二轮复习之平面向量在立体几何中的应用（基础篇）

二轮复习之平面向量在立体几何中的应用（基础篇） 适用学科 适用区域 高中数学 人教版 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60 1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表知识点 示； 3、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 4、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 1、理解直线的方向向量与平面的法向量； 2、能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 教学目标 3、能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 4、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 1、主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用 2、以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离 1、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 2、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。 教学重点 教学难点

教学过程

一、高考解读

本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

二、复习预习

向量运算和运算率

??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b

?OP??a(??R) ????加法交换率：a?b?b?a.

??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c).

????数乘分配率：?(a?b)??a??b.

三、知识讲解

考点1

利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小：

????????AB?CDC,D是直线l2上的任意两点，（1）设l1,l2是两条异面直线，则l1,l2所成的角为arccos???A,B是l1上的任意两点，?????

AB?CD（2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与平面?所成的角为?????????AB?BCarccos????????。设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，则AB与平面?所成的角为

AB?BC??????????AB?nAB?n??arccos?????，或者arcsin?????。 2AB?nAB?n???????????????n?n2（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccos??1???就是二面角的平面角或补角的大小。

n1?n2

考点2

（1）、点到平面的距离:

方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到 平面α的距离公式为d?nM N ?n B α A O 图2-5 |AB?n||n|???

β ?n（2）、平面与平面间的距离:

方法指导：如图2-7,两平行平面?,?之间的距离：

B α A 图2-7 d?|AB?n||n|

???，其中A??,B??。n是平面?、?的法向量。

?

四、例题精析

例题1 如图，PA?平面ABC，AC?BC,PA?AC?1,BC?2，求二面角A?PB?C的大小。

P z

E x D A C B y

【规范解答】建立如图所示空间直角坐标系C?xyz，取PB的中点D， 连DC,可证DC?PB，

P z

E x A D C ????????AE?PBE作于，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角A?PB?C的大小。

?A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点， 121?(,,)， 222B y PEAP21??， 在Rt?PAB中，2EBAB3?????11323???23?E分PB的比为，?E(,,)?EA?(,?,?)

3444444????????????1????????????????1213DC?(?,?,?)，EA?DC?,EA?，DC?1,cos?EA,DC??2222212?3，

33?12

?二面角A?PC?C的大小为arccos3 3【总结与思考】如果AB,CD分别是二面角??l??两个面内的两条直线，且A?l,C?l,AB?l,CD?l，则二面角的

????????大小为?AB,CD?

例题2在棱长为a的正方体ABCD?A'B'C'D'中，EF分别是BC,A'D'的中点，

（1）求直线AC'与DE所成角； （2）求直线AD与平面B'EDF所成的角， （3）求平面B'EDF与平面ABCD所成的角

z A' F D'B' C' A G y D x

B E C

a【规范解答】（1）如图建立坐标系，则A'(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,,0)

2????????'????????????????aAC?DE15''?AC?(a,a,?a),DE?(a,?,0)， ?cos?AC,DE????????? ??'215AC?DE'与DE所成的角为arccos故AC15 15（2）??ADE??ADF,所以AD在平面B'EDF内的射影在?EDF的平分线上，又B'EDF为菱形，

?DB'为?EDF的平分线，故直线AD与平面B'EDF所成的角为?ADB'，

?????????建立如图所示坐标系， 则A(0,0,0),B(a,0,a),D(0,a,0)，?DA?(0,?a,0),DB'?(a,?a,a)，

??????????????????3DA?DB'3''ADBEDFarccos 故与平面所成角为 ?cos?DA,DB????????????'33DA?DB'??????'a由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,,0)， 所以平面ABCD的法向量为m?AA?(0,0,a)

2?????????aa'下面求平面BEDF的法向量， 设n?(1,y,z)，由ED?(?a,,0),EB'?(0,?,a)，

22''???????????n?ED?0?y?2，?n?(1,2,1)?cos?n,m???????????'z?1??n?EB?0????m?n6， ????6m?n

所以平面B'EDF与平面ABCD所成的角arccos6 6【总结与思考】（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意两点，则l1,l2所成的角

????????AB?CD为arccos????????

AB?CD（2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与平面?所成的角为

????????AB?BCarccos????????。

AB?BC???????????????n1?n2（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccos???? ?就是二面角的平面角或补角的大小。

n1?n2

例题3 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点.

（1）求证：EF?平面PAB；

（2）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小.

z P x C F E D B y A

【规范解答】（1）证明：建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=PD=1，AB=2a（a?0），

????????????1111则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1),F(a,,).得EF?(0,,)，PB?(2a,1,?1)，AB?(2a,0,0).

2222????????11由EF?AB?(0,,)?(2a,0,0)?0，

22????????得EF?AB，即EF?AB，

z P x C B F E A y 同理EF?PB，又AB?PB?B， 所以，EF?平面PAB. （2）解：由AB?2BC，得2a?2， 即a?D 21122,,)，C(2,0,0). ,0,0)，F(. 得E(22222????????????112,?1,0)，EF?(0,,). 有AC?(2,?1,0)，AE?(222

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