC =，若四面体P - ABC 的体积为32

，则该球的表面积为_________． 16.已知2

122sin

,,,3

n n n n a n n N S a a a π

*=∈=++???+，则30S =________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17.（本小题满分12分）

如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且

0,sin 3

AD AC BAC ?=∠=

AB BD =

（I ）求AD 的长， (Ⅱ)求cosC.

18.（本小题满分10分）

某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下（单位：cm ），应聘者获知：男性身高在区间[174，182]，女性身高在区间[164，172]的才能进入招聘的下一环节．

(I)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；

(Ⅱ)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X 为抽取到的男生人数，求X 的分布列及期望， 19．（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA=CB ， 11,60AB AA BAA =∠=． （I ）证明：1AB AC ⊥；

(Ⅱ)

若1

2,AB CB AC === 1B AC A -=的余弦值． 20．（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

过点，离心率12e =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b 称为

点M 的一个“椭点”，直线交椭圆C 于A 、B 两点，若点A 、B 的“椭点”分别是P 、Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原

点O.

（I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若椭圆C 的右顶点为D ，上顶点为E ，试探究OAB ?的面积与ODE ?的面积的大小关系，并证明． 21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln f x x x =+

(I)求()f x 在x=l 处的切线方程； (Ⅱ)设1

()()(1)

g x f x a x =

-，对任意(0,1)x ∈，都有()2g x <-，求实数a 的取值范围．

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证．

(I)DEA DFA ∠=∠； (Ⅱ)2

AB BE BD AE AC =?-?．

23.<本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点

为极点，以x 铀正半轴为极轴，已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t a

y t a

=+??

=?（t 为

参数，0a π≤<），射线,,4

4

π

π

θ?θ?θ?==+=-

与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ．

(I)求证：OB OC OA +=；

(Ⅱ)当12

π

?=

时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与a 的值．

24.本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数()31,f x x x x R =--+∈． (I)解不等式()1f x <-；

(Ⅱ)设函数()4g x x a =+-，且()()g x f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围．

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