2010年中考数学试题分类大全18_二次函数的图象和性质2

28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得ΔFMN ，过ΔFMN 三边的中点作ΔPQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：

（1）说明ΔFMN ∽ΔQWP ；

（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，ΔPQW 为直角三角形？当x 在何范围时，ΔPQW 不为直角三角形？

（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．

．

【答案】解：（1）由题意可知P 、W 、Q 分别是ΔFMN 三边的中点，

∴PW 是ΔFMN 的中位线，即PW ∥MN

∴ΔFMN ∽ΔQWP

（2）由题意可得 DM=BN=x ，AN=6-x ，AM=4-x ，

由勾股定理分别得 2FM =2

4x +， 2MN =2)4(x -+2)6(x -

2FN =2)4(x -+16

①当2MN =2FM +2FN 时，2)4(x -+2)6(x -=24x ++2)4(x -+16

解得 34=

x ②当2FN =2FM +2MN 时，2)4(x -+16=24x ++2)4(x -+2)6(x -

此方程无实数根

③2FM =2MN +2FN 时，24x +=2)4(x -+2)6(x -+2)4(x -+16

解得 101=x （不合题意，舍去），42=x 综上，当34=x 或4=x 时，ΔPQW 为直角三角形；

当0≤x ＜

34或3

4

＜x ＜4时，ΔPQW 不为直角三角形 （3）①当0≤x ≤4，即M 从D 到A 运动时，只有当x=4时，MN 的值最小，等于2； ②当4＜x ≤6时，2

MN =2

AM +2

AN =2)4(-x +2)6(x -

=2)5(22+-x

当x=5时，2

MN 取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN 最短，MN=2． 29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线2

12

y x bx c =

++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF

面积的2倍时，求E 点的坐标;

（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P

点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．

【答案】解：（1）由二次函数2

12

y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得： 2

21(4)402

1102

b c b c ?--+=?????++=??，． 解得： 322b c ?=???=-?，．

故所求二次函数的解析式为213

222

y x x =+-．

（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1

.3

BF BC =

∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,

∴△BEF ～△BAC ,

∴1,3BE BF BA BC ==得5

,3

BE =

故E 点的坐标为(2

3

-,0).

x

y

O B

C A

图9

（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC

的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+??=-+?． 解得：1,22k b ?=-???=-?．

故直线AC 的解析式为1

22y x =-－．

若设P 点的坐标为213,222a a a ??+- ???

，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1

,2)2

a a --．则有： 2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122

a a -- ＝()21222

a -++ 即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）

解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC 的面积取大值时即可.

设P 点坐标为（),00y x ，则有:

ACO DPCO S APC ADP S S S =+-梯形

＝

111()222AD PD PD OC OD OA OC ?++?-?

＝()()000001112242222x y y y x --+-+?--?? ＝0024y x --- ＝20001322422x x x ??-+---

??? ＝2004x x -- ＝－()22

024x ++

即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标

为（－2，－3）

30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1）求点A 的坐标；

（2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.

【答案】（1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4） （2）当b ＝0时，直线为y x =，由2

4

y x

y x x =??

=+-?解得1122x y =

??

=?，222

2

x y =-??=-?

所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）

1

4242

ABE

S

=??=，1

4242

ACE

S =??= 所以ABE

ACE

S S

=当4b >-时，仍有ABE

ACE

S S

=成立. 理由如下

由2

4y x b y x x =+??=+-?，解得11x y b ?=??=??，22x y ?=??=??所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形， 所以ABE

ACE

S

S

=.

（3）存在这样的b .

因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=? 所以BEF CEG ?

所以BE CE =，即E 为BC 的中点

所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形 因为GE b b GC =-== 所以 CE =OE b =

b =，解得124,2b b ==-，

所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.

31．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4

5,若存在，求出P 点的 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此 图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，

所以324)1(22--=--=x x x y

令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .

∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）

(2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ??=

45 设),,(y x p 则y y AB S PAB

221=?=?，又8421=-?=?AB S MAB , ∴.5,84

52±=?=y y 即 ∵二次函数的最小值为-4，∴5=y .

当5=y 时，4,2=-=x x 或.

