福建省泉州市2018届高三1月单科质量检查数学（理）试题Word版含

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泉州市2018届高中毕业班单科质量检查

理科数学试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A?x2x?1?0，B?xx?1?0，则A?B?

（A）xx??1 （B）xx?1 （C）?x?1?x????2?

??????1??1?? （D）?x?x?1? 2??2?【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．

【试题简析】因为A?{x|x?}，B?{x|?1?x?1}，所以A?B?{x|D.

【错选原因】错选A：误求成A?B；

错选B：集合B解错，解成B?xx??1或x?1； 错选C：集合A解错，解成A?{x|x?}.

x【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合A?xx?1，B?x3?1，则

121x?1}，故选2??12????（A）A?B?{x|x?0} （B）A?B?R （C）A?B?{x|x?1} （D）

A?B??

（2）已知z为复数z的共轭复数，?1?i?z?2i，则z?（A）?1?i

（B）?1?i

（C）1?i

（D）1?i

【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算． 【试题简析】因为z?2i2i(1?i)???1?i，所以z??1?i，故选（A）. 1?i(1?i)(1?i)【错选原因】错选B：求出z??1?i，忘了求z；

错选C：错解z?1?i； 错选D：错解z?1?i.

【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=

A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i

（3）设等差数列?an?的前n项和为Sn.若a2?a1?2，S5?S4?9，则a50?

（A）99

45 （B）101 （C） 2500 （D）9?2

【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．

【试题简析】依题意得，d?a2?a1?2，a5?S5?S4?9，所以a50?a5?45d?99，故选C.

【错选原因】错选A：Sn的公式记忆错误，导致计算错误；

错选B：Sn的公式记忆错误，导致计算错误； 错选D：误认为S5?S4?a4.

【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记Sn为等差数列?an?的前n项和．若a4?a5?24，

S6?48，则?an?的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

x2y2（4）已知点(2,1)在双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线上，则E的离心率等于

ab（A）3 2 （B）5 （C）5 2

（D）5或5 2【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．

a2?b25bb1【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线y?x上，则?，所以e?，?aa2a2故选B.

【错选原因】错选A：误认为c2?a2?b2导致错误；

错选C：误认为双曲线的焦点在y轴上. 错选D：未判断双曲线的焦点位置.

x2y25【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C：2?2=1(a＞0，b＞0)的离心率为，

ab2则C的渐近线方程为

（A）y＝?111x （B）y＝?x （C）y＝?x （D）y??x

342?x?1,?（5）已知实数x,y满足?x?y?3?0,则z?x?y的最大值为

?2x?y?2?0,?（A）-1 （B） （C）1 （D）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等． 【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为(1,0),(1,2),(,)，把三个点分别代入z?x?y检验得：当

13y5433xOx?1,y?0时，z取得最大值1，故选D.

【错选原因】错选A：误把?z的最大值当成z?x?y的最大值；

错选B：误把z的最小值当成z?x?y的最大值；

错选C：误把?z的最小值当成z?x?y的最大值.

?x?2y?1,【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x，y满足约束条件??2x?y??1,则z?3x?2y的

??x?y?0,最小值为 ．

（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

（A）163π （B）

112π

（C）173π （D）

356π 【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．

【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个

114圆锥，然后挖掉一个相同的4圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此V?2316?3?r?3，故选A.

【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一

个相同的14圆锥.

错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一

个相同的14圆锥.

错选D：圆锥的公式记忆错误.

【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28?3，则它的表面积是 （A）17? （B）18? （C）20? （D）28?

（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

开始输入di?0,S?0,x?1,y?1y?1y2x?2x S?S?x?yi?i?1S?d否是输出i结束【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等. 【试题简析】解法一：然后i?1,S?1?1,x?2,y?i?0,S?0,x?1,y?1开始执行，

1??? 2i?5,S?(1?2?4?8?16)?(1?行，然后输出i?6

11111???)?33,x?32,y?，再执行一2481632解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，

11a1?1?1,a2?2?,???,an?2n?1?n?1(n?2)

22a1?a2?????an?33，解得n的最小值为6.

x【错选原因】错选A：可能把x?2x误当成x?2来算；

错选B：当执行到i?5时，S?32?会达到33或按四舍五入得到.

