2017-2018学年安徽省铜陵一中高一（下）5月月考数学试卷

2017-2018学年安徽省铜陵一中高一（下）5月月考数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．（5分）已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=A．

，则b的值为（ ） B．2

C．

D．

+

2．（5分）如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，

测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°．则A，B两点间的距离为（ ）

A．m B．50m C．m D．m

3．（5分）若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（ ）

A．1：16 B．3：27 C．13：129 D．39：129

4．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的表面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的体积为（ ） A．

B．

C．4

π

D．4π

5．（5分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）

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A． B． C． D．

6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＞0，S14＜0，则Sn取最大值时n的值为（ ） A．6

B．7

C．8

D．13

7．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），记Tn=A．

B．

C．

，则T2018=（ ） D．

8．（5分）设数列{an}前n项和为Sn，已知S2018等于（ ） A．

B．

C．

D．

，则

9．（5分）已知变量x，y满足约束条件大值为（ ） A．12 B．

C．

D．2

，则目标函数z=x+y的最

10．（5分）已知函数f（x）=的取值范围是（ ）

若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2）

D．（﹣2，1）

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11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg4，则A．4

B．

C．2

D．

的最小值是（ ）

12．（5分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（ ）

A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2）

C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1BlClD1中，AD=3，AAl=4，AB=5，则从A点沿表面到Cl的最短距离为 ．

14．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是 ．

15．（5分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=

，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 ．

第3页（共23页）

16．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为 ．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（10分）如图，梯形ABCD满足AB∥CD，

，BC=1，∠

BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω （1）求Ω的体积V； （2）求Ω的表面积S．

18．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且

．

（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

，AB=3

19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）． （1）求A．

（2）若a=4，求△ABC面积S的最大值． 20．（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，（1）求{an}的通项公式．

第4页（共23页）

．

（2）bn=2n?an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 21．（12分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，且数列{为

，n∈N*

}的前n项和

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前n项和为Sn，数列{

}的前n项和Tn，求证Tn

．

22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣（2a+2） （Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；

（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

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则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：8

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何的形状，并分析出棱长，高等关键几何量是解答本题的关键，本题易将2当成底面的棱长，而错解为12

15．（5分）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）∠ABC=45°，AB=

．

，AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为 ．

【分析】以O点为坐标原点，在直观图中建立平面直角坐标系，按斜二测画直观图的原则，找到四边形ABCD的四个顶点在平面直角坐标系下对应的点，即把直观图中的点还原回原图形中，连结后得到原图形，然后利用梯形面积公式求解． 【解答】解：如图，

直观图四边形的边BC在x′轴上，在原坐标系下在x轴上，长度不变，

点A在y′轴上，在原图形中在y轴上，且BE长度为AB长的2倍，过E作EF∥x轴，

且使EF长度等于AD，则点F为点D在原图形中对应的点． ∴四边形EBCF为四边形ABCD的原图形． 在直角梯形ABCD中，由AB=

，AD=1，得BC=2．

=

，

∴四边形EBCF的面积S=（EF+BC）?BE=（1+2）×2故答案为：

．

第16页（共23页）

【点评】本题考查了水平放置的平面图形的直观图的画法，考查了原图形和直观图面积之间的关系，难度不大，属于基础题．

16．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为

．

【分析】由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．

【解答】解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）， 所以所以

=

?ac=4?c=，

=

=1+

转化为

由于a+所以1+

≥12（当且仅当a=6时取等号）

≤1+=．

故答案为：

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分）

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17．（10分）如图，梯形ABCD满足AB∥CD，，BC=1，∠

BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω （1）求Ω的体积V； （2）求Ω的表面积S．

【分析】（1）分别求出圆锥和圆柱的体积，再相加即可；

（2）几何体的表面积分为三部分，即圆柱的底面积，侧面积和圆锥的侧面积，分别求出各部分面积相加即可

【解答】解：（1）几何体为圆柱与圆锥的组合体， 圆锥和圆柱的底面半径为r=BC=1，圆锥的高为h1=∴V=π×12×

+π×12×

=

．

，圆柱的高h2=

．

（2）圆锥的母线长l=2．

∴几何体的面积S=π×12+π×1×2+2π×1×

=3π+2

π．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．

18．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且

．

（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

，AB=3

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【分析】（Ⅰ）直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果． （Ⅱ）利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果． 【解答】解：（Ⅰ）由所以所以

