北师大版初中数学 七年级上册 第二章有理数及其运算B级 第01讲

有理数的概念与运算

中考要求

内容 有理数 数轴 基本要求 理解有理数的意义 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应 会用有理数表示具有相反意义的量；借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数 理解乘方的意义 略高要求 会比较有理数的大小 较高要求 相反数 掌握相反数的性质 有理数的运算 掌握有理数的加、减、乘、除及能用有理数的运算乘方和简单的混合运算（以三步解决简单问题 为主） 在解决实际问题中，能按问题的近似数、有效数字了解近似数和有效数字的概念；要求对结果取近似值；能对含有和科学计数法 会用科学计数法表示数 较大数值的信息作出合理的解释和推断 重难点

1． 掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2． 熟练去括号法则，以及有理数的有关运算

例题精讲

模块一 正负数与有理数的分类

1. 对于正负数的理解不能简单理解为带“?”号的数就是正数，带“?”号的数就是负数。 2. 相反意义的两个量是相互的，也是相对的。

3. 掌握有理数的两种分类：按“定义”分类与按“性质符号”分类 ?正负数

【例1】 如果收入200元，记作?200元，那么支出150元，记作 【巩固】如果水位下降3m，记作“?3m”，那么“?4m”表示

【例2】 某轿车的车圈零件的半径设计标准是200mm，估计误差?0.5mm，甲工人制作的零件半径为

200.4mm，乙工人制作的零件半径为199.2mm，则 工人制作的产品合格

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0.05【巩固】一名工人师傅看到加工零件外径尺寸在图纸上标注是60?，则该零件的最大尺寸?0.03（单位：mm）

为 ，最小尺寸为

?有理数的分类

【例3】 下列说法：①0是整数；②负分数一定是负有理数；③一个数不是整数就是负数；④??为有理

数；⑤最大的负有理数是?1，正确的序号是

【巩固】下列说法：①正数、零、负数统称为有理数；②正有理数、负有理数统称有理数；③整数和分数

统称为有理数；④小数一定是有理数；⑤0?C表示没有温度，错误的序号是

【巩固】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最

大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是

模块二 数轴、相反数、倒数

1. 数形结合思想是一种重要的数学思想。数轴就是数形结合的工具。 2. 数轴是条直线，可以向两方无限延伸。

3. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可。

4. 所有有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数 5. 相反数是成对出现的，不能单独存在。相反数和为零。 ?数轴

【例4】 数轴上与原点距离5个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 【巩固】与原点距离不大于3个单位长度的点表示的整数是 【巩固】在数轴上，点P到表示2的点的距离是3，则点P表示的数为

【例5】 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试定墨迹盖住的整

数共有几个

4.11014.3

【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上任意画出一条长

2006cm的线段，则线段盖住的整数点共有 个

?相反数与倒数

【例6】 ⑴?3的相反数是 ，m?1的相反数是

⑵?(?2.4)的相反数是 ，?(?4)与 互为相反数 ⑶一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 ⑷若a的相反数还是a，则a?______

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【巩固】下列说法:①一个数的相反数不是负数，则这个数一定是负数；②一个数的相反数大于它的相反

数，则这个数是正数；③若“?a”是正数，则“a”是负数；④一个数不小于它的相反数，则这个数是正数，正确的序号有

【巩固】已知(a?1)与?5互为相反数，则a?_____

【巩固】已知a与b互为相反数，则?2a?2?2b的值为

【例7】 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x??1，求a?b?x2?cdx的值

【巩固】已知a和b互为相反数，m和n互为倒数，c??(?2)，求2a?2b?

【巩固】已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数，a和b(a?b)并且A、B两点间的距离是

mn的值 c14,求a、b 4

模块三 近似数、有效数字、科学记数法

1. 把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中1?a?10） 2. 科学计数法只是一种计数方法，不对原数放大或缩小

3. 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字

4. 若近似数后带有“十、百、千、万、亿”等数词，则按这个近似数的最后一位在原数中的位置，在原

数中处哪一位，则精确到哪一位，而有效数字的个数与这个量词无关

5. 用科学计数法表示的近似数a?10n，则看a的最后一位在原数所处的位置，是哪一位就精确到哪一位，

它的有效数字就是a中的有效数字

?科学记数法

【例8】 用科学计数法表示下列各数（保留3位有效数字）

⑴43670000?__________ ⑵?521400000?__________ ⑶5201000?_______

【巩固】⑴地球半径大约是6370千米，用科学计数法表示为 米

⑵一双没洗的手，带有各种细菌约80000万个，用科学计数法表示为 个

⑶天文学里常用“光年”作为距离单位，规定1光年为光在一年内传播的距离，大约是96400亿千米，用科学计数法表示为 千米

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⑷一天有8.64?104秒，一个月按30天计算，有 秒（用科学记数法表示） ⑸地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1?105km，用科学计数法表示地球一天（以24小时计算）转动的路程约是 km

?近似数与有效数字

【例9】 小明的体重为56.029kg，请按下列要求取这个数的近似数

【巩固】下列说法①近似数3.4?102与近似数3400的精确度一样；②近似数7千万与近似数7000万的精确

度一样；③近似数8.9与近似数8.90的有效数字的个数不一样；④近似数3.5万有两个有效数字，精确到十分位，说法正确的是

【巩固】近似数3.70所表示的准确值a的范围是（ ）

A.3.695?a?3.705 B.3.60?a?3.80 C. 3.695?a?3.705 D.3.700?a?3.705

【巩固】用四舍五入法按下列要求取各数的近似数

⑴小红测得数学书的长度为21.09cm（精确到0.1） ⑵某县的一个乡镇总人口为9.04?104人（精确到千位） ⑶4654010（保留两位有效数字）

⑷生物学家发现一种病毒的长度为0.0000430mm（保留两位有效数字） ⑸2.501?106（精确到万位） ⑹59.98（精确到0.1）

⑴精确到百分位 ，有 个有效数字，它们是 。 ⑵精确到十分位 ，有 个有效数字，它们是 。 ⑶精确到个位 ，有 个有效数字，它们是 。

模块四 有理数的运算

1. 在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。减法转化为加法 2. 作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加，然后再把结果相加。 3. 既有分数，又有小数时，通常把小数化成分数。

4. 有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值；除法转化为乘法进行计算。

5. 要正确解答乘方运算，必须切实弄清乘方定义，它是求n个相同因数的积的运算，an?a?n。 6.

(?1)2n?1，(?1)2n?1??1。

117. 带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不能犯如下错误：(3)2?9。

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?有理数加减运算

11351【例10】 计算：⑴(?28)?(?17) ⑵0.75?(?2)?(?0.125)?(?12)?(?4)

42478

33711⑶?8?1.25?6?4 ⑷(?2.125)?(?3)?(?5)?(?3.2)

441258

112232⑸(?3)?(?2.4)?(?)?(?4) ⑹(?3)?(?2)?(?1)?1.75

335343

⑺178?87.21?43

219?53?12.79 212112115221【巩固】计算：⑴4?(?)?(?3)?(?2) ⑵(?2000)?(?1999)?4000?(?1)

27356332

2811⑶(?3)?(?5.7)?(?1.5)?(?3.4)?(?4.2) ⑷??0.8?2?3

51033

11⑸3.125?(?)?(?)?(?5.25)?2

48

?有理数加减运算解决实际问题

357 ⑹13.2?(?)??(?)

4612【例11】 超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克

数记为正数，不足的千克数记为负数）：?0.5、?0.3、?0.9、?0.1、?0.4、?0.2、?0.7、?0.8、?0.3、?0.1那么超市购进的橙子共多少千克？

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