1111???，学生估值失误，误以为24816错选D：可能先执行了i?i?1后才输出.

【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a =

（A）0

（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是

（A）f?x??sinx?x

（B）f?x??ln?x?1??ln?x?1?

（B）2

（C）4

（D）14

ex?e?x（C）f?x??

2

ex?1（D）f?x??x

e?1【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.

【试题简析】A选项：f?(x)?cosx?1?0，不符合图象上升这个条件；B选项：定义域不关于原点对称；C选项函数图象先减后增，在x?0时函数取得最小值；故选D 【错选原因】错选A：符合图象关于原点对称这个条件；

错选B：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.

（0，+?）【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函

数是（ ）

（A）y?x （B）y?|x|?1 （C）y??x?1

（9）已知a?0.5?1.5，b?log615，c?log516，则

（A）b?c?a （B）c?b?a （C）a?b?c （D）a?c?b 【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析. 【试题简析】log615?log515?log516?2?21.5?0.5?1.5 【错选原因】错选B：对数函数的换底公式不熟悉导致；

错选D：对数函数的换底公式不熟悉导致； 错选C：指数的运算不过关导致.

32 （D）y?2?|x|

【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设a?log36，b?log510，c?log714，则

（A）c?b?a

（10）已知P(,2)是函数f(x)?Asin(?x??)(??0)图象的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点．若cos?BPC?

（B）b?c?a

（C）a?c?b

（D）a?b?c

127，则f(x)的图象对称中心可以是 25（A）?0,0? （B）?1,0? （C） ?2,0? （D）?3,0?

【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.

【试题简析】如图，取BC的中点D，连结PD，则PD?4，设BD?x，则

PB?PC?x2?16，由余弦定理，

解

可得

得，，

(2x)2?(x2?16)2?(x2?16)2?2(x2?16)2cos?BPCx?357B(?,?2),C(,?2)，BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.故选C.

22PBDC

【错选原因】错选A：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0) 错选B：误把最高点的2当成了周期；

错选D：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点. 【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数f(x)=cos(?x??)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为

1313,k??),k?Z （B）(2k??,2k??),k?Z 44441313（C）(k?,k?),k?Z （D）(2k?,2k?),k?Z

4444（A）(k??

2（11）已知直线l：mx?y?m?0，圆C：?x?a??y?4.若对任意a?[1,??)，存在

2l被C截得弦长为2，则实数m的取值范围是

（A）[?33,0)?(0,] 33

（B）(??,?33]?[,??) 33（C）[?3,0)?(0,3] （D）(??,?3]?[3,??)

【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等. 【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C到l的距离d?222?()2?3，即

2am?mm?12?3，

32a?10?m?3，?3?m?0或0?m?3. ，又因为，所以2(a?1)?3所以m?2解法二：由题意可得，圆心C到l的距离d?222?()2?3，

2又l：mx?y?m?0恒过定点A??1,0?，a?1，所以AC?2， 另设直线l的倾斜角为?，所以sin??33?(0,]， AC2所以l的斜率m?tan??[?3,0)?(0,3]. 【错选原因】错选A：在计算m?23时，分子误当成1来计算； 2[(a?1)?3]3[(a?1)2?3]2 错选B：分离变量时，误把m?写成m?；

3[(a?1)2?3]2 错选D：把最后的m2?3计算成m2?3

【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，则a =

（A）?

2??x?2x?a,x?0,（12）已知函数f?x???x恰有两个零点，则实数a的取值范围是 2???e?ax?e,x?0,4 3 （B）?3 4 （C）3 （D）2

（A）?0,1?