．（2分）

得到：AD⊥AC，

，

在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cosBAD 即AD2﹣8AD+15=0，（4分） 解之得AD=5或AD=3， 由于AB＞AD， 所以AD=3．（6分）

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，又由可知所以因为即

（12分）

， （8分）

（10分）

，

，

【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，余弦定理的正弦定理的应用及相关的运算问题．

19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（sinA﹣sinB）=c（sinC﹣sinB）． （1）求A．

（2）若a=4，求△ABC面积S的最大值．

【分析】（1）由已知根据正弦定理得a2﹣b2=c2﹣bc，利用余弦定理可求cosA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．

（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc≤16，进而利用三角形面积公式即可得

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解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）根据正弦定理得（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即a2﹣b2=c2﹣bc， 则

由于0＜A＜π， 所以

．（6分）

，

，即

，

（2）根据余弦定理，

由于a2≥2bc﹣bc=bc，即bc≤16， 所以△ABC面积

故△ABC面积S的最大值为

．（12分）

，当且仅当b=c=4时等号成立．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

20．（12分）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，（1）求{an}的通项公式．

（2）bn=2n?an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 【分析】（1）由a1=1，

1+1）=2an，化为：an+1=3an，又

．

．n≥2时，an+1﹣an=2Sn+1﹣（2Sn﹣

n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，利用等比数列的通项公

式即可得出．

（2）bn=2n?an=2n?3n﹣1．利用错位相减法即可得出． 【解答】解：（1）由a1=1，

∴n≥2时，an+1﹣an=2Sn+1﹣（2Sn﹣1+1）=2an， 化为：an+1=3an，

又n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，

∴数列{an}为等比数列，首项为1，公比为3． ∴an=1×3n﹣1=3n﹣1． （2）bn=2n?an=2n?3n﹣1．

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．

∴数列{bn}的前n项和为Tn=2（1+2×3+3×32+……+n?3n﹣1）， ∴3Tn=2[3+2×32+……+（n﹣1）?3n﹣1+n?3n]， 可得：﹣2Tn=2（1+3+32+……+3n﹣1﹣n?3n）， ∴Tn=﹣

+n?3n=

．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，且数列{为

，n∈N*

}的前n项和

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前n项和为Sn，数列{

}的前n项和Tn，求证Tn

．

【分析】（1）根据{an}是各项均为正数的等差数列，依次令n=1，n=2，建立方程组即可求a1，公差d，可得通项公式； （2）利用裂项相消法求解数列{

}的前n项和Tn，即可证明；

}的前n

【解答】解：（1）由{an}是各项均为正数的等差数列，且数列{项和为

，n∈N*

=……①

+

当n=1时，可得当n=2时，可得②﹣①得：

=……②

∴a1×（a1+d）=6，……③ （a1+d）（a1+2d）=12……④． 由③④解得：

．

∴数列{an}的通项公式为：an=n+1； （2）由（1）可得

，

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那么==

}的前n项和Tn=

．

）

∴数列{===∴Tn

，n∈N*，

．

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消法是解决本题的关键．

22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣（2a+2） （Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞x；

（Ⅱ）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据一元二次不等式的解法即可解不等式f（x）＞x； （Ⅱ）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．

【解答】解（Ⅰ）由f（x）＞x得x2﹣（2a+1）x﹣（2a+2）＞0，即（x﹣2a﹣2）（x+1）＞0， 当2a+2＞﹣1，即当2a+2=﹣1，即当2a+2＜﹣1，即综上，当当当

时，原不等式的解为x＞2a+2或x＜﹣1， 时，原不等式的解为x∈R且x≠﹣1， 时，原不等式的解为x＞﹣1或x＜2a+2．

时，原不等式的解集为{x|x＞2a+2或x＜﹣1}；

时，解集为{x|x∈R且x≠﹣1}； 时，解集为{x|x＞﹣1或x＜2a+2}．

（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x2﹣2a（x+1）+1≥0在（﹣1，+∞）上恒成立， 即

在（﹣1，+∞）上恒成立．

，

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令t=x+1（t＞0），则

当且仅当∴∴

等号成立

，

，即

．

．

故实数a的取值范围是

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，考查的计算能力．

第23页（共23页）

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