大学物理上册课后答案第5章 振动和波动

第5章 振动和波动

5-1 一个弹簧振子m?0.5kg，k?50Nm，振幅A?0.04m，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；

(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）??k50??10m0.5(rads)

vmax??A?10?0.04?0.4(m/s)amax??A?10?0.04?4(m/s)(2) 设x?Acos(?t??)，则

222

dxd2xv????Asin(?t??) a?2???2Acos(?t??)???2x

dtdt当x=0.02m时，cos(?t??)?1/2,sin(?t??)??3/2，所以

v??0.2?3??0.346(m/s)a??2(m/s2)F?ma??1(N)(3) 作旋转矢量图，可知：???

π 2π x?0.04cost(?10

2)5-2 弹簧振子的运动方程为x?0.04cos(0.7t?0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。

A=0.04(m)????0.7(rad/s)???0.3(rad)解：

???2π?0.11(Hz)T?1??8.98(s)

5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为

??1k1?k2 2πm为物体的质量。

式中k1,k2分别为两个弹簧的劲度系数，m

解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为x10,弹簧2的伸长量为x20，则应有

?k1x10??k2x20?0

当物体运动到平衡位置的位移为x处时，弹簧1的伸长量就为x10?x，弹簧2的伸长量就为x20?x，所以物体所受的合外力为

F??k1(x10?x)?k2(x20?x)??(k1?k2)x

d2x由牛顿第二定律得 m2??(k1?k2)x

dtd2x(k1?k2)?x?0 即有 dt2m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为

??k1?k2x m振动的频率为 ???2π?1k1?k2

2πm5-4 如图所示，U形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。

习题5-4 图

解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x时，振动系统所受回复力为：

πd2πd2?gF???2x??g??x

42πd2?g振动角频率 ?? 2m振动周期 T?2π2m 2πd?g5-5 如图所示，定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。

解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长l0，有：mg?kl0 （1）

物体位于x位置时（以原点为重力势能零点）：

11?v?1k(x?l0)2?J???mv2?mgx?C 22?R?2对上式两边求导：

2k(x?l0)v?Jva??mva?mgv?0 RR从上式消去v，且将（1）式代入，得到

a??kJ?mR2x???2x

??R2k

J?mR2说明系统作简谐振动。振动周期为：

J?mR2 T?2π2Rk5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，物体质量为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

习题5-6 图

解：设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为x，速率为v，则振动系统的总机械能

11?v?1E?kx2?C?J???mv2?恒量

22?R?2式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得

2kxv?Jva??mva?0 RRka??x???2x

J?mR2于是

??R2k 2J?mRJ?mR2 T?2πR2k5-7 如图所示，质量为10g的子弹，以v0?1000ms速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为8?103Nm，求振动的振

幅。（设子弹射入木块这一过程极短）

解：先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒，

设碰撞后子弹与木块共同以速度v运动，则有

mv0?(m?m?)v mv0v??2(m/s)m?m?然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅A可由初始时刻系统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有

11(m?m?)v2?kA2 22A?m?m?0.01?4.99v??2?0.05m 3k8?105-8 如图所示，在一个倾角为?的光滑斜面上，固定一个原长为l0、劲度系数为k、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。

解： 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为x0,则

mgsin??kx0平衡位置距O?点为：l0?x0?l0?x0?mgsin? kmgsin? k以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是x0?x,所以物体所受的合外力为

F?mgsin??k(x0?x)即F??kx

物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为

T?2πm k5-9 两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们相差，并用旋转矢量图表示

出来。

AA和x??处相向通过，由此可以画出相应的旋转

2224矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为???π或???π。

33解：根据题意，两质点分别在x?A24π3OA1A22π3A1Oxx 习题5-9图 5-10 一简谐振动的振幅A = 24cｍ、周期T = 3s，以振子位移x = 12cm、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到x = -12cｍ处所需的最短时间。

2π2ππ?，又由旋转矢量法可知?? T33

2ππx所以振动方程为：x?0.24cos(t?)(m) 33 解：依题意可得，??质点运动到x = -12cｍ处最小相位变化为π3，所以需要最短时间为

A/2o?A3习题 5-10图

t(s)

??π3t?T??3?0.5(s)