故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分

（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得

.1=b ……………8分

图9 图1

当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b

由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b

32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．

（1）求点C 的坐标．

（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．

（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．

（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．

【答案】

（1）点C 的坐标是（4，0）；

（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：

020164a b c c a b c =-+??=??=++?解得12322a b c ?=-???=??=???

，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2． （3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC

=t

②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD

=5

，∴5t =，解得t

=4011

- ③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE

，∴12t

（t ），解得t =4011

．

（4）当CQ =PC 时，由（3）知t P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：

y =12x ，因而有12x =12

-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1OP 与抛物线的

交点坐标为（）和（． 33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．

（1）证明243c b =；

（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．

【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．

根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ?-=-．

∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==．

（2）解：依题意，12

b -=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344

c b ==?-=． ∴2223(1)4y x x x =--=--．

∴二次函数的最小值为4-． 34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图

象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得?

??-==+303c c b 解得：???-=-=3

2c b 所以二次函数的表达式为：322--=x x y

（2）存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E

若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．

连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，

∴OE=EC =23

∴y =2

3-． ∴322--x x =2

3- 解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去）

∴P 点的坐标为（2102+，2

3-）…………………………8分 （3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，

设P （x ，322--x x ），

易得，直线BC 的解析式为3-=x y

则Q 点的坐标为（x ，x －3）.

EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ?+?+?=

++=???212121四边形 3)3(2

134212?+-+??=x x =8

7523232+??? ??--x 当2

3=x 时，四边形ABPC 的面积最大 此时P 点的坐标为??? ??-

415,23，四边形ABPC 的 面积8

75的最大值为． 35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234

54122+-++--=m x x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．

（1）求B 点的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交

与点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧做等等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．

① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一

个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．

【答案】解：（1）∵抛物线234

54122+-++--

=m m x m x m y 经过原点， ∴m 2—3m +2=0.

解的m 1=1，m 2=2.

由题意知m ≠1.

∴m =2， ∴抛物线的解析式为x x y 2

5412+-

= ∵点B （2，n ）在抛物线x x y 25412+-=， n=4.

∴B 点的坐标为（2，4）

（2）①设直线OB 的解析式为y =k 1x

求得直线OB 的解析式y =2x

∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，

可求得A 点的坐标为（10，0），

设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）．

根据题意做等腰直角三角形PCD ，如图1.

可求得点C 的坐标为（3a ，2a ），

有C 点在抛物线上，

得2a =－41x （3a ）2+2

5x 3a . 即49a 2— 211a =0

解得 a 1=

922，a 2=0（舍去） ∴OP =9

22 ②依题意作等腰直角三角形QMN .

设直线AB 的解析式y =k 2x +b

由点A (10 ，0)，点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y =－2

1x +5 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以

下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示，

可证△DPQ 为等腰直角三角形．此时QP 、OP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、 2t 个单

位．

∴PQ = DP = 4t

∴t +4t +2t =10

∴t=7

10 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM 为等腰直角三角形．

此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位，

∴OQ = 10 － 2t

∵F 点在直线AB 上

∴FQ =t

∵MQ =2t

∴PQ =MQ =CQ =2t

∴t +2t +2t =10

∴t =2.

第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示，此时OP 、AQ 的

长依次表示为t 、2t 个单位．

∴t +2t=10

∴t =3

10 综上，符合题意的值分别为

710，2，310． 36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2x y =的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.

（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.

（2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？

【答案】解：画图如图所示：

依题意得：2)1(2--=x y

=2122

-+-x x

=122--x x

∴平移后图像的解析式为：122--x x

（2）当y=0时，122--x x =0

2)1(2=-x

21±=-x

212121+=-=x x ，

∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0）

由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0. 37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若点D （

7,2

m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．

【答案】解：（1）由题意可知09303a b c a b c c ++=??++=??=? 解得143a b c =??=-??=?

所以抛物线的函数关系式为243y x x =-+．

（2）把D （

7,2m ）代人函数解析式243y x x =-+中，得2775()43224m =-?+=． 所以155(31)244

ABD S ?=?-?=． 38．（2010湖北随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过

抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =

作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；

（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并

证明此时△PFM 为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求

出t 值，若不存在请说明理由.

【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为

14

，横坐标为1+此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形.

