解析几何常规问题解决方法

圆锥曲线中的最值和范围问题

【考点透视】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 【重点突破】 【点晴1】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．

【点晴2】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。

【点晴3】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得．．注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 【点晴4】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

【知识、方法要点归纳】

1．圆锥曲线有关定点、定值、最值问题等综合性问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性． 2．研究变量的最值问题时，一般先建立目标函数，再转化为函数或不等式问题求解，或运用“数形结合”、“几何法”求解．

3．解析几何定值包括几何量的定值或曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明，对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 【小结】

1．对圆锥曲线中定值的计算，一般利用相关公式或方程思想求解，如果求值对象有相关公式计算(如距离、斜率、面积等)，并且公式中所需数据可由已知或相关参变量表示，则套用公式求解，或将求值对象看成一个未知数，根据已知条件建立方程或方程组，再解方程求未知数的值．

2．对圆锥曲线中定点的确立，通常求相应曲线系(或直线系)方程，利用方程思想或曲线系(直线系)特征确定点或由特殊值确定一定点，再进行一般性证明．

3．圆锥曲线中最值问题的解法常用方法有几何法、函数法或不等式法，其中几何法是根据图形几何性质

求解的方法；函数法是指将所求变量表示成某个相关变量的函数，再求函数的最值；不等式法是根据曲线性质及条件建立一个关于所求变量的不等式，再解不等式，求其最值的方法．

圆锥曲线中对称问题

在圆锥曲线的综合问题中，我们经常遇到“圆锥曲线上存在两点关于某直线对称”的问题，而对此类问题，不少同学总是束手无策、望而生畏，找不到正确的解决方法，在此我们给出解决这类问题的一般策略：即牢记“用判别式找不等关系，用中点垂直找等量关系”这两句话，便能轻轻松松使问题迎刃而解，

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

解决圆锥曲线中的存在性问题的策略

存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。

掌握研究解析几何问题的基本方法

近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法．课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法．所以在复习时应做到: 1．牢固掌握圆锥曲线定义

圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。 2．重视基础知识，基本题型的复习 （1）注意课本典型例题、习题的延伸

教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。如教材中题:“过抛物线y2=2px焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2，求证y1y2=-p2。” 给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。 （2）注意转化条件，优化解题方法

解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法是熟知的。但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道。 3．重视判别式的作用

有关直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常都是利用一元二次方程来解决的。其中，根的判别式往往起着关键的作用。

4．强化数学思想方法的训练和运用 （1）函数与方程思想

解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质。

（2）分类讨论思想

解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理。例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线。

（3）数形结合思想 解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性。

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