2π2π

5-11 如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m = 1.0kg的物体B和C，此时弹簧伸长2.0cｍ并保持静止。用剪刀断连接B和C的细线，使C自由下落，于是B就振动起来。选B开始运动时为计时起点，B的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B的振动方程

(1)x轴正向向上；

(2)x轴正向向下。

习题5-11 图

解：已知m=1kg,lBC?0.02m,可得k?2mg/lBC?1000(N/m)

??k?1010(rad/s) m当以B的平衡位置为坐标原点，振动振幅为

A?0.02?mgk?0.02?0.01?0.01(m)

由题意知，振动初速度v0?0 (1)x轴正向向上时：x0??0.01(m)???

振动方程为x?0.01cos(1010t??)(m) (2)x轴正向向下 时：x0?0.01(m)振动方程为x?0.01cos(1010t)(m)

5-12 劲度系数为k的轻弹簧，上端与质量为m的平板相联，下端与地面相联。如图所示，今有一质量也为m的物体由平板上方h高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。

??0

习题5-12 图

解：物体下落与平板碰撞前速度：v?2gh

?mv?(m?m)v0

所以物体与平板碰撞后共同运动的速度：v0?12gh 2mg k以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立坐标系。依题意：x0??在x处，物体和平板受力：

F?2mg?k(x?则：T?2π2v02mg)??kx k2mk??2πk ?T2mm2g22gh/4122A?x?2???mg?mgkh 2?kk/2mk20见旋转矢量图，有：

????arccos(x0mg)???arccos 22Amg?mgkh

5-13 在一平板上放一重9.8N的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期T =0.50s，振幅A =0.020m，试求

(1)重物对平板的压力F；

(2)平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板?

解：以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，物体在x处时，

NOmgx 习题 5-13图

mg?N?ma??m?2xN?mg?m?x?9.8?16?x22

(1)重物对平板的压力F?9.8?16?x

（2）当N=0时重物将脱离平板，由N?9.8?16?2xmax?0，得

2xmax??0.062(m),A?xmax?0.062(m)

5-14 一木块在水平面上作简谐运动，振幅为5.0cｍ，频率为?，一块质量为m的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为0.4ｍg，求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动?

解：以平衡位置为坐标原点，向右为x轴正方向，建立坐标系，小木块在x处：

OFxF??m?2x??2π?2?? TOxx 在最大位移处，F最大，Fmax?m?2x

习题 5-14图

当Fmax?fs，即m?2A??smg时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：

????g?s?8.85(rad/s) A8.85?1.4(Hz) 2π振动频率至少应略大于1.4Hz时，上面小木块相对于下面木块滑动。

5-15 一台摆钟的等效摆长L = 0.995ｍ，摆锤可上下移动以调节其周期。该钟每天快1分27秒。假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确?

解：设原摆钟周期为T，钟走时准确时，其钟摆长为L?，周期为T?，则

T?24?60?60?8786487?? T24?60?6086400L?T?2?86487?而?()L????0.995?0.997(m) LT?86400?L??L?0.002(m)?2(mm)

应将摆锤下移2mm。

25-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 25Nm，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，求

(1) 振幅；

(2) 位移是多大时，势能和动能相等? (3) 位移是振幅的一半时，势能多大? 解：（1）E?Ek0?Ep0?0.2?0.6?0.8(J)

1?E?kA22(2) Ek?Ep时，Ep??A?2E?0.253(m) k1111E，即kx2??kA2，得 2222x?(3)当x?2A?0.179(m) 21A1111A时，Ep?k()2??kA2?E?0.2(J) 222424πx1?0.04cos(2t?)(SI)

6πx2?0.03cos(2t?)(SI)

65-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为

求合振动的振幅和初相。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?42?32?2?4?3?cos?3?6.08(cm)

?3?sin(?)A1sin?1?A2sin?266?4.70 ??arctan?arctan??A1cos?1?A2cos?24?cos?3?cos(?)665-18 有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为10cm，合振动与第一个振动的相差为π/6，若第一个振动的振幅A1=8.0cm，求

（1）第二个振动的振幅A2；

（2）第一个振动和第二个振动的相位差。 解：依题意，作旋转矢量图，可知

4?sin??????2??1?A?π6A1?1习题 5-18图

?A2?2xx

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