（3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54

，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.

39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；

(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标

.

【答案】（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，则有

1640,4,420.a b c c a b c -+=??=-??++=? 解得1,21,4.a b c ?=??=??=-?

?

∴抛物线的解析式y =12x 2+x ﹣4

（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D .设M 点的坐标为（m ，n ）.

则AD =m +4，MD =﹣n ，n =12

m 2＋m －4 . ∴S = S △AMD +S 梯形DMBO －S △ABO

= 12( m +4) (﹣n )＋12(﹣n ＋4) (﹣m ) －12

3434 = ﹣2n -2m -8 = ﹣2(12m 2＋m －4) -2m -8

= ﹣m 2

-4m (－4< m < 0)

∴S 最大值 = 4

（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），

（-2+2－，（-2－2＋

40．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y ＝x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于

点C(0，2)，连接AC ，若tan ∠OAC ＝2．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图(13.2)所示，连接BC ，M 是线段BC 上(不与B 、C 重合)的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？

【答案】解：（1）∵抛物线y=x 2＋bx ＋c 过点C(0,2). ∴x=2

又∵tan ∠OAC=

OC OA

=2, ∴OA=1,即A(1,0). 又∵点A 在抛物线y=x 2＋bx ＋2上. ∴0=12＋b 31＋2,b=－3

∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x 2－3x ＋2

（2）存在

过点C 作对称轴l 的垂线,垂足为D,如图所示,

∴x=－332212b a -=-=?.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°,

∴tan ∠PAE= tan ∠CPD ∴PE CD EA DP

=,即12PE 3

22PE =-，解得PE=12或PE=32， ∴点P 的坐标为（32，12）或（32，32

）。（备注：可以用勾股定理或相似解答） （3）如图，易得直线BC 的解析式为：y=-x ＋2，

∵点M 是直线l ′和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t+2）(0＜t ＜2)

∴MN=-t+2-(t 2－3t ＋2)=- t 2＋2t

∴S △BCM= S △MNC+S △MNB=

12MN ?t+12MN ?(2-t) =12

MN ?(t+2-t)=MN=- t 2＋2t(0＜t ＜2), ∴S △BCN=- t 2＋2t=-(t-1)2+1

∴当t=1时，S △BCN 的最大值为1。

41．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=42

3412++-x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴

交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ． 全品中考网

(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ；

(2)线段AC 上是否存在点E ，使得△EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P 为x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA 、PC ，若所得△PAC 的面积为S ，则S 取何值时，相应的点P 有且只有2个

?

【答案】

）42．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，

3

三点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P ，过点P 作⊙M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠

由题意得：0164093??=??++=???++=??c a b c a b c

解得：0a b c ===

∴抛物线的解析式为：2y x x = （2）存在

l ′

抛物线299y x x =-

的顶点坐标是(2,9

-，作抛物线和⊙M （如图）， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C

连接MC ，过C 作CD ⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM ⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt △CDM 中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°

∴DM = 1,

CD =

∴

C (1, 设切线 l 的解析式为:(0)y kx b k =+ ，点B 、C 在 l 上，可得：

20

k b k b ?+=??-+=?? 解得：

,33k b == ∴切线BC

的解析式为：y x = ∵点P 为抛物线与切线的交点

由299y x x y x ?=-????=??

解得：1112x y ?=-????=??

226x y =???=??

∴点P

的坐标为：11(22P -，

2(6,3

P ∵

抛物线299

y x x =-的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形

于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图)

得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B 1、C 1

l ′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线2=x 的对称点：

39(2P

，4(P -即为所求的点. ∴这样的点P 共有4

个：11(2P -

，2P

，39(2P

，4(P - 43．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行

四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2。根据题意，得、

?????-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得????

?????-=-==.1,32,31c b a ∴所求抛物线的表达式为.13

2312--=x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可，

又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将

合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。

而当x=4时，.7,4,3

5=-==y x y 时当 此时).7,4(),3

5

,4(21-P P ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，

又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，

∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3，

而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1） 综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),35,4(321--P P P P 为

44．（2010四川内江）如图，抛物线y ＝mx 2―2mx ―3m (m ＞0)与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于C 点.

（1）请求抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A ，B 两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理

由

..

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