2（B）?e,??? （C）?0,1???e,??? （D）?0,1??e,????【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等. 【试题简析】解法一：当x?0时，f(x)??1?e2?0，故x?0不是函数f(x)的零点.

ex?e2当x?(0,??)时，f(x)?0等价于a?，

xex?e2xex?ex?e2(x?0)，则g?(x)?令g(x)?， xx2当x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0； 所以g(x)?[e2,??)，

①当0?a?1时，f(x)在(??,0)有两个零点，故f(x)在(0,??)没有零点，从而a?e，所以0?a?1；

②当a?0或a?1时，f(x)在(??,0)有一个零点，故f(x)在(0,??)有一个零点，此时不合题意；

③当a?1时，f(x)在(??,0)有没有零点，故f(x)在(0,??)有两个零点，从而

2a?e2.

综上可得0?a?1或a?e2.故选D.

解法二：当x?[0,??)时，f(x)??ex?ax?e2，f?(x)??ex?a，

①当0?a?1时，f(x)在(??,0)有两个零点，

又当x?[0,??)时，fmax(x)?a(lna?1)?e2?0，故f(x)在[0,??)没有零点，所以0?a?1；

②当a?0或a?1时，f(x)在(??,0)有一个零点，

又当x?[0,??)时，f?(x)??ex?a?0，f(x)在[0,??)上单调递减， 故f(x)?f(0)??1?e2?0，不合题意；

③当a?1时，f(x)在(??,0)有没有零点，此时f(x)在[0,??)上必有两个零点. 当x?[0,??)时，当x?lna时，f?(x)?0，当x?lna时，f?(x)?0，当x?lna时，f?(x)?0，所以fmax(x)?f(lna)??a?alna?e2，要使f(x)在[0,??)上必有两个零点，只需满足fmax(x)?f(lna)??a?alna?e2?0.

2令g(t)?tlnt?t?e，则g'(t)?lnt，当t?1时，g'(x)?0，故g(t)单调递增.2222又g(e)?0，故?a?alna?e?0即g(a)?g(e)，解得a?e.

综上可得0?a?1或a?e.故选D.

【错选原因】错选A：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点. 错选B：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到； 错选C：可能根本没去做，综合了A和B，于是选C.

2??x2?2x，x?0，【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a

?ln(x?1)，x?0.的取值范围是( )

（A）(－∞，0] （B）(－∞，1] （C）[－2,1] （D）[－2,0]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）在平面直角坐标系xOy中，角?的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边

过点(,π13)，则cos(??)?________.

3221 2答案：?【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等． 【试题简析】解法一：由已知可得cos??13， ,sin??22所以cos(??)?cos?cos解法二：由已知可得??π3ππ11331?sin?sin??????. 3322222ππππ1?2kπ,k?Z，所以cos(??)?cos(?2kπ?)??. 33332【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·理5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则cos2?=

（A）?

（14）已知向量a,b的夹角为答案：1

【命题意图】本小题主要考查向量的表示及运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等． 【

试

24334 （B）? （C） （D） 5555π，a?2，a?b?5，则b?___________． 4题简析】因

2为

a?πb?cao4bs?，所b以

a?b?a2?2a?b+b2?2?2b?b?5，解得b?1.

【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理13）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．

（15）设O为坐标原点，点A,B在直线y?x?m(m?0)上.若?OAB是斜边长为2的等腰

直角三角形，则实数m?__________. 答案：2或2 【命题意图】本小题主要考查直线方程等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等．

【试题简析】若AB为直角三角形的斜边，则点O到直线l距离等于2，由点线距离公式，得m2解得m?2；若OA或OB为直角三角形的斜边，则点O到直线l距离等于2，?2，由点线距离公式，得m2?2，解得m?22，故答案为2或2. 【变式题源】（2016全国卷Ⅱ·理4）圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，则a =

A．?

（16）如图，一张A4纸的长宽之比为2，E,F分别为AD,BC的中点．现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起，且A,C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）

AGHBFC

ED4 3 B．?3 4 C．3 D．2

①A,G,H,C四点共面；

②当平面ABE?平面CDF时， AC?平面BFDE； ③当A,C重合于点P时，平面PDE?平面PBF；

④当A,C重合于点P时，设平面PBE?平面PDF=l，则l?平面BFDE．

答案：①②③④

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